【备战2022】北京中国人民大学附中高考数学（题型预测 范例选讲）综合能力题选讲 第30讲 是否存在型的探索性问题（含详解）.docx

1、是否存在型的探索性问题题型预测一般来说，是否存在型问题，实质上是探索结论的开放性问题相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论，有些时候须讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的命题者的青睐解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素范例选讲例已知数列中，且对于任意自然数，总有，是否存在实数，使得对于任意自然数恒成立？证明你的结论讲解：是一个一般性的结论，为了探求是否存在，我们可从特殊的n出发，求出的值，再检验是否满足一般的条

2、件由，代入，可解得代入检验，可知当时，一方面由得，另一方面，由得，矛盾所以，这样的实数不存在上述过程是解答这一类问题的一般方法，但对于本题，有它的特殊性如果对极限的概念较为熟悉，不难发现，如果这样的存在的话，则由，可得：对两边取极限，得，解得或3若，则数列应该是以1为首项，以为公比的等比数列，显然，不可能对任意的正整数n都满足；若，将代入，可求得3，此时，验证即可得出矛盾作为探索是否存在的一种手段，后一种方法显然优于前一种点评：探索，常常遵循“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维方法先从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证例2已知函数（是自然数）是奇函数，有最大值，且（

3、）试求函数的解析式；（）是否存在直线与的图象只交于P、Q两点，并且使得P、Q两点的中点为（1，0）点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由讲解：（）由为奇函数易知：又因为是自然数，所以，当时，0；当时，所以，的最大值必在时取得当时，等号当且仅当时取得所以，又，所以，结合是自然数，可得：所以，（）对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛盾，或者从部分结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线，则、Q的坐标可为P，且这两点都在函数的图像上即：消去，得，解得：所以，或所以，直线的方程为：的存在性还须通过充分性的检验把直线的方程

4、与函数联立，不难求得，共有三组解：因此，直线与的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾所以，满足条件的直线不存在在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数的性质（如奇偶性）并没有得到充分的应用若能充分运用这个已知条件，则可以得到其他不同的探索过程解2：设，则由为奇函数可知：P关于原点的对称点也在的图像上，又，所以，且，故问题等价于：是否存在直线，使得与有两个距离为2的交点将代入，解之得：，令，解得：，所以，此时直线的方程为充分性的检验过程同上以上两种解法都是从求出直线的方程入手如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法解3：当直线的斜率不存在时，此时与函数

5、的图像只交于一点，不满足题设，所以，可设直线的方程为：，与联立，消去得： （#）由P、Q关于点（1，0）对称，可得：点（1，0）在直线上，所以，对于上述方程（），若，则方程只有一解，不符合题意若，则方程（#）的实根个数可能为1个或3个不可能有两个即过点（1，0）的直线与的图象不可能只有两个交点，所以，这样的直线不存在点评：敏锐的观察，丰富的想象，是进行有效探索的法宝例3已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和（）用表示；（）是否存在自然数和，使得成立讲解：（）由，得（）为了探求自然数和的存在性，我们可以执果索因，用分析法要使，只要因为，所以，故只要 到此为止，可以看出，问题已转化为：是否存在自然数k，使得在和之间存在一个自然数？因此，我们需考察与的表达式注意到：，所以，当时，故只需考虑的情形又时，；时，所以，均不可能存在自然数满足条件点评：如果将上述问题（）改为：“是否存在自然数，使得对于任意的自然数，都有成立？”是否有更简洁的解法？请读者思考