《创新设计》2016-2017学年高二数学人教A必修5学案：1.2 应用举例（二） WORD版含答案.docx

1、12 应用举例(二) 学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力知识链接现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？要点一测量仰角求高度问题例1如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD平面ABD，CAD45，所以

2、CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1) (m)即山的高度为800(1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解跟踪演练1如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB20 m，在A点处测得P点仰角OAP30，在B点处测得P点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解在RtAOP中，OAP30，OPh，OAOPh.在RtBOP

3、中，OBP45，OBOPh.在AOB中，AB20，AOB60，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 60，即202(h)2h22hh，解得h2176.4，h13(m)答旗杆高度约为13 m.要点二测量俯角求高度问题例2如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根据正弦定理得，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .答山的高度为.规律方法利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取

4、主要因素，进行适当的简化跟踪演练2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.答案30解析设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在ABC中，由题意可知AC30，BC30，C30，AB2(30)230223030cos 30900，所以AB30.要点三测量方位角求高度问题例3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，求塔AB的高度解在BCD中，CD10

5、，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010.答塔AB的高度为10 m.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化跟踪演练3一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_ km.答案30解析如图，由已知条件，得AC60 km，BAC30，ACB105，ABC45.由正弦定理得BC30(km)1已知两座灯塔A，B与

6、海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10答案B解析如右图，因ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010，故选B.2从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向有一只船俯角为45，则此时两船间的距离为()A2h米 B.h米C.h米 D2h米答案A解析如图所示，BCh，ACh，AB2h(米)3甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_. 答案20 m， m解析甲楼的高为20tan

7、 602020；乙楼的高为2020tan 302020.1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式2测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题一、基础达标1为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30，塔基的俯角为45，那么塔AB的高为()A20 m B20 mC20(1) m D30 m答

8、案A解析如图，h20tan 3020tan 4520(m)，故选A.2在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A200 m B300 m C400 m D100 m答案B解析法一如图，BED，BDC为等腰三角形，BDED600，BCDC200.在BCD中，由余弦定理可得cos 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300，故选B.法二由于BCD是等腰三角形，BDDCcos 2，即300200cos 2.cos 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200

9、300，故选B.3一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30和45，则这个海岛的宽度为_m.答案5 856.4解析宽5 856.4(m)4为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度解在ABT中，ATB21.418.62.8，ABT9018.6，AB15(m)根据正弦定理，AT. 塔的高度为ATsin 21.4sin 21.4106.19(m)所以塔的高度为106.19 m.5如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，

10、再看灯塔B在货轮的南偏东60.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离解(1)在ABD中，ADB60，B45，由正弦定理得AD24 (n mile)所以A处与D处的距离为24 n mile.(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos 30192，解得CD8 n mile.即灯塔C与D处的距离为8 n mile.二、能力提升6某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15 m B5 mC10 m D12 m答案C解析如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在Rt

11、AOD中，ADO30，则ODh.在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得h10或h5(舍)7要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A100 m B400 m C200 m D500 m答案D解析由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BD

12、h，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得，3h2h25002h500，解之得h500 m故选D.8如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为，求证：山高h.解在ABP中，ABP180，BPA180()ABP180()(180).在ABP中，根据正弦定理，AP所以山高hAPsin .9如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，

13、然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449). 解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，CDAC0.1，又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，BDBA，在ABC中，所以AB.因此，BD0.33 km，故B、D的距离约为0.33 km.三、探究与创新10为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1千米在ABC中，AB1.732(千米)，AC1(千米)，ABC 30，由正弦定理sinACBAB，ACB120(ACB60不合题意)，BAC30，BCAC1(千米)，在ACD中，ACAD，ACD60，ACD为等边三角形，CD1(千米)605，在BC上需5分钟，CD上需5分钟所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格