河南省湘豫名校联考2023届高三数学（理）上学期入学摸底考试试卷（PDF版附答案）.pdf

1、书数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 湘豫名校联考年 月 高 三 秋 季 入 学 摸 底 考 试数 学 理 科 参 考 答 案一 选 择 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只有 一 项 符 合 题 目 要 求 解 析 因 为 集 合 所 以 又 因 为 所 以 故 选 解 析 若 两 条 平 行 线 中 的 一 条 垂 直 于 一 个 平 面 则 另 一 条 也 垂 直 于 该 平 面 所 以 由 可 得 充 分 性 成 立 反 之 亦 成 立 所 以 是 成 立 的 充 要 条 件 故 选 解 析 由 随 机 变 量

2、及 正 态 分 布 的 对 称 性 知 所 以 故 选 解 析 由 函 数 可 得 因 为 所 以 所 以 故 选 解 析 由 题 可 知 两 边 取 模 得 槡所 以 所 以槡 的 展 开 式 的 通 项 为 令 解 得 所 以 展 开 式 中 的 常 数 项 是 故 选 解 析 由 题 意 可 知 函 数 的 定 义 域 为 因 为 恒 成 立 所 以 在 上 单 调 递 减 则 由 可 得解 得 故 选 解 析 因 为 数 列 是 递 增 的 等 差 数 列 所 以 数 列 的 公 差 由 题 意 得解 得 或 舍 去 所 以 所 以 所 以 故 选 解 析 设 由 函 数 图 象 知

3、数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 所 以 所 以 又 函 数 图 象 过 点 所 以 所 以 解 得 因 为 所 以 所 以 所 以 故 选 解 析 根 据 题 意 可 先 把 名 熟 手 分 为 人 数 为 的 三 组 再 分 配 到 个 检 测 点 共 有 种 分 法 然 后 把 名 生 手 分 配 到 个 检 测 点 中 的 个 有 种 分 法 所 以 共 有 种不 同 的 分 配 方 案 故 选 解 析 令 则 因 为 所 以 函 数 在 上 单 调 递 增 对 于 因 为 即 整 理 得 恒 成 立 对 于 因 为 所 以即 整 理 得 恒 成 立 对 于 因 为 槡

4、所 以 槡 即 槡 槡 槡 槡整 理 得 槡 槡 错 误 所 以 恒 成 立 的不 等 式 有 和 共 个 故 选 解 析 如 图 所 在 圆 即 为 的 外 接 圆 设 圆 的 半 径 为 则 解 得 槡 因 为 为 等 边 三 角 形 所 以 由 正 弦 定 理 可 得解 得 槡所 以 槡槡 槡 如 图 当 三 点 共 线 时 三 棱 锥 的 体 积 最 大 最 大 值 为槡此 时 平 面 三 棱 锥 的高 最 大 且 有 槡 槡解 得 设 球 的 半 径 为 在 中 解 得 所 以 球 的 体 积 故 选 解 析 如 图 设 为 的 中 点 连 接 易 知 所 以 所 以 因 为 为 的

5、 中 点 所 以 设 因 为 所 以 因 为 所 以 所 以 因 为 是 的 中 点 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 所 以 在 中 槡 在 中 槡 所 以槡 槡 解 得 所 以 槡 槡 因 为 直 线 的 斜 率 为 槡 所 以 槡槡 槡 所 以 所 以 离 心 率 为 槡故 选 二 填 空 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 槡解 析 因 为 所 以 解 得 所 以 所 以 槡槡解 析 方 法 一 过 点 分 别 向 抛 物 线 的 准 线 作 垂 线 垂 足 分 别 为 因 为 点 的 横 坐 标为 所 以 所 以 方 法 二 设 点 的 横 坐 标 分 别

6、为 则 由 过 抛 物 线 的 焦 点 的 弦 长 公 式 知 解 析 将 与 作 差 可 得 即 所 以 等 比 数 列 的 公 比 因 为 所 以 所 以 所 以 因 为 所 以 当 且 仅 当 时 成 立 所 以 故 的 最 小 值 为 解 析 不 等 式 可 变 形 为 因 为 且 所 以 令 则 所 以 函 数 在 上 单 调 递 增 不 等 式 等 价 于 所 以 因 为 所 以 设 则 当 时 函 数 在 上 单 调 递 减 当 时 函 数 在 上 单 调 递 增 所 以 所 以 故 正 实 数 的 取 值 范 围 是 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 三 解 答

7、题 共 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 第 题 为必 考 题 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 第 题 为 选 考 题 考 生 根 据 要 求 作 答 一 必 考 题 共 分 解 析 槡 槡 槡 槡 分 因 为 所 以 所 以 所 以 槡 槡即 槡所 以 函 数 的 值 域 为 槡分 因 为 槡 所 以 槡 因 为 所 以 所 以 所 以 分 在 中 因 为 所 以 因 为 槡 所 以 解 得 所 以 槡 分 解 析 在 直 三 棱 柱 中 因 为 为 正 三 角 形 分 别 取 的 中 点 连 接则 如 图 以 为 原 点 分 别 以 和

8、 所 在 直 线 为 轴 轴 和 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 因 为 为 的 中 点 所 以 槡槡分 因 为 点 分 别 为 的 中 点 所 以 槡 槡 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 所 以 槡 槡 设 为 平 面 的 法 向 量 由 得槡 不 妨 取 槡 可 得 则 槡分 设 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 则 槡槡 槡 所 以 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 槡 分 因 为 槡所 以 槡 槡 设 为 平 面 的 法 向 量 由 得槡槡 不 妨 取 可 得 槡 槡 则 槡 槡分 由 知 槡为 平 面 的 一 个 法 向 量 所 以 槡

9、 分 由 图 知 二 面 角 的 平 面 角 为 锐 角 故 二 面 角 的 余 弦 值 为槡 分 解 析 根 据 表 中 数 据 计 算 可 得 分 所 以 又 因 为 所 以 分 所 以 所 以 关 于 的 线 性 回 归 方 程 为 当 时 得 所 以 预 测 该 商 超 下 周 的 利 润 为 万 元 分 该 客 户 所 获 得 的 代 金 券 总 额 的 所 有 可 能 取 值 有 分 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 代 金 券 总 额 的 分 布 列 如 下 表 所 以 元 分 解 析 由 题 意 知 直 线 与 圆 相 切 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离

10、槡槡即 槡因 为 槡所 以 故 椭 圆 的 标 准 方 程 为 分 因 为 直 线 过 点 且 与 轴 不 重 合 所 以 可 设 直 线 的 方 程 为 联 立 方 程 得 化 简 并 整 理 得 设 则 所 以 分 设 存 在 点 则 直 线 与 的 斜 率 分 别 为 所 以 令 解 得 或 分 当 时 当 时 因 此 满 足 条 件 的 点 的 坐 标 为 和 分 解 析 的 定 义 域 为 令 可 得 当 时 单 调 递 减 当 时 单 调 递 增 所 以 的 单 调 递 增 区间 为分 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 因 为 函 数 在 上 单 调 递 增 所 以

11、所 以 故 实 数 的 取 值 范 围 为分 因 为 所 以 要 证 只 需 证 明 成 立 分 令 则 令 得 当 时 单 调 递 减 当 时 单 调 递 增 所 以分 令 则 令 得 当 时 单 调 递 增 当 时 单 调 递 减 所 以因 此 即 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 分 二 选 考 题 共 分 请 考 生 在 第 题 中 任 选 一 题 作 答 如 果 多 做 则 按 所 做的 第 一 题 计 分 解 析 因 为 曲 线 的 参 数 方 程 为槡槡为 参 数 所 以 消 去 可 得 曲 线 的 普 通 方 程 为 分 因 为 直 线 的 斜 率 为 且 过 点 所 以 直

12、 线 的 方 程 为 即 将 代 入 上 式 可 得 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 即 槡 因 此 曲 线 的 普 通 方 程 为 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 槡 分点 到 直 线 的 距 离 为 槡 槡槡 所 以 直 线 与 曲 线 相 离 如 图 当 与 曲 线 相 切 时 最 大 此 时 设 直 线 的 方 程 为 即 所 以 槡槡 解 得 或 当 时 最 小 不 满 足 条 件 因 此 分 又 因 为 直 线 的 斜 率 为 所 以 连 接 则 槡槡 所 以 槡 又 因 为 所 以 槡 所 以 的 面 积 为 分 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 解 析 由 题 意 知 分 当 时 不 等 式 不 成 立 当 时 令 解 得 所 以 当 时 不 等 式 恒 成 立 综 上 所 述 不 等 式 的 解 集 为分 方 法 一 证 明 由 知 所 以 因 为 槡 当 且 仅 当 时 取 等 号 所 以 当 且 仅 当 时 取 等 号 故 有 分 方 法 二 证 明 由 知 所 以 因 为 槡 槡 槡当 且 仅 当 时 取 等 号 又 因 为 槡 当 且 仅 当 时 取 等 号 所 以 分 方 法 三 证 明 由 知 所 以 所 以 当 且 仅 当 时 取 等 号 分