【八年级上册】14.19 完全平方公式（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题14.19 完全平方公式（知识讲解）【学习目标】1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、完全平方公式完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点二、拓展、补充公式； ；.【典型例题】类型一、运用完全平方公式进行运算1运用完全平方公式计算：（1）；

2、（2）【答案】（1）；（2）【分析】根据完全平方公式计算即可求解解：（1）；（2）【点拨】本题主要考查完全平方公式的展开，要注意展开前后系数的变化完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】直接根据完全平方公式计算即可解：（1） （2） （3） （4） 【点拨】本题考查了完全平方公,正确的运用公式进行计算是解题关键类型二、运用完全平方公式变形求值2完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题例如：若，求的值解：因为ab3，所以，即：，又因为ab1，所以根据上

3、面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若xy8，x2y240，求xy的值；(2)若，求的值【答案】(1)xy12(2)10【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解；（2）根据完全平方公式得出（4xx）216，求得（4x）2x2162（4x）x，将，代入即可求解解：（1）因为xy8，所以（xy）264，即x22xyy264，又因为x2y240，所以2xy24，所以xy12（2）因为4xx4，所以（4xx）216，即（4x）22（4x）xx216，所以（4x）2x2162（4x）x162310【点拨】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键举一反三：【变式1】已知，求：(1

4、)的值；(2)的值【答案】(1) 12 (2) 1【分析】（1）根据完全平方公式变形计算即可求得；（2）根据完全平方公式代入计算即可（1）解：，（a+b）2=a2+b2+2ab，2ab=72-25=24，解得ab=12；（2） = a2+b2-2ab=25-24=1【点拨】此题考查了完全平方公式的计算法则，熟练掌握完全平方公式的两个计算法则并熟练变形计算是解题的关键【变式2】已知正数、，满足，(1) 求的值；(2) 当时，求的值；(3)我们把形如这样的三项式称之为完全平方式，在（2）的条件下，若是完全平方式，直接写出的值_【答案】(1)17(2)(3)【分析】（1）将的左边运用完全平方公式展开

5、，然后将代入即可求解；（2）运用完全平方公式展开，然后将和xy整体代入求解即可；（3）由（2）可知m的值，再依据完全平方公式的特点“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中央”即可解答解：（1），（2）m=（3）由题意可得m=9na=232a，即【点拨】本题主要考查了完全平方公式，理解它的特征并灵活进行变形是解答本题的关键类型三、 完全平方公式中的参数3化简：3（a2）（a+2）（a1）2【答案】2a2+2a-13【分析】根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法解：3（a2）（a+2）（a1）2=3（a2-4）-（a2-2a+1）=3a2-12-a2+2a-1=2a2+2a-13【点拨】此题考

6、查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，正确掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则是解题的关键举一反三：【变式1】若9x2+kxy+16y2是完全平方式，则k的值为 _【答案】24【分析】根据完全平方公式求解即可解：9x2+kxy16y2(3x)2+kxy(4y)2是一个完全平方式，23x4ykxy，k24故答案为24【点拨】此题考查了完全平方式的特点，算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央【变式2】如果是完全平方式，则_【答案】或#14或-10【分析】利用完全平方公式的结构特征求出k的值即可解：4x2+（k-2）xy+9y2是完全平方式，k-2=12，解得：k=1

7、4或k=-10故答案为：14或-10【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键类型四、 完全平方公式和平方差公式综合4如果是完全平方式，则m的值为_【答案】9【分析】根据完全平方式的结构求解解：根据完全平方式的结构a2-2ab+b2，a=y，b= -6y（-2y）=3，m=32=9，故答案为9【点拨】本题考查乘法公式的应用，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键举一反三：【变式1】先化简再求值：已知，求代数式的值【答案】-4xy+3y2，0【分析】先根据整式的混合运算法则计算化简原式，再把已知代入计算即可解：=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2=-4xy+3y2，4x=

8、3y，原式=-3y2+3y2=0.【点拨】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式运算法则和完全平方公式、平方差公式是解题的关键【变式2】先化简，再求值：，其中，【答案】，25【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，合并同类项化简，再代值计算即可。解：原式=当，时原式=8+17=25【点拨】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，代数式的化简求值，准确计算是解题的关键类型四、完全平方公式在几何图形中的应用5如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形(1)请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；(2)比较（1）的两种

9、结果，你能得到怎样的等量关系？(3)请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果，求的值【答案】(1)方法一：；方法二：(2)(3)40【分析】（1）方法一：利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；方法二：先求出阴影小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；（2）根据两种方法求出的阴影部分的面积相等即可得；（3）先利用（2）的等式可得的值，再利用完全平方公式进行计算即可得（1）解：方法一：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则阴影部分的面积为，方法二：阴影部分是一个小正方形，它的边长为，则阴影部分的面积为（2）解：因为（1）中两种方法求出的阴影部分的面积相等，

10、所以（3）解：，即，【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键举一反三：【变式1】如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）(1)观察图2，请你写出、之间的等量关系是_；(2)根据（1）中的结论，若，求的值；(3)拓展应用：若，求的值_【答案】(1)(2)16(3)-3【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案；（2）由（1）可得出（xy）2(xy)24xy，即可得出答案；（3）由（2021m）（m2022）2（20

11、21m）2（m2022）22（2021m）（m2022），即可求解（1）解：由图2可知，大正方形的边长为ab，内部小正方形的边长为ba，小长方形的长为b，宽为a，大正方形的面积为（ab）2，小正方形的面积为（ba）2，小长方形的面积为ab，由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，即（ab）2（ba）24ab（ab）24ab故答案为：（ab）2（ab）24ab（2），（xy）2(xy)24xy52416（3） ，（2021m）（m2022）2（2021m）2（m2022）22（2021m）（m2022），172（2021m）（m2022），（2021m）（m2022）(17)

12、3故答案为：-3【点拨】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键【变式2】探究题图1是一个长为2、宽为2的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形(1)请你用两种不同的代数式表示图2中阴影部分面积： ； (2)观察图2，写出三个代数式，之间的等量关系： (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若，求的值【答案】(1)(2)(3)36【分析】（1）由题意知，阴影部分为正方形，其边长正好为（m n）；根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积由图形可得；（2）大正方形的面

13、积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积；（3）根据绝对值和平方的非负性可得到，根据（2）中的等式代入计算即可（1）解：由图可知，阴影部分是一个正方形，边长为，阴影部分的面积为：；由图形知，阴影部分的面积=大正方形的面积减去四个小长方形的面积，阴影部分的面积为；故答案为：（2）解：由（1）知，；故答案为：（3）解： ，【点拨】此题考查根据图形理解完全平方公式，以及利用整体代入的方法求代数式的值类型六、整式的混合运算6先化简，再求值：，其中，【答案】，【分析】先计算平方差公式和完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得解：，当，时，原式【点拨】本题考查了

14、平方差公式和完全平方公式、单项式乘以多项式以及求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题关键举一反三：【变式1】先化简，再求值：，其中，【答案】【分析】先运用乘法公式化简，再合并同类项，代入数值求值即可解：当，时，原式【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用乘法公式进行计算，代入数值后准确求值【变式2】（1）先化简，并请选择你所喜欢的x的值代入求值（2）方程组的解满足，求k的值【答案】（1）x2+2x-1，原式=2；（2）【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答；（2）按照解二元一次方程组的步骤进行计算，求出x，y的值，然后代入3x-2y=5，进行计算即可解答解：（1）（2x+1）2-（2x+1）（2x-1）+（x+1）（x-3）=4x2+4x+1-4x2+1+x2-2x-3=x2+2x-1，当x=1时，原式=12+21-1=1+2-1=2；（2），解得：，方程组的解x，y满足3x-2y=5，3（8-k）-2（k-7）=5，解得：k=，k的值为【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，二元一次方程的解，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键