【典题精讲】第1讲 圆-六年级上册数学讲义（思维导图 知识梳理 例题精讲 易错专练） 北师大版（含答案）.docx

1、第1讲圆（思维导图+知识梳理+典型精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：圆的认识1.圆的特征:由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。2.圆的画法。(1)手指画圆法。(2)实物画圆法。(3)系绳画圆法。(4)圆规画圆法。3.圆的各部分名称。(1)圆心。画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。圆心一般用字母O表示。(2)半径。用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。半径一般用字母r表示。(3)直径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。4.圆的各部分之间的关系。圆有无数条直径，无数条半径;同圆(或

2、等圆)中的直径都相等，半径都相等;直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=。5.圆心和半径的作用:圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。6.圆的对称性：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴。7.找轴对称图形的对称轴的方法：观察轴对称图形由哪些常见的轴对称图形组成；再把轴对称图形对折，直到完全重合，折痕所在的直线就是我们要找的对称轴。知识点二：欣赏与设计综合运用旋转、轴对称和平移的知识设计图案。知识点三：圆的周长1.圆的周长的意义。圆的周长就是圆一周的长度，也可以理解为将圆滚动一圈的长度。直径的长短决定圆周长的大小。2.圆周长的测量方法。方法一用滚动法测量圆的周长。方法二用绕

3、线法测量圆的周长。3.圆周率的意义。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母表示，计算时通常取3.14。4.圆的周长的计算公式及其应用如果用字母C表示圆的周长，那么C=d或C=2r。已知圆的半径、直径和周长三种量中的一种量，就可以求出另外两种量。(1)已知圆的半径，求圆的周长:C=2r。(2)已知圆的直径，求圆的周长:C=d。(3)已知圆的周长，求圆的半径:r=C2。(4)已知圆的周长，求圆的直径:d=C。知识点四：圆的面积1.圆的面积的含义。圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。2.圆的面积计算公式及其应用。圆的面积=圆周率半径的平方，用字母表示为S=

4、r2。求圆的面积必须知道圆的半径。当已知圆的直径或周长，求面积时，必须先求出圆的半径。(1)已知圆的半径，求圆的面积:S=r。(2)已知圆的直径，求圆的面积:r=，S=r=。(3)已知圆的周长，求圆的面积:r=C2，S=r=(C2)。3.圆环的面积计算公式。内圆面积:S内=r外圆面积:S外=R圆环面积:S环=R-r=(R-r)半圆的面积=圆的面积2组合图形的面积:几种基本图形的面积相加;几种基本图形的面积相减。三、典型精讲考点一：圆的认识【典型一】在边长为10厘米的正方形内画一个最大的圆，它的直径是10厘米在长10厘米宽7厘米的长方形内画一个最大的圆，它的半径是3.5厘米【分析】（1）在边长为

5、10厘米的正方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长（2）在长10厘米、宽7厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的半径等于长方形宽的一半；据此解答【解答】解：（1）在边长为10厘米的正方形内画一个最大的圆，它的直径是 10厘米（2）723.5（厘米），在长10厘米宽7厘米的长方形内画一个最大的圆，它的半径是3.5厘米故答案为：10；3.5【典型二】看图填空。原来有 8个圆现在有 16个圆。【分析】数原有圆的个数，再加上同样多的圆就是加倍后现在有的圆的个数。【解答】解：从图中数得原有8个圆；8+816（个）答：现在有16个圆。故答案为：8，16。考点二：圆的周长【典型一】车轮滚动一

6、周，所行的路程是求车轮的（）A、直径 B、周长 C、面积【分析】车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算【解答】车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长故选：B【典型二】图中，直径为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长【分析】观察图形可知，这个阴影部分的周长等于直径3厘米圆的周长与半径3厘米，圆心角60度的弧长之和，据此根据圆的周长及弧长公式计算即可解答【解答】解：3.143+3.143，9.42+3.14，12.56（厘米）；答：阴影部分的周长是12.56厘米考点三：圆、圆环

7、的面积【典型一】在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？【分析】看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答【解答】因为1010=100，所以正方形的边长是10厘米，所以圆的面积是：3.141010=314（平方厘米）；周长是：3.14102=62.8（厘米），答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米【典型二】如图是长4厘米，宽3厘米的一个长方形，请你在长方形中画一个最大的半圆，并求出该半圆的周长和面积各是多少？【分析】根据题意可知，在这个长方形内画一个最大半

8、圆，这个半圆的直径等于长方形的长，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径，半圆的面积等于该圆面积的一半，根据半圆的周长公式：Cd2+d，根据圆的面积公式：Sr2，把数据代入公式解答。【解答】解：如图：3.1442+46.28+410.28（厘米）3.14（42）223.144212.5626.28（平方厘米）答：这个半圆的周长是10.28厘米，面积是6.28平方厘米。【典型二】为了不断美化居住环境，阳光小区计划修建一个圆形喷水池，喷水池的周围是一条宽的小路供大家休闲，如图，求小路的面积。【分析】观察图形可知，小路的面积也就是圆环的面积，圆环面积S（R2r2），其中r2m，R（21.5）m，代入数

9、据计算即可。【详解】21.53.5（米）3.14（3.5222）3.148.2525.905（平方米）答：小路的面积是25.905平方米。四、易错专练一、选择题（满分16分）1如图所示，图中阴影部分面积和空白部分面积相比较，下面说法正确的是（）。A阴影部分面积大B空白部分面积大C两个部分一样大D无法比较出大小2一个直径1.2米的旧圆桌，爸爸准备给桌面刷上油漆，要刷（）平方米的油漆。A4.5216B1.1304C3.7683在一个长15厘米，宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，圆的半径是（）。A6厘米B12厘米C15厘米4圆的面积与长方形的面积相等。长方形的宽是5分米，长是15.7分米，圆的半

10、径是（）分米。A10B25C5D15.75一个圆至少对折（）次，就可以找到圆心。A1B2C3D46一张圆形的纸对折3次后的圆心角是（）度。A90B45C35D607在一个面积是8平方分米的正方形内剪下一个最大的圆，剩下的面积是（）平方分米。A1.72B6.28C3.14D4.868杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径50厘米，要骑过15.7米长的钢丝，车轮至少要滚动（）周。A10B8C12D15二、填空题（满分16分）9在一个正方形中画一个最大的圆（见图），已知圆的面积是28.26平方厘米，正方形的面积是( )平方厘米。10在一个周长是16厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米，周长

11、是( )厘米。11如图中涂色部分的面积是6cm2，那么整个圆的面积是( )cm2。12把周长是12.56分米的圆平均分成两个半圆，那么每个半圆的周长是( )分米。13在同一个圆中，所有半径都( )。14大圆的半径和小圆的直径相等，大圆面积是小圆面积的( )倍。15将一个圆平均分成20个完全相同的小扇形，拼成的近似长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。16用25.12米的铁丝用成一个圆形铁圈，这个铁圈的面积是( ) 平方米。三、判断题（满分8分）17任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数。( )18在一个半径是6米的圆形花坛的周围围上一圈铁栏

12、杆，铁栏杆的长度是18.84米。( )19半圆的面积是与它等半径的整圆面积的一半，半圆的周长就是与它等半径的圆周长的一半。( )20要使一个圆的面积扩大到原来的6倍，可以将它的半径扩大到原来的3倍。( )四、图形计算题（满分6分）21(6分)求涂色部分面积。五、作图题（满分6分）22(6分)画下面图形的所有对称轴。六、解答题（满分48分）23(6分)有一个周长是3140m的圆形湖，在湖的中间有一个面积是5000m2的小岛。如果在湖中种上白莲，种白莲的面积是多少平方米？24(6分)优秀毕业生为母校捐资修建了一个配有塑胶跑道的运动场，如图。两头是半圆，中间是长75米，宽60米的长方形，这个运动场的

13、占地面积是多少平方米？25(6分)下图中，大圆半径是10厘米，起始位置如图，如果小圆从A点沿大圆内侧滚动至B点，请在下图中画出小圆圆心走过的轨迹，并计算小圆圆心走过的路线是多少厘米？26(6分)奇思骑自行车经过一段长为628米的大桥，自行车车轮直径为0.3米，车轮每分钟转动200圈，奇思大约用多长时间能通过大桥？（自行车身长忽略不计）27(6分)第14届全国运动会田径比赛跑在奥林匹克中心举行。在标准跑道上，如果直道的长度是，第一条半圆形跑道的直径为，每条跑道宽，那么各跑道的起跑线应该相差多少米？28(6分)为了不断美化居住环境，阳光小区计划修建一个圆形喷水池，喷水池的周围是一条宽的小路供大家休

14、闲，如图，求小路的面积。29(6分)妙想在长6分米，宽4分米的长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长、面积各是多少？30(6分)把一张周长24分米的正方形纸剪成一个最大的圆。圆的周长和面积各是多少？参考答案1C【解析】【分析】观察图形可知，空白部分是一个直径等于半圆的半径的圆，设半圆的半径为2，则空白处圆的直径为2，根据圆的面积公式：半径2；求出阴影部分面积与空白处面积，再进行比较即可解答。【详解】设半圆的半径为2，则空白处圆的半径为221阴影部分面积：222（22）2422空白处面积：（22）21阴影部分面积空白处面积。故答案为C【点睛】利用圆的面积公式进行解答，关键是熟记公式。2B【解析

15、】【分析】根据圆的面积公式Sr2，直径与半径的关系rd2，求出圆桌的面积就是刷油漆的面积。【详解】3.14（1.22）23.140.623.140.361.1304（平方米）故答案为：B【点睛】关键是记住圆面积计算公式、半径与直径的关系。3A【解析】【分析】长方形中最大圆的直径等于长方形的宽，长方形的宽已知是12厘米，于是可以求出圆的半径。【详解】根据长方形中最大圆的特点：圆的直径等于长方形的宽是12厘米，所以半径就是1226（厘米）故答案为：A【点睛】解答此题的关键是明白：长方形中最大圆的直径应等于长方形的宽。4C【解析】【分析】长方形的面积长宽，代入数据求出长方形的面积，也就是圆的面积，再

16、带入圆的面积公式求出半径的平方，进而得出半径值。【详解】15.753.1478.53.1425（平方分米）因为5525，所以半径为5分米。故答案为：C【点睛】主要考查圆的面积公式的灵活运用。5B【解析】【分析】一个圆对折实际上我们是沿直径对折的，对折后两条直径会出现一个交叉点，这个点就是圆心。【详解】如图所示：两条折痕交叉与0点，这个点就是圆的圆心。所以一个圆至少对折2次就可以找到圆心。故答案选：B【点睛】考查了确定圆心的方法，注意平时基础知识的积累。6B【解析】【分析】把这张圆形的纸对折1次，折成的角是以这张圆形纸片的圆心为顶点，两条半径为边的平角，平角180；再对折1次，就把平角平均分成2

17、份，每份是90；再对折1次，就是把90平均分成2份，每份是45，据此解答。【详解】3602221802290245（度）故答案选：B【点睛】考查简单的图形的折叠问题，关键明确对折几次，再进行计算对折后的角的度数。7A【解析】【分析】在正方形内剪下一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，由此设圆的半径为r，那么（2r）28，据此求出r2，剩下的面积正方形的面积圆的面积，解答即可。【详解】解：设圆的半径为r。（2r）284r28r2283.14286.281.72（平方分米）故选择：A【点睛】此题考查了有关圆的面积计算，找出圆和正方形之间的关系，先求出半径的平方是解题关键。8A【解析】【分析】将数

18、据带入圆的周长公式：Cd，求出车轮的周长，再用要骑过的长度车轮周长即可。【详解】50厘米0.5米15.7（3.140.5）15.71.5710（周）故答案为：A【点睛】主要考查圆周长公式的实际应用。936【解析】【分析】根据题意。正方形的边长等于圆的直径；已知圆的面积，根据圆的面积公式：圆的面积半径2；半径2圆的面积；进而求出圆的半径；直径半径2，求出直径也就是正方形的边长；再根据正方形的面积公式：边长边长，代入数据，即可解答。【详解】28.263.149（平方厘米）339圆的半径为3厘米正方形面积：（32）（32）6636（平方厘米）【点睛】熟练掌握和灵活运用圆的面积公式、正方形面积公式是解

19、答的关键。102 12.56【解析】【分析】正方形内画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，周长4边长，边长即为圆的直径，直径除以2是半径，圆的周长：。【详解】1644（厘米）圆的半径：422（厘米）圆的周长：43.1412.56（厘米）【点睛】此题考查了圆的周长，关键要理解圆的直径等于正方形的边长。1116【解析】【分析】通过观察图形可知，涂色部分的面积占整个圆面积的，把整个圆的面积看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。【详解】616（cm2），整个圆的面积是16cm2。【点睛】此题属于分数除法应用题的一个基本类型，即已知一个数的几分之几是多少，求这个数，利

20、用基本数量关系解答。1210.28【解析】【分析】首先要明确半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径，根据圆的周长公式：Cd，那么dC，把数据代入公式解答。【详解】12.563.144（分米）12.562410.28（分米）【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。13相等【解析】【详解】根据圆的特征可知，同一个圆中，所有的半径都相等。144【解析】【分析】圆的面积公式：半径2；根据大圆的半径和小圆直径相等，求出大圆面积和小圆面积，即可解答。【详解】设小圆半径为r，则大圆半径为2r小圆面积：r2大圆面积：（2r）24r24r2r24大圆的半径和小圆的直径相等，大圆

21、面积是小圆面积的4倍。【点睛】考查圆的面积公式，关键是熟记公式。1578.5 31.4【解析】【分析】拼成的近似长方形的周长比原来圆周长多的是两个半径的长度，据此可求出圆的半径，根据圆的面积Sr2，圆的周长Cd，代入数据计算即可。【详解】1025（厘米）3.14523.142578.5（平方厘米）3.14523.141031.4（厘米）这个圆的面积是78.5平方厘米。周长是31.4厘米。【点睛】此题考查了圆的周长和面积计算，牢记公式，先求出圆的半径是解题关键。1650.24【解析】【分析】根据圆的周长公式：C2r，那么rC2，据此求出半径，再根据圆的面积公式：Sr2，把数据代入公式解答。【详解

22、】25.1223.1412.563.144（米）3.14423.141650.24（平方米）【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。17【解析】【详解】任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母“”表示。原题说法正确。故答案为：18【解析】【分析】根据圆的周长公式：C2r，把数代入公式即可求出这个铁栏杆的长度，再进行对比即可。【详解】3.146218.84237.68（米）37.6818.84故答案为：。【点睛】主要考查圆的周长公式，熟练掌握圆的周长公式并灵活运用。19【解析】【分析】半圆的面积圆的面积2，半圆的周长圆的周长2直径；据此解答

23、。【详解】半圆的面积圆的面积2，所以半圆的面积是与它等半径的整圆面积的一半；半圆的周长圆的周长2直径，所以半圆的周长不是与它等半径的圆周长的一半。故答案为：【点睛】解题时注意周长的意义，半圆的周长圆的周长2直径。20【解析】【分析】根据圆的面积公式：Sr2及积的变化规律解答即可。【详解】由圆的面积公式及积的变化规律可知：圆的半径扩大到原来的3倍，则圆的面积扩大到原来的339倍，原说法错误。故答案为：【点睛】主要考查圆的面积公式。2132；1544【解析】【分析】图形一，把阴影部分转化成如下图，由此阴影部分面积等于底是8，高是8的三角形面积，根据三角形面积公式：底高2，代入数据，即可解答。图形二

24、，阴影部分面积上底是4，下底是10，高是4的梯形面积减去半径是4的圆的面积的，根据梯形面积公式：（上底下底）高2，圆的面积公式：r2，带入数据，即可解答。【详解】88264232（410）423.144214423.141656250.242812.5615.4422见详解【解析】【分析】根据对称轴的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在的这条直线叫做对称轴，据此画图即可。【详解】根据分析，画图如下：【点睛】解答此题的主要依据是：轴对称图形的意义及特征。23780000平方米【解析】【分析】根据圆的周长公式：c2r，求出半径，再圆的面积公式s

25、r2，求出这个湖的总面积，用湖的总面积减去中间小岛的面积就是种白莲的面积。【详解】314023.1415703.14500（米）3.14500250007850005000780000（平方米）答：种白莲的面积是780000平方米。【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的在实际生活中的应用。247326平方米【解析】【分析】运动场的占地面积半径为（602）米的圆的面积长为75米、宽为60米的长方形的面积，根据圆的面积公式：Sr，长方形面积长宽，代入数据求解即可。【详解】3.14（602）7560282645007326（平方米）答：这个运动场的占地面积是7326平方米。【点睛】主要考查组合

26、图形的面积，关键把组合图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式做题。25图见详解；15.7厘米【解析】【分析】由题意可知：小圆圆心走过的轨迹是以点O为圆心，半径是1025厘米的圆的一半；将数据代入圆的周长公式计算即可。【详解】作图如下：3.14（102）223.14515.7（厘米）答：小圆圆心走过的路线是15.7厘米。【点睛】主要考查圆的周长公式的灵活运用，明确圆心的轨迹是解题的关键。263.33分【解析】【分析】根据圆的周长公式：直径，求出车轮的周长，再用车轮的周长200，求出自行车的速度；再根据时间距离速度，代入数据，即可解答。【详解】628（3.140.3200）628（0.9422

27、00）628188.43.33（分）答：奇思大约用3.33分通过大桥。【点睛】主要考查圆的周长公式的实际应用，关键是熟记公式。277.85米【解析】【分析】根据题意，两个半圆和起来是一个圆，第二个圆的周长比第一个圆的周长长多少米，就是各跑道的起跑线相差的米数，第一个圆的直径是72.6米，半径是72.6236.3米，每条跑道宽是1.25米，第二个圆的半径为36.31.2537.55米，根据圆的周长公式：2半径，求出这两个圆的周长，再用第二个圆的周长第一个圆的周长，据此解答。【详解】72.6236.3（米）3.142（36.31.25）3.14236.36.28（36.31.2536.3）6.28

28、1.257.85（米）答：各跑道的起点线应该相差7.85米。【点睛】考查圆的周长公式的应用，关键明确各跑道的半圆合起来是一个圆，再进行解答。2825.905平方米【解析】【分析】观察图形可知，小路的面积也就是圆环的面积，圆环面积S（R2r2），其中r2m，R（21.5）m，代入数据计算即可。【详解】21.53.5（米）3.14（3.5222）3.148.2525.905（平方米）答：小路的面积是25.905平方米。【点睛】此题考查了圆环的面积计算，牢记公式，分别找出两个半径的长度是解题关键。29周长15.42分米，面积14.13平方分米【解析】【分析】在长6分米，宽4分米的长方形中画一个最大的

29、半圆，这个半圆的直径等于长方形的长，则半径是623（分米）。半圆周长是圆周长的一半加直径，即半圆周长r2r；半圆面积r22。据此解答。【详解】623（分米）周长：3.143329.42615.42（分米）面积：3.1433228.26214.13（平方分米）答：半圆的周长是15.42分米，面积是14.13平方分米。【点睛】考查圆的周长和面积公式的应用。确定长方形中最大半圆的直径是解题的关键。30周长18.84分米；面积28.26平方分米【解析】【分析】在一个正方形的硬纸板上剪一个最大的圆，所剪成的圆的直径和正方形是边长相等，根据正方形的边长周长4求出正方形的边长，也就是圆的直径，再利用圆的周长公式：Cd即可求出周长；直径除以2求出圆的半径，最后利用圆的面积公式：Sr2即可求解。【详解】2446（分米）周长：3.14618.84（分米）面积：3.14（62）23.14928.26（平方分米）答：圆的周长是18.84分米，面积是28.26平方分米。【点睛】此题主要考查的是正方形中画最大圆，灵活运用圆的周长、面积计算公式进行解答。