【八年级上册】15.26 《分式》全章复习与巩固（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题15.26分式全章复习与巩固（知识讲解） 【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则 3掌握分式的四则运算4结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的 知识体系5结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想【要点梳理】 要点一、分式的有关概念及性质1分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母

2、不能为0，即当B0时，分式才有意义.2. 分式的基本性质3最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分3基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘

3、法运算 ，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 ，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，

4、如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、已知分式（1）_，分式无意义；（2）_，分式值是零【答案】 2 1【分析】（1）直接利用分式无意

5、义则分母为0，进而得出答案；（2）直接利用分式的值为零则分子为零，进而得出答案解：（1）当时，分式无意义，即；故填2；（2）当，时，分式分式值是零，即；故填1【点拨】此题主要考查了分式有无意义和值为0的条件，正确分类讨论是解题关键举一反三：【变式】已知分式，试问：当m为何值时，分式有意义？当m为何值时，分式值为0？【答案】（1）且；（2）【分析】(1)根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式计算即可；(2)根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可解：由题意得，解得，且；由题意得，且，解得，则当时，此分式的值为零【点拨】本题考查了分式有意义和分式为0的条件，熟练掌握分式有意

6、义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键.2、已知3，求分式的值【答案】【分析】由已知可知xy3xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果解：yx3xyxy3xy【点拨】本题考查的是分式的化简求值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键举一反三：【变式】约分(1) ； (2) 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）先找出分子分母的公因式，再将公因式约分即可；（2）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可（1）解：=；（2）解：=【点拨】本题考查分式的约分，公因式，因式分解，约分是将分式的分子与分

7、母中公因式消去，掌握约分，公因式，因式分解是解题关键类型二、分式运算3、将下列各分式通分： （1） ； （2）；（3）； （4）【答案】（1），； （2），；（3），；（4），【分析】将分母两式取各式的最小公倍式，相同因式的次数取最高次幂，分子分母同乘分母的最小公倍式即可得出答案解：（1），；（2），；（3），；（4），【点拨】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：（1）系数取各系数的最小公倍数；（2）凡出现的因式都要取；（3）相同因式的次数取最高次幂举一反三：【变式1】计算（1）； （2）；（3）； （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）按照分式乘除混合运算

8、法则进行计算即可（2）按照分式乘除运算法则进行计算即可（3）分式的分子分母分别平方即可（4）按照分式混合运算法则进行计算即可解：（1）（2）（3）（4）【点拨】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键【变式2】计算（1）； （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）乘除运算统一为乘法运算，约分即可；（2）分子分母分别分解因式，乘除运算统一为乘法运算，约分即可；解：（1）（2）【点拨】本题考查了分式乘除的混合运算，一般两种处理方法：一是按顺序进行，但要注意运算顺序，；二是乘除运算统一为乘法运算当分子或分母是多项式时，要先分解因式再计算4、 计算：（1）； （2）【答案】（1）；（2）【分

9、析】（1）先将括号内先通分，化为同分母分式后，再根据分式的运算法则计算可得；（2）先将括号内先通分，化为同分母分式后，再根据分式的运算法则计算可得解：（1）原式；（2）原式【点拨】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则【变式1】先化简，然后从不等式组的解集中选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值【答案】，4【分析】先将括号内的分式通分，同时将除法变为乘法，并进行因式分解，再进行分式的约分，最后根据不等式的解集，选取使得分式有意义的数代入求解即可解：原式，解不等式组得，根据分式有意义的条件，则，可取，原式【点拨】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的

10、条件，解一元一次不等式组，掌握以上知识是解题的关键【变式2】化简，并求值其中a与2、3构成的三边，且a为整数【答案】，原式【分析】根据分式的运算性质进行花间，再根据三角西三边关系和分式有意义的条件求解即可；解：原式， ，a与2、3构成的三边，且a为整数，即，当或时，原式没有意义，取，原式【点拨】本题主要考查了分式的化简和分式有意义的条件和三角形三边关系，准确分析计算是解题的关键【变式3】先化简：（a1），然后让a在1、1、5三个数中选一个合适的数代入求值【答案】；当a5时，原式值为2【分析】先化除法为乘法，然后利用提取公因式、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，通过约分对已知分式进行化简，最

11、后代入求值解：原式由题意可知：解得a1 所以当a5时，原式【点拨】本题考查了分式的化简求值分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值类型三、解分式方程4、 阅读下列解题过程，完成相应任务解方程+1解：方程两边乘x2，得x3+13第一步解得x1第二步所以原分式方程的解为x1第三步任务一以上解题过程中，第一步的依据是

12、 ；以上解题过程中有哪些错误，请指出来任务二：请直接写出分式方程正确的解【答案】任务一：等式的基本性质；有两处错误：去分母时，不含分母的项“1”没有和“x-2”相乘；没有检验任务二： x=1【分析】任务一、根据等式的性质方程两边都乘x-2，即可得出答案；根据等式的性质即可得出答案；任务二、方程两边都乘x-2得出x-3+x-2=-3，求出方程的解，再进行检验即可解：任务一：解题过程中，第一步的依据是等式的基本性质，故答案为：等式的基本性质；以上解题过程中的错误有：去分母时，不含分母的项“1”没有和“x-2”相乘；没有检验；任务二：+1=，方程两边都乘x-2，得x-3+x-2=-3，解得：x=1，

13、检验：当x=1时，x-20，所以x=1是原方程的解，即原分式方程的解是x=1【点拨】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要检验根【变式1】解下列分式方程：（1）； (2) 【答案】(1) ； (2) 原方程无实数根【分析】(1)方程两边都乘2(x-1)得出2x3-4(x-1)，求出方程的解，再进行检验即可；(2)方程两边都乘(x+1)(x-1)得出2(x+1)-3(x-1)x+3，求出方程的解，再进行检验即可（1）解：， ，方程两边都乘2(x-1)，得2x3-4(x-1)，解得：x检验：当x时，2(x-1)0，所以x是原方程的解，即原方程的解是x

14、；（2）解：， ，方程两边都乘(x+1)(x-1)，得2(x+1)-3(x-1)x+3，解得：x1，检验：当x1时，(x+1)(x-1)0，所以x1是增根，即原方程无实数根【点拨】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键【变式2】先化简，再求值：，其中x是方程的解【答案】，【分析】利用分式的混合运算法则把原式化简，解分式方程得到x2+x=3，代入计算即可解：0， 方程两边同乘x2，得x2+x30，x2+x3，原式【点拨】本题考查的是分式的化简求值、分式方程的解法，掌握分式的混合运算法则、解分式方程的一般步骤是解题的关键 举一反三：类型四、分式方程的增根、无解问题5、已知关

15、于x的分式方程（1）若分式方程的根是，求a的值；（2）分式方程有增根，求a的值；（3）若分式方程无解；求a的值的【答案】(1) 1； (2)- 2；(3) 3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-30两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可(1) 解：去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：把x=5代入得，a=1；(2) 由分式方程有增根，得到x（x-2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程得：a=-2；把x

16、=0代入整式方程得：a的值不存在，分式方程有增根，a=-2(3) 化简整式方程得：（a-3）x=-10，当a-3=0时，该方程无解，此时a=3；当a-30时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a=-2，综上，a的值为3或-2【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值举一反三：【变式1】请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：（1）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程无解求n的取值范围【答案】（1）且；（2）或n=1【分析】（1）先求出分式方程的解，然后根

17、据方程的解为负数可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出答案；（2）先把分式方程转化为整式方程，然后由方程无解分整式方程无解和分式方程有增根两种情况解答即可解：（1）去分母，得，当时，解得：， 方程有解，且解为负数，解得且；（2）方程两边同时乘以（x3），约去分母得：，整理得：，当n1=0时，方程无解，此时n=1；当时，要使方程无解，则有，解得：；综上，或n=1【点拨】本题考查了分式方程的解法和分式方程无解问题，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键【变式2】已知关于x的分式方程，（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围【答案】（1）m=0；(2)

18、m6且m0【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值；（2）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案解：（1）方程两边都乘以得，分式方程有增根解得解得（2）方程两边都乘以得，解得方程的根为正数，且，且【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键类型五、分式方程的应用5、【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的

19、时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？【分析交流】慧慧组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整，生产时间原先现在生产总量（单位：万剂）240每天生产量（单位：万剂）x【建模解决问题】（请你完整解答本题）【谈解题收获】通过本问题的解决，我的收获是：【答案】【分析交流】220；（1+20%）x【建模解决问题】见分析【谈解题收获】构建分式方程解决问题【分析交流】直接由题意即可得出结论；【建模解决问题】设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，由题意：现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，列出分式方程，解方程即

20、可；【谈解题收获】构建分式方程即可解：【分析交流】由题意得：原先生产220万剂疫苗，现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，故答案为：220，（1+20%）x；【建模解决问题】设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，由题意得：=0.5，解得：x=40，经检验：x=40是原方程的解，且符合题意，答：原先每天生产40万剂疫苗【谈解题收获】通过本问题的解决，我的收获是：构建分式方程解决问题，故答案为：构建分式方程解决问题【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 举一反三：【变式1】为了更好的宣传成都大运会，某学校预算元的资金购买甲，乙两种型

21、号的大运会吉祥物“蓉宝”玩具摆放在学校各处，已知乙种比甲种每件便宜元，如果其中元购买甲种玩具，其余资金购买乙种玩具，刚好能将预算花完，且购买乙种的数量是甲种的倍(1) 求甲，乙两种玩具的单价；(2) 购买当日，正逢“大运会走进群众”活动搞促销，所有玩具均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金，购买甲种玩具的数量不少于件，且甲，乙两种玩具数量之和件；问购买甲，乙两种玩具有哪几种方案？【答案】(1) 甲种玩具的单价为元，乙种玩具的单价为元(2) 有两种购买方案：方案一：购买甲种玩具件，乙种玩具件；方案二：购买甲种玩具件，乙种玩具件【分析】设乙种玩具的单价为元，则甲种玩具的单价为元，根据

22、“预算资金为元，其中元购买种商品，其余资金购买乙种玩具，且购买乙的数量是甲种的倍”列分式方程，解方程即可；设购买甲种玩具件，则购买乙种玩具件，根据“购买甲种玩具的数量不少于件”列一元一次不等式组，求出的取值范围，取整即可确定购买方案（1）解：设乙种玩具的单价为元，则甲种玩具的单价为元，根据题意，得，解得，经检验，是原分式方程的根，元，答：甲种玩具的单价为元，乙种玩具的单价为元；（2）设购买甲种玩具件，则购买乙种玩具件，根据题意，得，解得，为正整数，的值为，有两种购买方案：方案一：购买甲种玩具件，乙种玩具件；方案二：购买甲种玩具件，乙种玩具件【点拨】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式组的应

23、用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键【变式2】某商店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍(1)A、B两种茶叶每盒进价分别为多少元？(2)第一次购进A、B两种茶叶分别为10、2盒，第二次购进A、B两种茶叶分别为5盒、6盒(进价不变)，请通过计算比较哪种购买方案成本较少？【答案】(1) A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元(2) 第一次购买方案成本较少【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，由题意：某茶店用4000元购进了A种茶叶若干

24、盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，列出分式方程，解方程即可（2）分别求出两次购进A、B两种茶叶的成本，比较即可解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，由题意得：，解得：x=200，经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，1.4x=280，答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元（2）第一次购进A、B两种茶叶成本为：10200+2280=2560（元），第二次购进A、B两种茶叶成本为：5200+6280=2680（元），25602680，第一次购买方案成本较少【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键