河南省郑州外国语学校2023-2024学年高三适应性训练数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司郑州外国语学校 2023-2024 学年高三年级适应性测试数学本试卷共 19 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的，1某校高一年级 18 个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了 10 个班的比赛分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A93B93.5C94D94.52若函数 2lnf xxax在区

2、间2,5 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（）A,5B,2C,2D5,3已知等差数列 na满足2584aaa，前 n 项和为nS，则9S（）A8B12C16D244甲、乙、丙等 5 名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（）A 481B 227C1081D 4275已知椭圆2214xy，点 P 是椭圆上的任一点，则点 P 到直线220 xy的最大距离是（）A3 10B 6 105C 10D 3 1056如图所示的四棱雉 PABCD中，底面 ABCD 为正方形，且各棱长均相等，E 是 PB 的中点，则

3、异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值为（）学科网（北京）股份有限公司A1B22C33D667已知函数 cosxf xx，若,A B 是锐角ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是（）AsinsinfAfBBcoscosfAfBCsincosfAfBDcossinfAfB8实数,a b c d 满足222(236)12320abcd，则22()()acbd的最小值为（）A 17B77C 2 77D 47二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分9近年来，中国电影行业发展迅猛，消费者

4、追求电影剧情的高质量，重视电影内容正面传达的积极情绪，并且愿意为其买单某机构调查到观众在观看电影时除了关注电影的剧情、情节外，还会关注电影的幕后团队、精神内涵价值观、参演人员等方面如图所示为该机构调查的 2023 年中国网民观看电影时关注方面占比的统计表，则下列结论正确的是（）A2023 年中国网民观看电影时超过 40%的网民会关注参演人员B这 8 个方面占比的极差是31.77%C这 8 个方面占比的中位数为37.69%D2023 年中国网民观看电影时至少有10.73%的网民既关注剧情、情节，又关注精神内涵价值观10已知函数 fx 及其导函数 fx的定义域均为 R，若 fx 是奇函数，210f

5、f，且对任意 ,R,x yf xyf x fyfx fy，则（）A 112f B 90fC201()1kf kD201()1kfk 11如图，在正方体1111ABCDA B C D中，点 P 为线段1AC 上的动点，则下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司A当1113A PAC时，1D P AP 的值最小B当1123A PAC时，1D PAPC若平面 ABCD 上的动点 M 满足16MD C，则点 M 的轨迹是椭圆D直线1DD 与平面11A D P 所成角的正弦值是 12第卷（非选择题）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12已知集合22,4,10Aaaa，且 3

6、A，则a _13设等比数列 na的前 n 项和为nS，若12nnS，则实数 _14为求方程510 x 的虚根，可把原式变形为221110 xxaxxbx，由此可得原方程的一个虚根的实部为_四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数 32fxxaxbxc在1x 和3x 处取得极值（1）求,a b 的值及 fx 的单调区间；（2）若对任意1,5x，不等式 2fxc恒成立，求c 的取值范围16某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为1000g，标准差为50g 的正态分布（1）已知如下结论：若2,XN ，从 X 的取值中随机抽取*

7、,2K KKN个数据，记这 K 个数据的平均值为Y，则随机变量2,YNK，请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买 25 个面包，记这 25 个面包质量的平均值为Y，求(980)P Y；学科网（北京）股份有限公司（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有 6 个面包，其中黄色面包有 2 个；第二箱中共装有 8 个面包，其中黄色面包有 3 个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出 2 个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望附：随 机 变 量 服 从 正 态 分 布2,N ，则0.6827P，220.9545,330.9973PP17如

8、图，AB 是半球O 的直径，4,ABM N依次是底面 AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且60PON（1）证明：PBPM；（2）若点 P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线 PM 与平面 PAB 所成的角的正弦值18已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点2,2P在C 上，点 P 与C 的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为12（1）求双曲线C 的标准方程；（2）经过点0,1A的直线 1l 与双曲线C 交于,E F 两点（异于点 P），过点 F 作平行于 x 轴的直线 2l，直线 PE与 2l 交于点 D，且2DFBF求直线 AB 的斜率记1,2,100U 对数列*nanN

9、和U 的子集T，若T ，定义0TS；若12,kTt tt，19记1,2,100U 对数列*Nnan和U 的子集T，若T ，定义0TS；若12,kTt tt，定义12TtttkSaaa例如：1,3,66T 时，1366TSaaa现设*Nnan是公比为 3 的等比数列，且当2,4T 时，30TS（1）求数列 na的通项公式；（2）对任意正整数 1100kk，若 1,2,Tk，求证：1TkSa；（3）设,CU DU SCSD，求证：2CCDDSSS学科网（北京）股份有限公司郑州外国语学校 2023-2024 学年高三年级适应性测试数学学科参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40

10、 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678BCBCDDDA二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分91011ABDBDABC三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12 313 214 154 或 154 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（1）232fxxaxb，函数 32fxxaxbxc在1x 和3x 处取得极值 32760,1320fabfab，联立解得：3,9ab 2369331

11、fxxxxx，令 0fx，解得3x 和1x ，,1x 时，0fx，函数 f x 单调递增；1,3x 时，0fx，函数 f x 单调递减；3,x 时，0fx，函数 f x 单调递增故1x 和3x 是 f x 的极值点，故函数 f x 单调递增区间为,1,3,；函数 f x 单调递减区间为1,3（2）由（1）知 3239f xxxxc在1,3 单调递减，在3,5 单调递增，要使得对任意1,5x，不等式 2fxc恒成立，则需 21fc且 25fc，故 2111fcc 且 255fcc，学科网（北京）股份有限公司解得1212c，或1212c，c 的取值范围是121121,2216（1）由题意1000,

12、50,25K，则25010025K，所以2:1000,10Y N，于是随机变量Y 的期望为1000，标准差为10，因98010200.9545PY，故198010201 0.9545(980)0.0227522PYP Y（2）设取出黄色面包个数为随机变量，则 的可能取值为 0，1，2则143154530265287140P ，124135449122265287840P ，121132732265287840P 故随机变量 的分布列为：012p5314044984073840所以数学期望为：53449731701214084084024E 17（1）连接,AM OM MN PN，因为,M N

13、依次是底面 AB 上的两个三等分点，所以四边形OMNB 是菱形，设 MBONQ，则Q 为ON 中点，且ONMB，又因为,60OPONPON，故OPN是等边三角形，连接 PQ，则ONPQ，又因为,MB PQ 面,PMB MBPQQ，所以ON 面 PMB，因为 PB 面 PMB，所以ONPB，学科网（北京）股份有限公司因为,M N 依次是底面 AB 上的两个三等分点，所以ONAM，所以 AMPB，又因为 AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，所以 PBPA，因为,AM PA 面,PAM AMPAA，所以 PB 面 PAM，又因为 PM 面 PAM，所以 PBPM（2）因为点 P 在底面圆上的

14、射影为ON 中点，所以 PQ 面 AMB，因为,QM QN 面 AMB，所以,PQQM PQQN，又因为QMQN，所以以,QM QN QP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以 0,0,3,3,0,0,3,0,0,3,2,0PMBA，所以3,0,3,3,2,3,2 3,2,0PMPABA，设平面 PAB 的法向量,nx y z，则32302 320n PAxyzn BAxy，令1x，则1,3,1n，设直线 PM 与平面 PAB 所成角为02，则2 310sincos,565PM nPM nPMn 所以直线 PM 与平面 PAB 所成角的正弦值为10518（1）第一步：根据点 P 在双曲

15、线上得,a b 的关系式学科网（北京）股份有限公司由题意设双曲线C 的方程为22221(0,0)yxabab，由点2,2P在C 上，得22441ab 第二步：根据直线的斜率公式得,a b 的关系式设C 的上、下焦点分别为120,0,FcFc，则 221222cc，解得26c，所以226ab第三步：联立方程解得22,a b 的值由得222,4ab，第四步：得双曲线C 的标准方程故双曲线C 的标准方程为22124yx（2）第一步：设直线方程，联立方程得根与系数的关系由题意可知，直线 EF 的斜率不为 0，设直线 EF 的方程为112212,xm ymE x yF xy，联立，得方程组221124x

16、m yyx，整理得22222240mym ym所以222224,24240mmmm，解得24m，所以2212122224,22mmyyy ymm，则 1212324yyy y第二步：用12,y y 表示点 D 的坐标当直线 PE 的斜率不存在时，易得2 10106 102,2,2,77777EFDB，此时直线 AB 的斜率为12 当 直 线 PE 的 斜 率 存 在 时，直 线 PE 的 方 程 为112222yyxx，所 以 点 D 的 坐 标 为学科网（北京）股份有限公司2121222,2yxyy，由111xm y，可得212112121112122212222222ym yyxm yyy

17、yyyy，第三步：用12,y y 表示点 B 的坐标由2DFBF，得点 B 为 DF 的中点，所以121212121212211123421221122222Bmy yyyyym yyyyyyxm yyyy，则1221,2yyByy，第四步：根据斜率的计算公式求直线 AB 的斜率所以212121212121211212202AByyyy yyykyyyyyyy1212121212312221222yyyyyyyyyy故直线 AB 的斜率为 1219（1）当2,4T 时，2422930TSaaaa，因此23a，从而1211,33nnaaa；（2）12121311 33332kkkTkkSaaaa ；（3）设,CDACDBCD痧，则 AB ,CACDSSS，DBCDSSS，22CCDDABSSSSS，因此原题就等价于证明2ABSS由条件CDSS可知ABSS若 B ，则0BS，所以2ABSS若 B ，由ABSS可知 A ，设 A 中最大元素为,l B 中最大元素为 m，若1ml ，则由第（2）小题，1AlmBSaaS，矛盾因为 AB ，所以lm，所以1lm，学科网（北京）股份有限公司21112311 3332222mmmlABmaaSSaaa ，即2ABSS综上所述，2ABSS，因此2CCDDSSS