【七年级上册】4.8 线段大小比较（知识讲解）- （人教版）.docx

1、专题4.8 线段大小比较（知识讲解）【学习目标】1、经历叠合法比较两条线段的大小关系的过程，并会用数学符号表示它们的大小关系；2、会用直尺、圆规等学习工具画线段，初步体会用作图语言叙述画法；3、能用线段表示和差倍分关系，并能计算线段的数量关系；4、理解中点定义，并进行相关的计算。【要点梳理】【知识点一】线段大小比较比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短如下图： 特别说明：线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法【知识点二】

2、尺规作图【定义】仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图特别说明：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度【方法】作一条线段等于已知线段“作一条线段等于已知线段”的两种方法：【方法一】尺规作图：用圆规作一条线段等于已知线段例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取ABa，则线段AB为所求；这是考试中常考点。 【方法二】度量作图：用刻度尺作一条线段等于已知线段例如：可以先量出线段a的

3、长度，再画一条等于这个长度的线段特别说明：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.常见的线段和差倍分作图有以下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一条线段等于已知线段的几倍或几分之一；（3）作一条线段等于已知线段的和或差。【知识点三】线段的和与差如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC; BC=AB - AC，在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度。【知识点四】线段的中点【定义】线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如下图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB2AC2BC特别

4、说明：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上【典型例题】知识点一、线段的和与差 1如图，点在线段上.按要求完成下列各小题.(1)尺规作图：在图中的线段的延长线上找一点，使得；(2)在（1）的基础上，图中共有_条线段，比较线段大小：_（填“”“”或“=”）；(3)在（1）的基础上，若，求线段的长度.【答案】(1)作图见分析(2)6；(3)【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）根据线段的定义，判断即可；（3）利用线段和差定义解决问题即可（1）解：如图，线段CD即为所求；（2）解：图中共有6条线段，ABCD，AB+BCCD+BC，即ACBD，故答案为：6，；（3）解：由（1）知ABCD因

5、为BC2AB，所以BC2CD，所以BDBC+CD3CD6，所以CD2AB，所以AD2+68【点拨】本题考查作图复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义举一反三：【变式1】如图：A、B、C、D四点在同一直线上(1)若ABCD比较线段的大小：AC BD（填“”、“”或“”）；若BCAC，且AC12cm，则AD的长为 cm；(2)若线段AD被点B、C分成了345三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长【答案】(1)=；15(2)24cm【分析】（1）由已知同加BC即得答案；求出BC和AB，根据AB=CD得到CD，即可得到AD；（2）根

6、据题意画出图形，设，根据线段的和差关系求得，根据题意列出方程进而即可求解解：(1)AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=BD，故答案为：=；BC=AC，AC=12cm，BC=9cm，AB=AC-BC=3cm，AB=CD，CD=3cm，AD=AC+CD=15cm；故答案为：15；(2)如图，线段AD被点B、C分成了345三部分，设， AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，解得，cm【点拨】本题考查了线段的和差计算，线段的中点的计算，数形结合是解题的关键【变式2】已知线段，点在线段上，且(1)求线段，的长；(2)点是线段上的动点且不与点，重合，线段的中点为，设请用含有的代数式表示线

7、段，的长；若三个点，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，三点为“共谐点”，请直接写出使得，三点为“共谐点”的的值【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)或，；6或12【分析】（1）由可得，从而可求得AC、CB的长；（2）分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况分别计算即可；分点P在线段AC上和点P在线段CB上两种情况列方程，可求得m的值解：(1)，点在线段上，且，(2)M为线段的中点 当点P在线段AC上时，当点P在线段CB上时，当点P在线段AC上时，则MP=PC解得：m=6当点P在线段CB上时，则MC=PC解得：m=12综上所述，m=6或12【点拨】本题考查了求线段长度，线段中

8、点的意义及线段的和差，掌握线段中点的意义、线段的和差是解题的关键注意（2）小题要分类讨论知识点二、线段中点2如图所示，长度为12cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成，求线段AC的长度.【答案】8cm【分析】设MC=xcm，由MC：CB=1：2得到CB=2xcm，则MB=3x，根据M点是线段AB的中点，AB=12cm，得到AM=MBAB12=3x，可求出x的值，又AC=AM+MC=4x，即可得到AC的长解：设MC=xcm，则CB=2xcm，MB=3xM点是线段AB的中点，AB=12cm，AM=MBAB12=3x，x=2，而AC=AM+MC，AC=3x+x=4x=42=8（cm）故线段A

9、C的长度为8【点拨】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离也考查了方程思想的运用举一反三：【变式1】如图，已知点在同一直线上，分别是的中点（1）若，求的长；（2）若，求的长；（3）若，求的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案；（2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案；（3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结

10、论即可.解：（1） ，分别是的中点， （2） ，分别是的中点， （3） ，分别是的中点， （4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.【点拨】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键.【变式2】如图，已知点，在线段上，且，若点是线段的中点，求线段的长【答案】【分析】根据可设，则可得到，易求得的长，从而得到的长度，由是线段的中点，得DM的长度，则代入即可求解解：设，由题意：，解得，是线段中点，【点拨】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握中点的性质和线段的和差关系为解题关键知识点三、尺规作图-作

11、线段3作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2ab（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）【答案】见分析【分析】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段解：如图所示AC=2ab，【点拨】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去举一反三：【变式1】如图，已知线段，用尺规作一条线段，使它等于（保留作图痕迹，不写作法）【答案】图见分析【分析】利用尺规画线段的方法去作图解：如图，先用圆规“量出”线段a的长度，画出两段a，再用圆规“量出”线段b的长度，接着刚才的线段画出线段b，就得到线段，再“

12、量出”线段c，圆规一端抵在线段最左端画一个弧，得到线段c，此时图上的线段AB就等于【点拨】本题考查尺规画线段以及线段的和差，解题的关键是掌握尺规作图的方法【变式2】尺规作图：如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2ab（保留作图痕迹）【答案】见分析【分析】根据题意可先画出一条线段等于2a,然后再在这条线段上截去b,剩余线段即为所求线段.解：如图,线段AD即为所求【点拨】本题主要考查有关线段作图方法,根据线段基本作图方法:相加在原来线段延长线上画出另一条线段,相减在较长的线段上截去,解决本题的关键是要熟练掌握线段基本作图方法.知识点四、线段的应用4如图，点在线段上，是线段的中点（1）在线段上

13、，求作点，使（要求：尺规作图，不写作法保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，求的长；若点在线段上，且，请你判断点是哪条线段的中点，并说明理由【答案】（1）见详解；（2） E是线段CD的中点，理由见详解【分析】（1）以C为圆心AC为半径画弧交CO于点F, 再以F为圆心AC为半径画弧交CO于点E,则E点即为所求；（2）先根据是线段的中点得出，然后再根据，得出，则，则AC可求；根据可以推出，即 则说明E是线段CD的中点解：（1）如图（2）是线段的中点 ， E是线段CD的中点，理由如下：即即 E是线段CD的中点【点拨】本题主要考查线段的尺规作图及线段的和与差，表示出线段的和与差是解题的关键举一反三

14、：【变式1】已知:如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点，（1）若线段，求的值；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段的长；（3）如图2，若，求线段的长.【答案】(1)20；(2)6；(3)5.1.【分析】(1)因为，根据绝对值和平方的非负性可以得出，即可求出的值.(2)由(1)知，AB=16，CE=4，点为线段的中点，则能求出AC,AE, 点为线段的中点,即可求出DE.(3)因为，设BE=x，即可以表示出AD=2x=DE，所以列方程即可以求解.解：(1)，.(2) 由(1)知：，点为线段的中点又点为线段的中点.(3)由题知：设BE=，则AD=DE =2x 【点拨】本题主要考查的

15、是线段中点的性质，正确的计算和熟练地运用数形结合的思想推出线段之间的关系.【变式2】【操作】结合图形，完成以下填空：（1）点在线段AB上，如图1，图中有_条线段；（2）点，在线段AB上，如图2，图中有_条线段；（3）点，在线段AB上，如图3，图中有_条线段；【猜想】点，在线段AB上，如图4，图中有_条线段（用含n的代数式表示）【应用】春节期间，10位同学之间互通电话（每两位同学之间只通一次电话）祝福，求10位同学之间通电话的次数【答案】操作：（1）3；（2）6；（3）10；猜想：；应用：45【分析】操作：（1）直接由图即可求解；（2）直接由图即可求解；（3）直接由图即可求解；猜想：总结规律即可求解；应用：当n=8时，代入求值即可解：操作：（1）点在线段AB上，如图1，图中有3条线段；（2）点，在线段AB上，如图2，图中有6条线段；（3）点，在线段AB上，如图3，图中有10条线段；猜想：点，在线段AB上，如图4，图中有条线段；应用：（次）答：10位同学之间通电话的次数为45【点拨】此题主要考查从特殊到一般的数学思想，总结出规律是解题关键