【八年级上册】12.19 三角形全等几何模型-角平分线模型（专项练习）-（人教版）.docx

1、专题12.19 三角形全等几何模型-角平分线模型（专项练习）与角平分线相关的三角形全等的常见几个几何模型：【模型1】：如图一，角平分线+对称型B图一利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等如图二【几何语言】： OC为AOB的角平分线，D为OC上一点DEOA，DFOB ，DE=DF 【模型3】如图三，角平

2、分线+垂直角平分线型如图三【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。【模型四】角平分线+平行线型如图四【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。一、填空题1如图，在中，、的角平分线相交于点，若，则_，若，则_.2已知，ABC中，BAC120，AD平分BAC，BDC60，AB2，AC3，则AD的长是_3如图，BP平分ABC，E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结

3、论的有；，_.4如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC50，CAP_5如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_二、解答题6已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分ABC，A+C180，BCBA求证：点D在线段AC的垂直平分线上7如图，ABC中，ACBC，ACB90，AD平分BAC交BC于点D，过点B作BEAD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由8如图，在ABC中，C90，AD是BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DEB

4、A于点E，点F在AC上，且BDDF（1）求证：ACAE；（2）若AB7.4，AF1.4，求线段BE的长9已知：如图，分别平分和，点E在上用等式表示线段、三者之间的数量关系，并证明10如图，ABC的外角DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PDAB于D，PEAC于E（1）求证：BDCE；（2）若AB6cm，AC10cm，求AD的长11已知ABC中，ABAC，A108，BD平分ABC，求证：BCAC+CD12如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求证：ADC+B=18013如图所示，在中，是的角平分线，交于点，求证：14如图，在四边形中，于，.求证：；.1

5、5如图，在RtABC中，BAC=90，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.16如图，在中，平分，交于，于，求证：.17如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，2 求证：18如图，在中，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.19已知：是的角平分线，且（1）如图1，求证：；（2）如图2，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接求证：；若，且，求的长20在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F（1）求证：；（2）已知如图1，若，求CE的长；如图2，若，求的大小21（1）如图1，射线OP平分M

6、ON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OAOB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD求证：ADBD（2）如图2，在RtABC中，ACB90，A60，CD平分ACB，求证：BCAC+AD（3）如图3，在四边形ABDE中，AB9，DE1，BD6，C为BD边中点，若AC平分BAE，EC平分AED，ACE120，求AE的值22已知点C是MAN平分线上一点，BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且ABC+ADC180过点C作CEAB，垂足为E（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BCDC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等

7、量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若MAN60，连接BD，作ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G若BG1，DF2，求线段DB的长参考答案1 110 70【分析】先根据三角形内角和求出BAC+BCA=140，再根据角平分线的定义求出IAC+ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明ACI与DCI全等，可得AI=DI，CAI=CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得CDI=2DBI，再根据角平分线的定义即可求出CDI=ABC，又BAC=2CAI，代入数据进行

8、计算即可求解；解：，BAC+BCA=140，AI、CI分别是、的角平分线，IAC+ICA=(BAC+BCA)=70，AIC=180-70=110；如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，CI平分ACB，ACI=BCI，在ACI与DCI中，ACIDCI（SAS），AI=DI，CAI=CDI，BC=AI+AC，BD=AI，BD=DI，IBD=BID，CDI=IBD+BID=2IBD，又AI、CI分别是BAC、ACB的平分线，BI是ABC的平分线，ABC=2IBD，BAC=2CAI，CDI=ABC，BAC=2CAI=2CDI=2ABC，ABC=35，BAC=352=70【点拨】本题考查了三角形

9、的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点25【分析】过D作，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解解：过D作，交延长线于F，AD平分，在和中，在和中，平分，【点拨】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形3由(1)、（2）、（4）可以推出其它三个.【分析】根据角平分线的性质定理、HL证明直角三角形全等、AAS证明三角形全等、同角的补角相等即可解答.解：由(1)可以推出其

10、它三个；由(4)可以推出其它三个；由(2)可以推出其它三个.如图：过点P作PMAB于点M. （一）增加条件时：，PFC+BFP=180，BEP+BFP=180，BEP=PFC，即成立，BEP+PEM=180，DFP=MEP，BP平分ABC，PMABPD=PM，又PME=PDF=90，RtPMERtPDF，ME=DF，即成立，BP=BP，RtPMBRtPDB(HL)，BM=BD， BD=BF-DF，BM=BE+EM，ME=DF，2BD=BD+BM=( BF-DF)+( BE+EM)= BF-DF+ BE+EM= BF+ BE，即，故正确.（二）增加条件时，BP平分ABC，PMABPD=PM，又P

11、MB=PDB=90，BP=BPRtPMBRtPDB，BM=BD，BD=BF-DF，BM=BE+EM，2BD= BF+BE，BD+ BM=2BD，即BF-DF+ BE+EM= BF+BEME=DF，同（一）方法即可证明RtPMERtPDF，从而证得、正确；(三)添加条件 时，方法同（一）中即可证明RtPMERtPDF，从而证得其它结论正确；（四）如果添加，当点F在下图F的位置时，其它三项不正确.【点拨】本题重点考查角平分线的性质和三角形全等的证明，解题关键是熟练掌握三角形全等的证明方法.440【分析】过点P作PFAB于F，PMAC于M，PNCD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到BAC度

12、数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAP=FAP，即可得到答案解：过点P作PFAB于F，PMAC于M，PNCD于N，如图：设PCD=x，CP平分ACD，ACP=PCD=x，PM=PN，ACD=2x，BP平分ABC，ABP=PBC，PF=PM=PN，BPC50，ABP=PBC=，,，在RtAPF和RtAPM中，PF=PM，AP为公共边，RtAPFRtAPM（HL），FAP=CAP，；故答案为：40；【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出是关键5【分析】如图（见分析），

13、设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得解：如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E，设，则，是的平分线，是的平分线，同理可得：，在和中，即，又，解得，故答案为：【点拨】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键6见分析【分析】在BC上截取BEBA，连接DE，证明ABDBED，可得出CDEC，则DEDC，从而得出ADCD即可证明解：如图，在BC上截取BEBA，连接DE， BDBD，ABDCBD，BA

14、DBED，ADEB，ADDE，A+C180，BED+DEC180，CDEC，DEDC，ADCD，点D在线段AC的垂直平分线上【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键7（1）BEAD，见分析；（2）BEG是等腰直角三角形，见分析【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明BAEHAE，得BEHEBH，再证明BCHACD，得BHAD，则BEAD；（2）先证明CF垂直平分AB，则AGBG，再证明CABCBA45，则GABGBA22.5，于是EGBGAB+GBA45，可证明BEG是等腰直角三角形解：证：（1）BEAD，理由如下：如图，延长B

15、E、AC交于点H，BEAD，AEBAEH90，AD平分BAC，BAEHAE，在BAE和HAE中，BAEHAE（ASA），BEHEBH，ACB90，BCH180ACB90ACD，CBH90HCAD，在BCH和ACD中，BCHACD（ASA），BHAD，BEAD（2）BEG是等腰直角三角形，理由如下：ACBC，AFBF，CFAB，AGBG，GABGBA，ACBC，ACB90，CABCBA45，GABCAB22.5，GABGBA22.5，EGBGAB+GBA45，BEG90，EBGEGB45，EGEB，BEG是等腰直角三角形【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等

16、腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键8（1）见分析；（2）3【分析】（1）证明ACDAED（AAS），即可得出结论；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证FADMAD（SAS），得FD=MD，ADF=ADM，再证RtMDERtBDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解解：（1）证明：AD平分BAC，DAC=DAE，DEBA，DEA=DEB=90，C=90，C=DEA=90，在ACD和AED中，ACDAED（AAS），AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，在FAD和MAD中，FADMAD（SAS），FD=MD，ADF=AD

17、M，BD=DF，BD=MD，在RtMDE和RtBDE中，RtMDERtBDE（HL），ME=BE，AF=AM，且AF=1.4，AM=1.4，AB=7.4，MB=AB-AM=7.4-1.4=6，BEBM3，即BE的长为3【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明FADMAD和RtMDERtBDE是解题的关键9AB=AC+BD，证明见详解【分析】延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明ACEFDE，得到AC=DF，问题得证解：延长AE，交BD的延长线于点F，F=CAF，平分，CAF=BAF，F=BAF，AB=BF，平分，

18、AE=EF，F=CAF，AEC=FED，ACEFDE，AC=DF，AB=BF=BD+DF=BD+AC【点拨】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键10（1）证明见分析；（2）2【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可解：（1）证明：连接、，点在的垂直平分线上，是的平分线，在和中，；（2）解：在和中，

19、即，解得【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键11见分析【分析】在线段BC上截取BEBA，连接DE则只需证明CDCE即可结合角度证明CDECED解：证明：在线段BC上截取BEBA，连接DEBD平分ABC，ABDEBDABC在ABD和EBD中，ABDEBD（SAS）BEDA108，ADBEDB又ABAC，A108，ACBABC（180108）36，ABDEBD18ADBEDB1801810854CDE180ADBEDB180545472DEC180DEB1801

20、0872CDEDECCDCEBCBEECABCD【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键12见分析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证AFCAEC，得到CFCE再由条件ADAB2AE可证BEDF，所以CDFCEB，由全等的性质可得BFDC，问题得证解：证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，AC平分BAD，FACEAC，CEAB，CFAD，AFCAEC90，AC=AC，AFCAEC(AAS)，AFAE，CFCE，AD+AB=2AE，又ADAFDF，ABAEBE，AFAE，2AEAEBEAEDF，BEDF，在CDF和CBE中，CDFCBE

21、（SAS），BFDC，ADCFDC180，ADC+B=180【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理13详见分析【分析】在AB上截，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得，证明，得GD=GF，=60，可证得，即可得GF=GE=GD.解：证明：在AB上截，连接FG，AE平分BAC，EAC=EAB，又AG=AG， ， ，AE,BD是ABC的角平分线， ， ，GD=GE.【点拨】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键14详见分析【分析】过点向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论

22、.解：如图，过点作与点，则F=CEO=90，OC=OC，.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.15点M到AC的距离为2【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB=3，DM=MN，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M到AC的距离即可解：ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是B，作MNAC，MDAB，垂足分别为N，D，又RtABC中，BAC=90，AB=3，AB=AB=3，DM=MN，AB=BC=3，SBAC=SBAM+SMAC，即36=MD3+6MN，MD=2，所以点M到AC的距离是2【点拨】本题考

23、查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN，以及AB=AB=BC=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键16详见分析【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论解：延长BD至N，使DN=BD，连接ANADBE，AD垂直平分BN，AB=AN，N=ABN，又BE平分ABC，ABC=2C，ABN=NBC=C，NBC=C，ANBC，C=NAC，NAC=N，AE=EN，BE=EC，AC=BN=2BD【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用17见分析【分析】方法一，在BC上

24、截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，由，可得，继而求得，由，继而可得；方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，连接DE，因为BD是的平分线，所以在和中，因为所以，所以，因为，所以，所以因为，所以方法2补短如图，延长BA到点E，使因为BD是的平分线，

25、所以在和中，因为，所以，所以，因为，所以，所以因为，所以方法3构造直角三角形全等作于点E交BA的延长线于点F因为BD是的平分线，所以因为，所以，在和中，因为，所以，所以在和中，因为，所以，所以因为，所以18（1）证明见分析；（2）证明见分析.【分析】(1)连接DF，证FAEOAE，推出AF=AO，AFO=AOF，求出OD=DF，求出BF=DF，即可得出答案；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，证AGOOFB，推出GO=BF=OD，求出DE=GE，AD-OF=DG=2DE即可解：(1)连接DF，OEAD，AEF=AEO=90，AD平分FAO，EAF=OAE，又AF=AF，EAFOAF(ASA)

26、，AF=AO，AFO=AOF，ADOF，EF=EO，DF=DO，DFO=DOF，AFO=AOF，AFD=AOB=90，AOB=90，AO=BO，B=45，FDB=AFO-B=45=B，BF=DF，OD=BF；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，OAB=B=45，AD平分OAB，OAG=22.5，OD=DF，DFO=DOF，FDB=45=DFO+DOF，FOB=22.5=OAG，AGOOFB(SAS)，GO=BF=OD，OEAD，DE=GE，AD-OF=DG=2DE【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识

27、是解题的关键.19（1）见分析；（2）见分析；【分析】（1）用证明，即得ABAC；（2）证明可得，再用证明FAGFAE，即得；过作于，由，可得，而，故，即得，根据，可求解：（1）证明：是的角平分线，在和中，；（2），在和中，在和中，；过作于，如图：由知：，由知：，【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.20（1）证明见分析；（2）2.5；（3）100【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；（3）延长BA到P，使A

28、P=FC，构造（SAS），得PC=BC，再由三角形内角和可求，进而可得解：（1）、分别是与的角平分线，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得，在与中， ，（SAS），在与中，；，（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，在与中， ，（SAS），又，又，【点拨】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键21（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【分析】（1）由题意易得AOD=BOD，然后易证AODBOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得ACD=ECD，B=30，则有A

29、CDECD，然后可得A=CED=60，则根据三角形外角的性质可得EDB=B=30，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证ABCAFC，CDECGE，则有ACB=ACF，DCE=GCE，然后可得ACF+GCE=60，进而可得CFG是等边三角形，最后问题可求解解：证明：（1）射线OP平分MON，AOD=BOD，OD=OD，OAOB，AODBOD（SAS），ADBD（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：ACB90，A60，CD平分ACB，ACD=ECD，B=30，CD=CD，ACDECD（SAS），A=CED=60

30、，AD=DE，B+EDB=CED，EDB=B=30，DE=BE，AD=BE，BC=CE+BE，BCAC+AD（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：ABCAFC，CDECGE，ACB=ACF，DCE=GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，C为BD边中点，BC=CD=CF=CG=3，ACE120，ACB+DCE=60，ACF+GCE=60，FCG=60，CFG是等边三角形，FG=CF=CG=3，AE=AF+FG+GE=9+3+1=13【点拨】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角

31、形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等22（1）见分析；（2）ADAB2BE，理由见分析；（3）3【分析】（1）过点C作CFAD，根据角平分线的性质得到CECF，证明BCEDCF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C作CFAD，根据角平分线的性质得到CECF，AEAF，证明BCEDCF，得到DFBE，结合图形解答即可；（3）在BD上截取BHBG，连接OH，证明OBHOBG，根据全等三角形的性质得到OHBOGB，根据角平分线的判定定理得到ODHODF，证明ODHODF，得到DHDF，计算即可解：（1）证明：如图1，过点C作CFAD，垂足为F，AC平分MAN，CEAB，CFAD

32、，CECF，CBE+ADC180，CDF+ADC180，CBECDF，在BCE和DCF中，BCEDCF（AAS）BCDC；（2）解：ADAB2BE，理由如下：如图2，过点C作CFAD，垂足为F，AC平分MAN，CEAB，CFAD，CECF，AEAF，ABC+ADC180，ABC+CBE180，CDFCBE，在BCE和DCF中，BCEDCF（AAS），DFBE，ADAF+DFAE+DFAB+BE+DFAB+2BE，ADAB2BE；（3）解：如图3，在BD上截取BHBG，连接OH，BHBG，OBHOBG，OBOB在OBH和OBG中，OBHOBG（SAS）OHBOGB，AO是MAN的平分线，BO是ABD的平分线，点O到AD，AB，BD的距离相等，ODHODF，OHBODH+DOH，OGBODF+DAB，DOHDAB60，GOH120，BOGBOH60，DOFBOG60，DOHDOF，在ODH和ODF中，ODHODF（ASA），DHDF，DBDH+BHDF+BG2+13【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线