第38讲 椭圆（解析版）.pdf

1、微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538第 38 讲 椭圆1、椭圆的定义平面内一个动点 P 到两个定点1F、2F 的距离之和等于常数1212(2)PFPFaF F,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若2121FFPFPF，则动点 P 的轨迹为线段21FF；若2121FFPFPF，则动点 P 的轨迹无图形.2、椭圆的简单几何性质椭圆：12222 byax)0(ba与12222 bxay)0(ba的简单几何性质标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)

2、0,(1cF，)0,(2 cF),0(1cF，),0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a，),0(b),0(a，)0,(b轴长长轴长=a2，短轴长=b2长半轴长=a，短半轴长=b（注意看清题目）离心率)10(eacecaFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）3、椭圆相关计算微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538（1）椭圆标准方程中的三个量cba,的几何意义222cba（2）通径

3、:过焦点且垂直于长轴的弦,其长22ba焦点弦：椭圆过焦点的弦。最短的焦点弦为通经22ba，最长为 2a。（3）最大角:p 是椭圆上一点，当 p 是椭圆的短轴端点时，21PFF为最大角。（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。焦点三角形的面积122tan 2PF FSb，其中12F PF （注意公式的推导）题型一：椭圆定义1（乌苏市第一中学高二月考）若椭圆2219xy 上一点 A 到焦点1F 的距离为 2，则点 A 到焦点2F 的距离为（）A1B2C3D4【答案】D【详解】由椭圆方程知：3a，又12|2AFAFa，1|2AF，21|2|624AFaAF.故选：D2（全国高二课时练习

4、）设 P 是椭圆221259xy 上的点，P 到该椭圆左焦点的距离为 2，则 P 到右焦点的距离为（）A2B4C8D16【答案】C【详解】设该椭圆左焦点为1F，右焦点为2F，由题可知5a，所以12210PFPFa，而12PF，所以28PF 故选：C3（福建省连城县第一中学高二月考）已知ABC的顶点 B，C 在椭圆2213xy 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC的周长是（）A2 3B6C4D 4 3【答案】D【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538由椭圆2213xy，得：3a，由题意可

5、得ABC的周长为:2212244 3ACCFF BBFaaa.故选：D.4（吉林长春十一高高二月考）若椭圆2219xy 上一点 A 到焦点1F 的距离为 2，B 为1AF 的中点，O 是坐标原点，则|OB 的值为（）A1B2C3D4【答案】B【详解】因为椭圆2219xy，所以3a，设椭圆的另一个焦点为2F，则222624AFa，而OB 是12AF F的中位线，所以222AFOB 故选：B5（广东光明高三月考）已知直线 l：1yx 与曲线 C：2212yx 相交于,A B 两点，(0,1)F，则 ABF的周长是（）A2B2 2C4D 4 2【答案】D【详解】依题意椭圆2212yx ，2,1,1a

6、bc，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538椭圆的焦点为 0,1,0,1，所以 F 是椭圆的焦点，且直线l 过椭圆的另一个焦点0,1.所以 ABF的周长为 44 2a.故选：D6（渝中重庆巴蜀中学高二开学考试）若椭圆2212516xy 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为4，则 P 到另一个焦点的距离为（）A3B4C5D6【答案】D【详解】设点 P 到另一个焦点的距离为 d，由椭圆方程可知225a，210a，则 410d，所以6d.故选：D7（全国高三专题练习（理）已知定点12,F F，且12|8F F，动点 P 满足12|8PFP

7、F，则动点 P的轨迹是（）A椭圆B圆C直线D线段【答案】D【详解】因为|PF1|PF2|F1F2|，所以动点 P 的轨迹是线段 F1 F2.故选：D8（全国高三专题练习（理）已知ABC的顶点 B，C 在椭圆2213xy 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC的周长是（）A2 3B 4 3C4D6【答案】B【详解】椭圆2213xy，则3a，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538由题意可得ABC的周长为2212244 3ACCFF BBFaaa.故选：B9（六安市裕安区新安中学高二开学考试（理）已

8、知 P 椭圆221164xy 上的动点，则 P 到该椭圆两焦点的距离之和为（）A2 3B4C 4 3D8【答案】D【详解】根据椭圆方程221164xy 可得4a，所以 P 到该椭圆两焦点的距离之和为 28a.故选：D.10（山西省长治市第二中学校高二期末（文）已知椭圆2213616xy 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3，则点 P 到另一个焦点的距离为（）A9B7C5D3【答案】A【详解】由椭圆定义知，点 P 到另一个焦点的距离为 26-3=9.故选：A题型二：椭圆标准方程1（全国）以双曲线221169xy 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）A221169xyB2212516xyC2

9、21259xyD2251162xy微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538【答案】C【详解】双曲线221169xy 的焦点为5,0，5,0，顶点为4,0，4,0，所以椭圆的焦点坐标为4,0，4,0，顶点为5,0，5,0，所以22225 169bac，所依椭圆的方程为221259xy.故选：C2（沙坪坝重庆八中高二月考）已知曲线22131xymm表示椭圆，则m 的取值范围为（）A(1,)B(,3)C(1,3)D(1,2)(2,3)【答案】D【详解】由题意可得301031mmmm ，解得13m且2m，所以 m 的取值范围为(1,2)(2

10、,3).故选：D3（全国高二课时练习）已知方程22132xykk表示椭圆，则实数 k 的取值范围是（）A113,22B113,222 C2,D,3【答案】B【详解】由于方程22132xykk表示椭圆，所以3011203,22232kkkkk .故选：B4（全国高二课时练习）椭圆2214xym 的焦距是 2，则m 的值为（）A5B3C5 或 3D20【答案】C微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538【详解】因为焦距是 2，所以1c ，当焦点在 x 轴时，22222,4,41am bcabm解得，5m，当焦点在 y 轴时，222224,

11、41abmcabm解得，3m，故选：C5（全国高二课时练习）焦点坐标为0,4，（0，4），且长半轴6a 的椭圆方程为（）A2213620 xyB2212036xyC2213616xyD2211636xy【答案】B【详解】因为4,6ca，所以22220bac，而焦点在 y 轴上，所以椭圆方程为2212036xy 故选：B6（全国）椭圆22214xya 与双曲线22212xya 有相同的焦点，则实数 a 等于（）A 12B 1C1D 1 或 1【答案】D【详解】因为双曲线22212xya 的焦点在横轴上，所以由题意可得：2224211aaaa ，故选：D7（江苏广陵扬州中学高二月考）椭圆2224x

12、y的焦点坐标为（）A2,0，2,0B0,2，0,2C6,0，6,0D0,6，0,6【答案】A【详解】由题得方程可化为，22142xy所以2224,2,422abc微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538所以焦点为(2,0)故选：A.8（全国）已知椭圆22127xyk的一个焦点坐标为0,2，则 k 的值为（）A1B3C9D81【答案】A【详解】由椭圆22127xyk的一个焦点坐标为0,2，则半焦距 c=2，于是得2(2)27k，解得1k ，所以 k 的值为 1.故选：A题型三：离心率1（毕节市实验高级中学高二月考（文）若椭圆的两个焦点

13、与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）A32B22C53D63【答案】B【详解】由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，所以 b=c.则222abcc，所以离心率22cea.故选：B2（泉州鲤城北大培文学校高二期中）椭圆221168xy 的离心率为（）A 13B12C32D22【答案】D【详解】解：因为椭圆方程为：221168xy，所以216a，28b，所以4a，又222cab，所以2 2c，所以离心率2 2242cea微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538故选：D3（全国高二课

14、时练习）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，则（）A22abB2abC2234abD34ab【答案】B【详解】32e，得22312bea，得224ab，即2ab故选：B4（贵溪市实验中学高三模拟预测）椭圆22194xy 的离心率为 23（）A对B错【答案】B【详解】对于椭圆22194xy，223,945acab，所以离心率为53cea.故选：B5（全国高三专题练习（文）设椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，过2F 的直线与C 交于,A B 两点，若1ABF为等边三角形，则C 的离心率为（）A33B32C23D12【答案】A【详解】由于1ABF

15、为等边三角形，根据椭圆的对称性可知12ABF F，在12RtAF F中，126AF F，2112:1:2:3AFAF F F，所以2332123cea.故选：A6（林芝市第二高级中学高二期末（文）椭圆22149xy 的离心率为（）A33B 23C53D63微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538【答案】C【详解】由椭圆方程可知29a，24b，所以2225cab，椭圆的离心率53cea.故选：C7（黑龙江实验中学高三模拟预测（文）已知抛物线21:4Cyx 的焦点与椭圆2222:1(0)3xyCaa 的一个焦点重合，则2C 的离心率为（

16、）A 14B 12C 34D32【答案】B【详解】抛物线21:4Cyx 的焦点为(1,0)，则椭圆2222:1(0)3xyCaa 的一个焦点为(1,0)，则2314a ，解得2a，所以2C 的离心率为12e.故选：B.8（吉林（文）已知 m 是1和9的等比中项，则圆锥曲线221yxm 的离心率为（）A63B63或 2C 2 33D63或 2 33【答案】B【详解】由 m 是1和9的等比中项，可得3m ，当3m 时，曲线方程为2213yx ，该曲线为焦点在 y 轴上的椭圆，离心率16133e，当3m 时，曲线方程为2213yx ，该曲线为焦点在 x 轴上的双曲线，离心率1 32e，故选：B.9（

17、贵州高三模拟预测（理）已知椭圆22:1(4)4xyCmm 的离心率为33，则椭圆C 的长轴长为（）A6B6C 2 6D12【答案】C【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538由题意可知：433mm，解得6m ，所以椭圆长轴长为：2 6 故选：C 10（宁夏吴忠中学高二月考（文）椭圆2214yx 的离心率为（）A52B32C5D3【答案】B【详解】解：因为2214yx ，所以24a，21b ，即2a，1b ，又因为2223cab，所以3c 所以离心率32cea故选：B题型四：焦点三角形1（广东光明高三月考）已知直线l：1yx 与

18、曲线 C：2212yx 相交于,A B 两点，(0,1)F，则 ABF的周长是（）A2B2 2C4D 4 2【答案】D【详解】依题意椭圆2212yx ，2,1,1abc，椭圆的焦点为 0,1,0,1，所以 F 是椭圆的焦点，且直线l 过椭圆的另一个焦点0,1.所以 ABF的周长为 44 2a.故选：D2（全国高三专题练习（理）已知ABC的顶点 B，C 在椭圆2213xy 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC的周长是（）A2 3B 4 3C4D6【答案】B【详解】椭圆2213xy，则3a，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版

19、下载 QQ 群：457512538由题意可得ABC的周长为2212244 3ACCFF BBFaaa.故选：B3（全国）已知 ABC 的顶点 B C 在椭圆2213xy 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC的周长为（）A2B 2 3C4D 4 3【答案】D【详解】由椭圆方程知：22 3a，又22|2ABBFACCFa，22|BFBFCF，ABC 的周长为 44 3a，故选：D.4（林芝市第二高级中学高三月考（文）已知1F，2F 是椭圆C：2214xy 的两个焦点，若点 P 是椭圆C上的一个动点，则12PF F的周长是（）A 42 3B 42 5C8D10

20、【答案】A【详解】由椭圆C：2214xy 知，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125381a ，1b ，223cab，所以122 3F F，由椭圆的定义知，1224PFPFa，则12PF F的周长为：121242 3PFPFF F.故选：A.5（怀仁市第一中学校云东校区（文）椭圆2212516xy 与 y 轴的交点为 P，两个焦点为1F，2F，则12PF F的面积为（）A6B8C10D12【答案】D【详解】由椭圆2212516xy 可得5,4ab，所以2225 163cab，令0 x 可得4y ，所以0,4P，所以12PF F的面积为

21、12114 61222PyF F，故选：D6（北京市育英学校高二期末）已知点12,F F 分别是椭圆221259xy 的左右焦点,点 P 在此椭圆上,1260F PF,则12PF F的面积等于A3B3 3C6 3D9 3【答案】B【详解】椭圆221259xy则2225,9ab，所以216c，则122210,28PFPFaFFc由余弦定理可知22212212121cos22PFPFFFF PFPFPF代入化简可得1212PFPF，则12211213sin123 32212PF FPFPFF PSF，故选：B.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45

22、75125387（深州长江中学）设 M 是椭圆2212516xy 上的一点，12,F F 为焦点，且126F MF，则12MF F的面积为A16 33B16(23)C16(23)D16【答案】C【详解】试题分析：设112212=,+=10MF x MFxxx则，所以由余弦定理得：22212121212+-43cos=,=64 2-322xxcF MFx xx x即，所以1212121sin=16 2-32MF FSx xF MF8（黑龙江鹤岗一中高二月考）已知椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，A 为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若12AF F的周长为 6，且面积的最

23、大值为3，则椭圆的标准方程为（）A22143xyB22132xyC2212xyD2214xy【答案】A【详解】由椭圆的定义可得 26ac，3ac，当点 A 为上顶点或下顶点时，12AF F 的面积取得最大值为bc，3bc 又222abc，由，得2a，3b，1c ，椭圆的标准方程为22143xy 故选：A9（全国）椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，0,Ab，12AF F的面积为3，且1212F AFAF F，则椭圆方程为（）A2213xyB22134xyC2214xyD22143xy【答案】D由题意可得 1 232c b，且3bc，222abc，微信公众号：数学讲义试卷

24、囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538解得2a，3b，1c ，所以椭圆的方程为22143xy，故选：D10（全国高二课时练习）椭圆221123xy 的焦点为1F，2F，点 P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，那么12PFPF的值为（）A7B5C 92D 83【答案】A【详解】由22123xy1 可知212a，23b，所以2221239cab，所以 F1(3，0)，F2(3，0)，线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，且原点O 为线段12F F 的中点，所以2/PFMO，所以2PFx轴，可设 P(3，b)，把 P(3，b)代入椭圆22123x

25、y1，得234b.|PF1|37 33642，|PF2|33042.127 3|27|32PFPF.故选：A.11（全国高三专题练习（文）已知椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点分别是1F，2F，直线 ykx与椭圆C 交于 A，B 两点，113AFBF，且1260F AF，则椭圆C 的离心率是（）A 716B74C 916D 34【答案】B【详解】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538由椭圆的对称性，得21AFBF.设2AFm，则13AFm.由椭圆的定义，知122AFAFa，即32mma，解得2am，故132aAF，22a

26、AF.在12AF F中，由余弦定理，得122212121222cosF FAFAFAFAF AFF，即2222931742442224aaaaac ，则222716cea，故74e.故选：B.12（全国）已知12,F F 是椭圆22143xy 的左，右焦点，点 A 是椭圆上的一个动点，则12AF F的内切圆的半径的最大值是（）A1B 12C 13D33【答案】D设12AF F的内切圆的半径为 r，由22143xy，则2a，3b，221cab所以1224AFAFa，1222FFc，由12121211112222AF F rAF rAF rF Fy，即121211222Ar F FAFAFy，即3

27、Ary，若12AF F的内切圆的半径最大，即Ay最大，又33Ay，所以 max33r.故选：D13（深圳市龙岗区平冈中学高三月考）已知1F，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若以12F F 为直径的圆过点 P，且21122PF FPF F，则C 的离心率为（）A312B31C312D 23微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538【答案】B【详解】在12F PF中，122190,60F PFPF F设2PFm，则12122,3cF Fm PFm，又由椭圆定义可知12231aPFPFm则离心率2231231ccmeaam，

28、故选：B.14（浙江高二单元测试）已知椭圆222210 xyabab的左右焦点分别为1F，2F，过点2F 的直线l 与椭圆交于 A，B 两点，若1ABF为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A63B66C32D33【答案】D【详解】因为1ABF是正三角形，所以11BFAFAB，ABx轴.设2AFx，则112BFAFax，222ABAFx，故 22axx，解得23ax，从而2223aBFAF.将 xc代入椭圆方程可得22bAFa，因此223aba，得2223ba，故椭圆的离心率22313cbeaa，故选：D.15（吉林高三模拟预测（理）已知1F，2F 是椭圆22:14xCy 的左、右焦点，点 D 在椭圆C 上，12120F DF，点O 为坐标原点，则 OD（）A1B52C62D 32【答案】A【详解】设2DFm，由椭圆的定义可得14DFm，由余弦定理可得222121212122cosF FDFDFDFDFF DF，即221(4)2(4)122mmmm，即2440mm，解得2m，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538所以122DFDF，即点 D 与椭圆C 的上顶点重合，所以1OD .故选：A.