【典例精讲】第7讲 数学广角——植树问题-五年级上册数学精品讲义（思维导图 知识梳理 例题精讲 易错专练）人教版（含答案）.docx

1、第7讲 数学广角植树问题（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：植树问题（1）两端都栽树的问题在一条线段上植树（两端都栽树）的问题：总距离株距=间隔数，植树棵树=间隔数+1（2）两端都不栽树的问题在一条线段上植树（两端都不栽树）的问题：总距离株距=间隔数，植树棵树=间隔数-1（3）在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题：棵数=间隔数=总距离株距三、例题精讲考点一：数学广角植树问题【典型一】将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。A7B10C12D14【分析】将一根木棒锯成4段需锯的次数是（41）次，

2、需要6分钟，锯一次用的时间就是6（41）分钟，将这根木棒锯成7段需要锯的次数是（71）次，然后根据乘法的意义进行解答。【详解】锯一次用的时间是：6（41）632（分钟）据7段需用的时间是：（71）26212（分钟）故答案为：C【点睛】本题属于植树问题，锯的次数段数1是本题的关键。【典型二】学校要在周长为60米的圆形花坛一周每隔5米摆放一盆栀子花，可以摆放( )盆，每2盆栀子花之间摆放2盆长寿花，需要( )盆。【分析】根据题意，可以把圆形花坛可知看作封闭图形， 所以摆栀子花的盆数等于间隔数；用花坛的周长除以间隔的米数，即可求出一共需要摆多少盆栀子花。每2盆栀子花之间摆放2盆长寿花，因为摆长寿花的

3、间隔数与摆栀子花的间隔数相等，用间隔数乘2即可求出需要多少盆长寿花。【详解】60512（盆）12224（盆）【点睛】在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以间隔距离就是植树棵数。【典型三】画图，用“”表示。（1）在下面正三角形的每条边上摆4盆花，怎样摆需要的花最少？（2）12名同学在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。每个顶点都有人，怎么排？【分析】（1）在三角形的三个顶点上各摆一盆，每条边中间再摆两盆是摆放最少的；（2）在正方形四个顶点各站一人，这样就剩1248人，再把8人平均分到四条边上，每条边站84人。【详解】（1）三角形的三个角分别摆一盆，每条边中间再摆两盆如下图：（2）

4、（124）4842（个）每边站两人，正方形的四个角各站一个人如下图：【点睛】此题考查的是植树问题，掌握在封闭图形上棵数间隔数。【典型四】在“美丽乡村”建设中，计划修一条45千米的路，已经修了3天，每天修5千米，剩下的要5天修完。（1）剩下的平均每天修多少千米？（2）在路的两边每隔50米装一盏路灯，两端都要装，一共要装多少盏路灯？【分析】（1）已修天数每天修的长度已修长度，总长度已修长度剩下长度，剩下长度剩下天数剩下平均每天修的长度，据此分析。（2）先考虑一边，植树问题两端都植，棵数段数1，求出路的一侧路灯数量，乘2即可。【详解】（1）（4535）5（4515）53056（千米）答：剩下的平均每

5、天修6千米。（2）45千米45000米450005019001901（盏）90121802（盏）答：一共要装1802盏路灯。【点睛】关键是根据植树问题解题方法，理解棵数和段数之间的关系。四、易错专练一、选择题（满分16分）1张伯伯把一根钢管锯成6段要用30分钟，照这样计算，锯成8段要（）分钟。A42B40C352李明参加了暑期义务劳动，被分到画斑马线的任务。一条马路，李明沿着马路牙画第一条线，线宽40.5厘米，两条线间隔40.5厘米，李明画到对面马路牙正好画了11条，那么这条马路宽（）米。（得数保留一位小数）A4.5B8.5C8.63一根圆木要据成7段，每锯一次需要5分钟，一共需要的时间是（）

6、。A30分钟B35分钟C40分钟4在一条全长lkm的街道两旁安装路灯（两端都要安装），每隔50m安一盏，一共要安装（）盏路灯。A22B42C415小雨住在法制公园附近，公园要在一个边长40m的正方形广场四周植树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米。一共要栽（）棵树。A31B32C33D3206在一条长200m的小路一侧植树，每8m栽1棵（两端要栽），一共要栽（）棵。A26B50C527两个路灯间挂彩灯（两端不挂），每隔2.5米挂一盏，共挂了7盏，两个路灯间的距离是（）米。A17.5B20C228工程队埋电线杆，每隔40米埋一根，两端都埋，共埋71根，这段路全长（）米。A2840B2800C276

7、0二、填空题（满分16分）9小芳爬楼梯时速度保持不变，若从1层到3层用了36秒，那么从3层到6层需用( )秒。10在植树问题中：两端都植，棵数( )；两端都不植，棵数( )；一端植一端不植，棵数( )。117路公共汽车行驶路线全长14km，相邻两站之间路程都是1km。一共设有( )个车站。12在一条长432米的小路一侧每隔24米栽一棵桃树，起点和终点处都要栽，一共需要桃树( )棵；每两棵桃树之间再栽一棵梨树，一共需要梨树( )棵。13在一条24米的走廊一侧，每隔3米放一盆花（两端都放），一共需要( )盆花。14某公交车每隔6分钟发出一辆车，第一辆车早晨7时整发出，到上午8时整一共发出了( )辆

8、车。15一根木料长21dm，把它锯成每段长3dm的小段，每锯一刀用6分钟。一共可以锯成( )小段，锯完这根木料共用( )分钟。16在一条全长50米的道路一旁安装路灯（两端也要安），每隔5米安一个。共要安( )盏路灯。三、判断题（满分8分）17一个正方形操场的四周种树，每边各种15棵，四个顶点各种一棵，一共种树60棵。( )18一根木头锯3段需4分钟，照这样的速度，把它锯6段需要8分钟。( )19要把4根短钢管焊接成1根长钢管，只需焊接3次。( )20每层楼之间有18个台阶，妈妈从1楼上到3楼共上了36个台阶。( )四、连线题（满分6分）21(6分)植树问题算法大思考。（将问题与相应的算式连线）

9、封闭图形计算方法栽树棵数 总长度间隔距离 1不封闭图形：两端都种栽树棵数 总长度间隔距离 1不封闭图形：只种一端栽树棵数 总长度间隔距离不封闭图形：两端都不种五、作图题（满分12分）22(6分)画图，用“”表示。（1）在下面正三角形的每条边上摆4盆花，怎样摆需要的花最少？（2）12名同学在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。每个顶点都有人，怎么排？23(6分)如图，一个正方形水池，每个角各栽一棵树，现要把水池面积扩大到原来的2倍扩大后的水池还是正方形，并且4棵树都不能够动，仍在水池边上，怎么办？请在图中画出示意图六、解答题（满分42分）24(6分)两栋居民楼相距65米，环保小分队要

10、在两楼间的小路旁种树，每两棵相隔5米（两端的树离居民楼为5米），一共要种多少棵树？25(6分)爬了很多阶楼梯回家后，丁丁发现妈妈为新装修的房子添置新时钟，时钟6点敲6下 ，10秒敲完，那么10点敲10下，多少秒可以敲完？26(6分)学校有一条长60米的小道，计划在小道两旁栽树，每隔10米栽一棵（一端栽一端不栽），一共需要多少棵树？（树的宽度忽略不计）27(6分)为迎接新年，学校原计划在笔直的小路一旁放置 51 盆花，它们的间隔是2米，现在要改为放置26盆花（最两端的花盆不动），间隔应该为多少米？28(6分)建材仓库有一批水泥管，一层一层堆成梯形，最上面一层有5根水泥管，下面的一层总是比上面的一

11、层多1根，一共堆6层。这批水泥管有多少根？29(6分)马拉松比赛全程42.5km。如果从距起点2.5km处开始设服务站，到终点服务站共等距离设了9个服务站，每两个服务站之间相距多少km？30(6分)一根木头长4m，把它锯成5段。锯下一段要用8分钟，锯完这根木头要用几分钟？平均每段长多少厘米？参考答案1A【分析】根据“一根钢管锯成6段要用30分钟，”知道锯了（61）次需要30分钟，因此用30（61）求出锯一次所用的时间；要求锯成8段需要的时间，也就是锯（81）次需要的时间，因此用锯一次所用的时间乘（81）次就是锯成8段一共需要的时间。【详解】30（61）（81）30576742（分钟）故答案为：

12、A【点睛】解答此题的关键是知道锯钢管的次数钢管的段数1，再根据基本的数量关系解决问题。2B【分析】根据题意，先用1条斑马线的宽度乘11，求出11条斑马线的宽度；又已知两条线间隔40.5厘米，根据两端都栽的植树问题可知，11条斑马线的间隔是（111）个，用乘法计算求出11条斑马线的间隔宽度；最后用线宽加上间隔宽，就是这条马路的宽度。注意单位的换算：1米100厘米。【详解】40.511445.5（厘米）40.5（111）40.510405（厘米）445.5405850.5（厘米）850.5厘米8.505米8.5058.5故答案为：B【点睛】掌握小数乘法的意义及应用是解题的关键，明确植树问题，两端都

13、栽时，间隔数棵数1。3A【分析】把一根圆木要据成7段，需要锯（71）次，一共需要的时间锯一次需要的时间一共锯的次数，据此解答。【详解】（71）56530（分钟）所以，一共需要30分钟。故答案为：A【点睛】掌握锯木头的段数和次数之间的关系是解答题目的关键。4B【分析】先求出1000米里面有几个50，即有几个间隔，最后一端还要安装一盏，由此得出一旁安装路灯的盏数，进而求出两旁安装路灯的盏数。【详解】100050120121（盏）21242（盏）故选：B【点睛】此题属于典型的植树问题，解答此题关键是先求出间隔数，再用间隔数加1，就是一旁灯的盏数，由此解决问题。5B【分析】在封闭图形上面植树棵数和间隔

14、数相等，则棵数正方形广场的周长每两棵树之间的距离，据此解答。【详解】4045160532（棵）故答案为：B【点睛】理解并灵活运用植树问题的计算公式是解答题目的关键。6A【分析】植树问题中，两端都要栽时，植树棵数间隔数1，由此即可解答。【详解】由分析得，2008125126（棵）故答案为：A【点睛】此题属于植树问题，解答此题关键是掌握两端都要栽时，植树棵数间隔数1。7B【分析】两端不挂，灯笼数量比间隔数少1，则有8个间隔，再用间隔数乘间距求出全长即可。【详解】（71）2.582.520（米）故答案为：B【点睛】本题考查植树问题，解答本题的关键是掌握植树问题中的数量关系。8B【分析】连两端在内共埋

15、了71根，属于两端都栽树的植树问题，间隔数就是（711）个间隔，用每个间隔的长度乘上这个间隔数，即可解答。【详解】40（711）40702800（米）故答案选：B【点睛】本题属于两端都栽树问题，间隔数植树的棵树1954【分析】从一层到三层走了（31）个楼层的楼梯，用了36秒，每层楼梯用时36（31）18（秒）；从3层到6层走了633个楼层的楼梯，用时为183秒，计算即可。【详解】36（31）（63）362318354（秒）【点睛】本题属于植树问题，在解答时，应注意走过的楼层数楼层1；不要忘记减去1，这是容易出错的地方。10 间隔数1 间隔数1 间隔数【分析】如果植树线路的两端都植树，那么全长间

16、距间隔数，用间隔数再加上1就是植树棵数；如果植树线路的两端都不植树，那么全长间距间隔数，用间隔数再减去1就是植树棵数；如果植树线路四周植树，由于在封闭的线路上植树，间隔数树的棵数，而间隔数又等于总距离间隔长，据此解答即可。【详解】在植树问题中：两端都植，棵数间隔数1；两端都不植，棵数间隔数1；一端植一端不植，棵数间隔数【点睛】本题考查了植树问题的相关知识。1115【分析】由题意得出车站总数总长间距1，代数计算即可。【详解】141114115（个）【点睛】这条线路的两端都有车站，根据植树问题中，全长间距1站数，再进一步解答即可。12 19 18【分析】根据题意知，两端都植树，棵数间隔数1，可以得

17、出这条小路一侧可以栽的棵数；每两棵桃树之间再栽一棵梨树，就是在两棵桃树的间隔栽梨树，桃树的间隔数就是要栽梨树的棵树。【详解】43224118119（棵）18118（棵）【点睛】本题考查植树问题，关键是理解间隔数与棵树之间的关系。139【分析】求出所有花盆之间的间隔数，两端都放，再加上1，即花的盆数走廊的长度每两盆花之间的距离1，依此列式并计算即可。【详解】2431819（盆）【点睛】熟练掌握植树问题的计算是解答此题的关键。1411【分析】把题目转化为两端都栽的植树问题，两端都栽时棵数比间隔数多1，早晨7时到上午8时整刚好1个小时，一共发出的车辆数总时长每两辆车的间隔时长1，据此解答。【详解】8

18、时7时1小时60分钟606110111（辆）所以，一共发出了11辆车。【点睛】本题考查了植树问题在实际生活中的应用，掌握两端都栽的植树问题中棵数和间隔数之间的关系是解答题目的关键。15 7 36【分析】用木料总长21分米除以3，求出能锯成多少段，再将其减去1，求出需要锯多少刀，最后将刀数乘6分钟，求出锯完这根木料共多少分钟。【详解】2137（段）（71）66636（分钟）所以，一共可以锯成7小段，锯完这根木料共用36分钟。【点睛】本题考查了植树问题，能根据题意正确列式是解题的关键。1611【分析】两端都植，棵数段数1，据此分析。【详解】505110111（盏）【点睛】关键是根据植树问题的解题方

19、法，理解棵数和段数的关系。17【分析】每边种的棵数44个顶点重复计算的棵数总棵数，据此分析。【详解】154460456（棵）故答案为：【点睛】关键是减去4个顶点重复的棵数，封闭图形里植树，棵数段数。18【分析】锯木头的次数锯木头的段数1，先用除法计算锯一次需要的时间，再根据“一共需要的时间锯一次需要的时间锯木头的次数”求出锯6段需要的时间。【详解】4（31）（61）4252510（分钟）所以，把这根木头锯成6段需要10分钟。故答案为：【点睛】掌握锯木头问题中锯木头的段数和次数之间的关系是解答题目的关键。19【分析】根据“2根钢筋焊接成一根长钢筋，只需焊接1次”知道焊接次数比根数少1，据此解答。

20、【详解】由分析得，要把4根短钢管焊接成1根长钢管，只需焊接413（次）。故答案为：【点睛】此题考查的是植树问题，解答此题关键是掌握焊接次数比根数少1。20【分析】从1楼上到3楼，共有两个楼梯间，则妈妈从1楼上到3楼共上了36个台阶。【详解】18（31）18236（个）故答案为：【点睛】本题考查植树问题，解答本题的关键是掌握植树问题中的数量关系式。21【详解】略22见详解【分析】（1）在三角形的三个顶点上各摆一盆，每条边中间再摆两盆是摆放最少的；（2）在正方形四个顶点各站一人，这样就剩1248人，再把8人平均分到四条边上，每条边站84人。【详解】（1）三角形的三个角分别摆一盆，每条边中间再摆两盆

21、如下图：（2）（124）4842（个）每边站两人，正方形的四个角各站一个人如下图：【点睛】此题考查的是植树问题，掌握在封闭图形上棵数间隔数。23【详解】可以把这四个角上的树变为四条边的中点，如图：2412棵【分析】属于两端都不植，植树棵数间隔数1，由此求出65米里面有几个5米，即求出间隔数，再减去1就是植树棵数。【详解】（棵）答：一共要种12棵。【点睛】关键是区分植树问题的类型，理解棵数和段数之间的关系。2518秒【分析】时钟敲响6下，经历了615个间隔，那么每个间隔的所用时间是：105 2秒。10点敲响10下，经历了1019个间隔，再用2秒乘上9即可求出需要的时间，由此即可解答。【详解】10

22、（61）1052（秒）2（101）2918（秒）答：10点敲10下，18秒可以敲完。【点睛】时钟敲响经历的时间间隔数敲响的次数1，由此即可解决此类问题。2612棵【分析】根据题意可知60米的小道，间距10米栽棵树，就用长度除以间隔即：60106，所以正好有6个间隔，因为一端栽一端不栽，所以一边需要栽6棵，那么计算出两边一共栽的树便可解答。【详解】601026212（棵）答：一共需要栽12棵树。【点睛】直线型植树问题，不论是哪种植树方式，树的棵数都与间隔个数有关，那么具体要栽多少棵要看栽树的方法，是一端栽一端不栽还是两端都不栽。274米【分析】根据题意，两端都放花盆，那么间隔数花盆数1，即51盆

23、花有（511）个间隔，再乘2米，求出这条小路的全长；改为放置26盆花时，仍是两端都放，间隔数是（261）个，用全长除以间隔数即可求出间隔的长度。【详解】（511）2502100（米）100（261）100254（米）答：间隔应该为4米。【点睛】本题考查植树问题，两端都栽：棵数间隔数1；一端栽，一端不栽：棵数间隔数；两端都不栽：棵数间隔数1。2845根【分析】下面的一层总是比上面的一层多1根，一共堆6层，则最下面一层有56110根，再利用梯形的面积公式求出一共有多少根即可。【详解】（5561）6215345（根）答：这批水泥管有45根。【点睛】本题考查植树问题、梯形的面积，解答本题的关键是掌握植树问题中的数量关系式。295km【分析】比赛全程减去2.5km，就是9个服务站之间的距离，9个服务站一共有8个间隔，所以再除以8即可。【详解】（42.52.5）（91）4085（千米）答：每两个服务站之间相距5km。【点睛】此题属于植树问题，属于两端都栽的情况，间隔数棵数1。3032分钟， 80厘米【分析】锯的次数段数1，锯的次数每次时间总时间；总长度段数每段长度，据此分析。【详解】8（51）8432（分钟）4米400厘米400580（厘米）答：锯完这根木头要用32分钟，平均每段长80厘米。【点睛】关键是根据植树问题解题思路，理解次数和段数之间的关系。