❤重难点12 与圆相关的6种模型（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、阿基米德折弦定理）（原卷版）.docx

1、重难点突破12 与圆有关的6种模型（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、阿基米德折弦定理）目 录题型01 四点共圆题型02 圆幂定理题型03 垂径定理题型04 定弦定角题型05 定角定高模型（探照灯模型）题型06 阿基米德折弦定理题型01 四点共圆1. 四点共圆的判定判定方法图形证明过程若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）.适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆. 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.反证法若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆.反证法

2、同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.反证法共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.适用范围：双直角三角形共斜边模型.连接AO、OD根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AO=BO=CO=DO 点A、B、C、D四点共圆在O中，若弦AB、CD相交于点P,且APDP=BPCP，则A,B,C,D四点共圆（相交弦定理的逆定理）在APB和CPD中APDP=BPCP 3=4APBCPD 1=2则A、B、C、D四点共圆在O中，若AB、CD两线段延长后相交于点P,且APBP=DPCP，则A,B,C,D四点共圆（割线定理）在APC和DPB中APBP=CPDP P=P APCDPB 1=3 而2+3=

3、180 1+2=180则A、B、C、D四点共圆若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理).【扩展】托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.证明:过点C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP.ACBC=ADBP，则ACBP=ADBC .1=2 1+ACP=2+ACP 则ACB=DCP 而5=6ACBDCP.ACCD=ABDP，则ACDP=ABCD .+得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC.即ACBD=ABCD+ADBC 2. 四点共圆的性质1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，BAC

4、=BDC）；2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，1=2）；3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，1=3）. 1（2020山东东营东营市实验中学校考三模）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（ab），M在BC边上，且BMb，连接AM，MF，MF交CG于点P，将ABM绕点A旋转至ADN，将MEF绕点F旋转至NGF给出以下五个结论：ANDMPC；CP=b-b2a；ABMNGF；S四边形AMFN=a2+b2；A，M，P，D四点共圆其中正确的个数是（）A2B3C4D52（2023浙江宁波校考一模）如图，RtABC中，AB=AC=122，RtADE中，AD=A

5、E=62，直线BD与CE交于P，当EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是 3（2019浙江嘉兴统考二模）如图，四边形ABCD中，ABCBCD90，AB1，AEAD，交BC于点E，EA平分BED（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 4（2021上山东烟台九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sinBDC的值是 5（2023下湖北武汉九年级校考阶段练习）问题提出如图1，点E为等腰ABC内一点，AB=AC，B

6、AC=，将AE绕着点A逆时针旋转得到AD，求证：ABEACD尝试应用如图2，点D为等腰RtABC外一点，AB=AC，BDCD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N，M，求证：SABN+SACM=12ANAM问题拓展如图3，ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，BDA=BEA=60，AE，BD交于点H若CE=a，AH=b，直接写出BE的长度（用含a，b的式子）6（2022上江苏盐城九年级校考期中）如图，以点P-1,0为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将ABC绕点P旋转180，得到MCB(1)求B、C两点的坐标

7、；(2)请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EGBC于G，连接MQ、QG请问在旋转过程中MQG的大小是否变化？若不变，求出MQG的度数；若变化，请说明理由7（2022辽宁葫芦岛统考一模）射线AB与直线CD交于点E，AED60，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60得到AG，连接FG，EG，过点G作GHAB于点H(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是_；(2)如图2，点F和点

8、G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长8（2021福建校联考二模）如图，四边形ABCD内接于O，对角线ACBD，垂足为E，CFAB于点F，直线CF与直线BD于点G（1）若点G在O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；（2）连接AG，若AG=BC，且AG与O相切，如图2，求ABC的度数9（2021上上海徐汇九年级统考期中）如图，已知RtABC和RtCDE，ACB=CDE=90，CAB=CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F（1）如图，当点F在边

9、AB上时，联结AE求证：AEBC；若EF=12CF，求BD的长；（2）设直线AE与直线CD交于点P，若PCE为等腰三角形，求BF的长10（2022河南安阳统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理如图（1），已知ABC内接于O，点P在O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上如下是他们的证明过程（不完整）：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取

10、PC的中点Q，连接QE，QF，则EQ=FQ=12PC=PQ=CQ，（依据1）点E，F，P，C四点共圆，FCP+FEP=180（依据2）又ACP+ABP=180，FEP=ABP同上可得点B，D，P，E四点共圆，任务：(1)填空：依据1指的是中点的定义及_；依据2指的是_(2)请将证明过程补充完整(3)善于思考的小虎发现当点P是BC的中点时，BD=CF，请你利用图（2）证明该结论的正确性11（2023山东日照统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆请应用此结论解决以下问题：如图1，ABC中，AB=AC，BAC=（60A

11、DB这与已知条件“ACB=ADB”矛盾，故点D在O外不成立；如图3，若点D在O内，（请同学们补充完整省略的部分证明过程）综上所述，作ABC的外接圆O，点D在O上，即点A，B，C，D四点共圆(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；依据一： ；依据二： (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(3)填空：如图4，在四边形ABCD中，ABD=ACD，对角线AC，BD交于点E，E为AC中点，若BD=6，BE=4，则AC= 题型02 圆幂定理【模型介绍】相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理.1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.已知图形结论证明过程【

12、基础】在O中，弦AB、CD相交于点PAPDP=BPCP在APB和CPD中1=2（同弧所对圆周角相等） 3=4 APBCPD APCP=BPDP 则APDP=BPCP【进阶】在O中，OP所在直线与O交于M、N两点，r为O的半径BPCP=MPNP=(r-OP)( r+OP)= r2-OP2同上2. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.已知图形结论证明过程【基础】在O中，弦AB、CD相交于点P，且点P在圆外APBP=CPDP连接AC、BD通过已知条件证明APCDPB APDP=CPBP 则APBP=CPDP（请尝试连接AD，BC自行证明）【进阶】若从圆外一点P

13、引圆的两条割线PAB和PMN，且割线PMN经过圆心，r为O的半径APBP =MPNP=(OP-r)( OP+r)= OP2-r2同上3. 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数.已知图形结论证明过程线段AB切O于点B，线段BC、CD为O的弦1=2=123连接OB、OD，则4=5线段AB切O于点B 1+4=903+4+5=180 3+24=180又3=222+4=90 1=2 则1=2=1234. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.已知图形结论证明过程如图，线段ADC是O的一条割线，AB

14、是O的一条切线，切点为点BAB2=ADAC1=2（弦切角定理模型），A=AABDACB ABAC=ADAB 则AB2=ADAC1）切割线定理14（2023上山西吕梁九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务米勒定理米勒（1436-1476）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的三角全书，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程已知：如图1，PA与O相切于点A，PB与O相交于点B，C求证：PA2=PBPC证明：如图2，连接AC，OA，OCPA为O的切线，OAPA，1+2=90OA=OC，2=3O+2+3=180，O

15、+22=180AC=AC，O=2B，2B+22=180，B+2=90，1=B，任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，PA是O的切线，PC经过O的圆心O，且PB=OB=2，割线PDE交O于点D，E，PE=5，求PD的长15（2022广东深圳深圳市宝安中学（集团）校考三模）弗朗索瓦韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用(1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点，作线段OP的中垂线MN交O

16、P于点Q；以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由(2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度16（2022河南驻马店校联考三模）复习巩固切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为O的切线割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为O的割线切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.阅读材料几何原本是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧洲数学的

17、基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程已知：如图2，A是O外一点，求证：提示辅助线可先考虑作O的直径DE17（2021河南新乡河南师大附中校考三模）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这

18、点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知；如图，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C求证：PA2=PBPC证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，PA切O于点A，PAAO，即PAB+BAO=90，阅读以上材料，完成下列问题：（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；（2）如图，割线PDE与圆交于点D、E，且PB=BC=4，PE=7，求DE的长18（2023上黑龙江绥化九年级统考期末）如图，O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD(1)求证：PD是O的切线；(2

19、)求证：PD2=PBPA2)相交弦定理19（2023上浙江九年级期末）如图，AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE=2，BE=8，CE=2DE，则O到CD的距离为 20（2022江苏无锡统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交O于点E，连接CE(1)求证CEDBAD；(2)当DC=2AD时，求CE的长21（2023河南信阳校考三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程已知：如图，弦AB，

20、CD交于点P，求证：_(2)如图，已知AB是O的直径，AB与弦CD交于点P，且ABCD于点P，过D作O的切线，交BA的延长线于E，D为切点，若AP=2，O的半径为5，求AE的长22（2023江西宜春统考模拟预测）阅读与思考九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等已知：如图1，O的两弦AB，CD相交于点P求证：APBP=CPDP证明：如图1，连接AC，BDC=B，A=DAPCDPB，（根据）AP

21、DP=，APBP=CPDP，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等任务：(1)请将上述证明过程补充完整根据：_；：_(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求O的半径23（2023山西吕梁校考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项证明过程如下：如图1：已知：点P是O外一点，PF是切线，F是切点，PBA是割线，点A，B是它与O的交点，求证：PF2=PAPB证明：连接FO并延长交O于C，连接AF，BF，BC，PF是O的切线， PFC=

22、90（依据_)CF是O的直径， CBF=90（依据_) C+CFB=90 C=PFB又C=A（依据_) A=PFB. . . . . .任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格(2)把证明过程补充完整(3)定理应用：已知PT为O的切线，T是切点，PBA是O的割线，交OC于D，CT为O的直径，OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB的长3)割线定理24（2021上九年级单元测试）如图，割线PAB、PCD分别交O于AB和CD，若PC=2，CD=16，PA:AB=1:2，则AB= 25（2020下四川成都九年级成都七中校考阶段练习）如图，PAB为O的割线，且PA=AB=3，PO交O于点C，

23、若PC=2，则O的半径的长为 26（2023全国九年级假期作业）如图：PAB、PCD为O的两条割线，若PAPB=30，PC=3，则CD的长为（）A10B7C510D327（2019浙江杭州模拟预测）如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A,B和C,D，连结AC,BD，则在下列各比例式中，PAPB=PCPD；PAPD=PCPB；PAAC=PDBD，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）28（2023河南周口校考三模）阅读与思考学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务割线定理如图，A是O外一点，过点A作直线AC，AE分别交O

24、于点B，C，D，E，则有ABAC=ADAE证明：如图，连接BE，DCBCD=BED（依据：_），CAD=EAB，ACDAEBADAB=_ABAC=ADAE任务：(1)上述阅读材料中处应填的内容是_，处应填的内容是_(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论请将下列已知、求证补充完整，并给出证明已知：如图，A是O外一点，过点A的直线交O于点B，C，_求证：AE2 _29（2021河南洛阳统考二模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线割线也有一些相关的定理比如，割线定理：从圆外一点引圆的两

25、条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整已知：如图，过O外一点P作O的两条割线，一条交O于A、B点，另一条交O于C、D点求证：PAPB=PCPD证明一：连接AD、BC，A和C为BD所对的圆周角，_又P=P，_，_即PAPB=PCPD研究后发现，如图，如果连接AC、BD，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明请根据提示，独立完成证明二证明二：连接AC、BD，30（2022下河南洛阳九年级统考期中）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定

26、理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项你能给出证明吗？下面是证明的开头：已知：如图，点P为O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C求证：PA2PBPC证明：如图，连接AB、AC、B0、AO，因为PA切0于点A，PAAO，PABBAO90阅读以上材料，完成下列问题：(1)补充完成上面的证明过程；(2)如图，割线PDE与O交于D、E，且PBBC4，PE7，求DE的长题型03 垂径定理如图，可得AB过圆心 ABCD CE=DE AC=AD BC=BD【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分

27、弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt，用勾股，求长度；2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.31（2022河南许昌统考一模）如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，则下列结论不一定成立的是（）AAEBEBOEDECAC=BCDAD=BD32（2023浙江模拟预测）如图，CD是O是直径，AB是弦且不是直径，CDAB，则下列结论不一定正确的是（）AAE=BEBOE=DECAO=CODAD=BD33（2022广东佛山统

28、考一模）如图，O中，半径OC2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（）A3B4C23D4334（2022黑龙江哈尔滨哈尔滨风华中学校考模拟预测）如图，在O中，ODAB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A4cmB6cmC8cmD10cm35（2019新疆乌鲁木齐校联考一模）如图，O中，半径OC弦AB于点D，点E在O上，E=22.5，AB=4，则半径OB等于（）A2B2C22D336（2022河南南阳统考一模）如图，O的半径为4将O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O则这条劣弧的弧长为 题型04 定弦定角【模型介绍】因为同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等，所以当弦的长度保持不变和弦所对

29、应的角度大小固定时，动点的轨迹就是圆或者圆弧.【模型解析】两定(A，B)一动(P)，AB长固定，APB固定如图，已知AB为定线段，P为动点，且APB=，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB对称的圆弧上（APB90，在线段AB对称的劣弧上运动），但不包括A、B两点.定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆.【解题技巧】1）找到不变的张角(APB)所对的-定弦(AB);2）定角

30、定弦定圆心和半径;3）作出外接圆;4）计算半径并分析.5）当ABP是以AB为底的等腰三角形时, ABP的面积和周长最大.口诀 见定长找所对定角知定圆找圆心现“圆”形(一找、二定、三画、四析).【证明】在ABP中, P=,AB=2x.1）求ABP中AB边所对的高的最值.2）求ABP面积的最值.【提示】这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在AB边固定的同时,虽然P的大小不变,但顶点P的位置可以发生变化P,由于同弧所对的圆周角不变,故顶点P可以在ABP的外接圆的AB这段弦所对的圆弧上运动（不包括A,B点）.当高线PC过圆心时有最大的高,即hP1D=OP1

31、+OD.(此时P,O,D三点共线)【证明过程】作ABP的外接圆圆O，连接AO，BO，PO,过点O作ABOD于点DAPB= AOB=2 而AODBOD AOD=BOD= AD=BD=x在RtAOD中，AO=ADsin=xsin DO=AOcos=xcossin 又AO=OP1PCP1D=OP1+OD=xsin+xcossin=xsin(1+cos) （当P与P1重合时等号成立）SABP=12PCAB12P1DAB=12xsin(1+cos) 2x=x2sin(1+cos)37（2023浙江杭州统考二模）如图，已知ABC内接于O，BAC=0BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MDAB于点D,则AD

32、=DB+BC，AB-BC=2DB。常见证明方法：1）截长法：如图，在AD上取一点E，使AE=BC2）补短法：延长AB至点E，使BE=BC3）垂线法：过点M作BC垂线交BC延长线于点E4）作辅助圆法：连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作M,延长AB交M于点E，连接CE45（2020陕西西安西北工业大学附属中学校考一模）如图，已知在四边形ABCD中，ABC60，连接AC、BD交于点E，EC2AE4，若BE2ED，则BD的最大值为 46（2023陕西咸阳校考二模）【问题提出】（1）如图，AB为O的一条弦，圆心O到弦AB的距离为4，若O的半径为7，则O上的点到弦AB的距离最大值为_；【问题探究】

33、（2）如图，在ABC中，BAC=60,AD为BC边上的高，若AD=6，求ABC面积的最小值；【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图，ABC为基地的大致规划示意图，其中ABC=90，BD平分ABC交AC于点D，点P为BC上一点，学校计划将四边形ABPD部分修建为农业实践基地，并沿BD铺设一条人行走道，CDP部分修建为兴趣活动基地根据规划要求，BD=802米，CDP=45且农业实践基地部分（四边形ABPD）的面积应尽可能小，问四边形ABPD的面积是否存在

34、最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由47（2020陕西统考二模）问题探究（1）如图1在ABC中，BC=8，D为BC上一点，AD=6则ABC面积的最大值是_（2）如图2，在ABC中，BAC=60，AG为BC边上的高，O为ABC的外接圆，若AG=3，试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD，AB=62+12，BC=62+6，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，AD=DE，点F在BC上，且CF=6，点M在AE上，点N在AB上，MFN=90，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在

35、，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由48（2023重庆模拟预测）在直角ABC中，ABC=90，ACB=60，点D是ABC外一点，连接AD，以AD为边作等边ADF(1)如图1，当点F在线段BC上，DF交AC于点M，且AF平分BAC，若AF=6+2，求ADM的面积；(2)如图2，连接FB并延长至点E，使得FB=BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=3CD；(3)如图3，旋转ADF使得DF落在ABC的角平分线上，M、N分别是射线BA、BC上的动点，且始终满足MDN=60，连接MN，若BC=2，请直接写出MDN的面积最小值49（2016上江苏无锡九年级阶段练习）若一个三角形的三个顶点均在一个图形

36、的不同的边上，则称此三角形为该图形的内接三角形（1）在图中画出ABC的一个内接直角三角形；（2）如图，已知ABC中，BAC60，B45，AB8，AD为BC边上的高，探究以D为一个顶点作ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图，ABC为等腰直角三角形，C90，AC，试探究：ABC的内接等腰直角三角形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由50（2022陕西西安统考二模）【问题研究】（1）若等边ABC边长为4，则ABC的面积为_；（2）如图1，在ABC中，ACB=60，CD为AB边上的高，若CD=4，试判断ABC的面积是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【问题解决】（3）如图2，四边形ABCD中，AB=AD=42，B=45，C=60，D=135，点E、F分别为边BC、CD上的动点，且EAF=C，求四边形AECF面积的最大值