【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第13篇 第4讲 数学归纳法限时训练 理.docx

1、第4讲数学归纳法 分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取 ()A7 B8 C9 D10解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.答案B2用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是 ()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案D3用数学归纳法证明1，则当n

2、k1时，左端应在nk的基础上加上 ()A. BC. D.解析当nk时，左侧1，当nk1时，左侧1.答案C4对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，1，nN*)，求证：S2n1(n2，nN*)证明(1)当n2时，S2nS411，即n2时命题成立；(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即S2k11，则当nk1时，S2k111111，故当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，对n2，nN*.不等式S2n1都成立8(13分)已知数列an：a11，a22，a3r，an3an2

3、(nN*)，与数列bn：b11，b20，b31，b40，bn4bn(nN*)记Tnb1a1b2a2b3a3bnan.(1)若a1a2a3a1264，求r的值；(2)求证：T12n4n(nN*)(1)解a1a2a3a1212r34(r2)56(r4)78(r6)484r.484r64，r4.(2)证明用数学归纳法证明：当nN*时，T12n4n.当n1时，T12a1a3a5a7a9a114，故等式成立假设nk时等式成立，即T12k4k，那么当nk1时，T12(k1)T12ka12k1a12k3a12k5a12k7a12k9a12k114k(8k1)(8kr)(8k4)(8k5)(8kr4)(8k8

4、)4k44(k1)，等式也成立根据和可以断定：当nN*时，T12n4n.分层B级创新能力提升1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上 ()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案D2(2022广州一模)已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为 ()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a、b、c解析等式对一切nN*均成立，n1,2,3

5、时等式成立，即整理得解得a，bc.答案A3已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_解析本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数n所拥有数对为(n1)对设123(n1)60，60，n11时还多5对数，且这5对数和都为12，12111210394857，第60个数对为(5,7)答案(5,7)4已知数列an的通项公式an(nN*)，f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(

6、n)的值是_解析f(1)1a11，f(2)(1a1)(1a2)f(1)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)f(2)，由此猜想，f(n)(nN*)答案(nN*)5设数列an满足a13，an1a2nan2，n1,2,3，(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列an的前n项和，试求使得Sn2n成立的最小正整数n，并给出证明解(1)a25，a37，a49，猜想an2n1.(2)Snn22n，使得Snn22n.n6时，266226，即6448成立；假设nk(k6，kN*)时，2kk22k成立，那么2k122k2(k22k)k22kk22kk22k32k(

7、k1)22(k1)，即nk1时，不等式成立；由、可得，对于所有的n6(nN*)都有2nn22n成立6(2022安徽)数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c0；(2)求c的取值范围，使xn是递增数列(1)证明先证充分性，若c0，由于xn1xxncxncxn，故xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由x2x1可得c0.(2)解假设xn是递增数列由x10，得x2c，x3c22c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xxnc知，对任意n1都有xn0，即xn1.由式和xn0还可得，对任意n1都有xn1(1)(xn)反复运用式，得xn(1)n1(x1)(1)n1，xn1和 xn(1)n1两式相加，知21(1)n1对任意n1成立根据指数函数y(1)n的性质，得210，c，故0c.若00，即证xn对任意n1成立下面用数学归纳法证明当0c时，xn对任意n1成立(i)当n1时，x10，结论成立(ii)假设当nk(kN*)时，结论成立，即xn.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，这就是说当nk1时，结论也成立故xnxn，即xn是递增数列由知，使得数列xn单调递增的c的范围是.