【大题精编】2023届浙江省中考数学复习 专题7 二次函数综合问题 解答题30题专项提分计划解析版.docx

1、【大题精编】2023届浙江省中考数学复习 专题7 二次函数综合问题 解答题30题专项提分计划（浙江省通用）1（2022浙江舟山统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D点B的坐标是(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当时x的取值范围(2)将图象向上平移m个单位后，二次函数图象与x轴交于E，F两点，若，求m的值【答案】(1)，当时，(2)【分析】（1）把代入中求出，即得，从而求出A、C坐标；找出在x轴上方部分的函数图象上的自变量的取值范围，即可求出时x的取值范围；（2）设平移后抛物线解析式为，设该图象与x轴交于，两点，则，根据，可建立

2、关于m方程，解之即可【详解】（1）把代入，得，解得，对称轴为直线，B，C关于对称，当时，；（2）抛物线向上平移m个单位，可得抛物线的解析式为， 设二次函数图象与x轴交于，两点，则，【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式的关系、二次函数图象的几何变换、二次函数图象与坐标轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质2（2022浙江杭州校考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数(1)若该函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标(2)若为此函数图象上两个不同点，当时，恒有，试求此函数的最值(3)当且时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由【答案】(

3、1)(2)函数有最大值0(3)在第二象限，理由见解析【分析】（1）直接将点代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；（2）利用题意，求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）利用顶点公式求得， ，由且即可判断，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限【详解】（1）解：函数图象过点，将点代入，得：，解得，二次函数的解析式为，该二次函数的顶点坐标为；（2）解：函数的对称轴是直线，为此二次函数图象上的两个不同点，且，恒有，当时，函数有最大值0；（3）解：，由顶点公式得：， ，且，该二次函数图象的顶点在第二象限【点睛】本题考查二次函数图象和性质；二次函数图象上点的特征，二

4、次函数的最值，熟知二次函数的顶点公式是解决本题的关键3（2020浙江绍兴模拟预测）一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系求抛物线的解析式；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？(2)如图，若把桥看做是圆的一部分求圆的半径；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？【答案】(1)抛物线解析式为：；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米；(2)圆的半径为米；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；根据题意得出时，求出x的值即可；（2）构造直角三角形利用，求出即可；在中，由题可知

5、，根据勾股定理知：，求出即可【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，桥下水面宽度是20米，高是4米，A，B，D，解得：，抛物线解析式为：；要使高为3米的船通过，则，解得：，米；答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米；（2）解：设圆半径r米，圆心为W，解得：；即圆的半径为米；在中，由题可知，根据勾股定理知：，即，所以，此时宽度米答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、垂径定理以及勾股定理的应用等知识，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键4（2022浙江温州温州市第三中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形，点在轴的正半轴上，

6、点在轴的正半轴上，抛物线经过点与点(1)求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴(2)现将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，若平移后的抛物线恰好经过点与点，求，的值【答案】(1)，对称轴为直线(2)，【分析】（1）由题意可得点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再根据二次函数的性质以及B、C坐标求解即可【详解】（1）解：由题意，点A、B、C的坐标分别为、，将、代入中，得，解得，二次函数的表达式为，该抛物线的对称轴为直线；（2）解：，则平移后的抛物线的表达式为，平移后的抛物线恰好经过

7、点与点，轴，平移后的对称轴为直线，则,，将代入，得，解得：【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形性质、正方形的性质等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键5（2022浙江宁波统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线（m、b均为常数）交于点和点B(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即轴），且，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围【答案】(1)，(2)或(3)点M的横坐标的取值范围为或【分析】（1）用待定系

8、数法即可求解；（2）求出点的坐标为，再观察函数图象即可求解；（3）根据题意确定出且，根据二次函数与不等式的关系求出的取值范围即可【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；故，；（2）解：由（1）得，直线和抛物线的表达式为：，联立上述两个函数表达式并解得，或（不符合题意，舍去），即点B的坐标为，从图象看，不等式的解集为或；（3）解：由题意设点M的坐标为，则点，线段MN与抛物线只有一个公共点，解得：或，点M的横坐标的取值范围为或【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的性质、二次函数的性质、根据图像的交点坐标解不等式，其中（3），求不等式组

9、的解集是解题的关键6（2022浙江杭州杭州绿城育华学校校考二模）设二次函数（m，n为常数，）(1)判断该抛物线与x轴的交点的个数，并说明理由(2)若，点在该二次函数图象上，求证：(3)设，是该函数图象上的两点，其中，若且，求的取值范围【答案】(1)1个或2个，见解析(2)见解析(3)【分析】（1）首先求出的值，进而得出答案（2）把x2代入用m、n表示a，由a的范围结合可解（3）通过作差法，根据，可得，进而求解【详解】（1）解：该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由如下：，该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个（2）当时，相加得：，（3），是该函数图象上的两点，或，【点睛】本题主要

10、考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系7（2022浙江杭州校考二模）在平面直角坐标系中，点和点在二次函数的图像上(1)若，求二次函数的表达式及图像的对称轴(2)若点是二次函数图像上的任意一点且满足，当时，求证：(3)若点在该二次函数的图像上，试比较m，n的大小【答案】(1)二次函数的表达式为，其对称轴为(2)见解析(3)【分析】（1）求出，代入求解，再利用对称轴公式解答即可；（2）根据点是二次函数图象上任意一点，且，得出为最低点，再根据抛物线的对称性，得出n的值，最后根据，得出结果

11、（3）将点代入，求出解析式，把和代入比较即可【详解】（1）解：，把A、B代入得，解得：，二次函数的表达式为：，对称轴为，即对称轴为直线；（2）证明：点是二次函数图象上任意一点，且，可得为最低点，即开口向上，对称轴，则，根据抛物线的对称性，可知和时的函数值相等，当时，即，将代入，得，；（3）解：将点代入得：，解得：，y，当时，当时，【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是灵活运用二次函数的性质解决实际问题8（2020浙江衢州统考二模）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售

12、单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本(1)求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）【答案】(1)(2)销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元(3)销售单价应该控制在元至元之间【分析】（1）根据利润=单件利润数量即可求得函数关系式；（2）根据二次函数的性质求解即可；（3）根据题意，先求得每天的销售利润不低于元时的销售单价范围，再根据每天的总成

13、本不超过元求得销售单价范围，进而可求解【详解】（1）解：根据题意，得，故每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）解：，抛物线开口向下，对称轴是直线，当时，答：销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元；（3）解：当时，解得，当时，每天的销售利润不低于元由每天的总成本不超过元，得，解得，销售单价应该控制在元至元之间【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式和不等式，并正确求解是解答的关键9（2021浙江宁波校考三模）如图，直线与x轴交于点B抛物线与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C(1)求抛

14、物线的函数解析式，并求出点A的坐标(2)求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当时，x的取值范围【答案】(1)点A的坐标（1，），y2(2)x2或x=4【分析】（1）根据直线与x轴交于点B，可以求得y=0时对应的x的值，从而可以得到点B的坐标，再根据抛物线过点D和点B，即可求得该抛物线的解析式，然后与直线联立方程组，即可求得点A的坐标；（2）根据（1）求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点E的坐标，然后结合图像，可以写出当时，x的取值范围【详解】（1）由直线与x轴交于点B，可得点B的坐标为（4，0）把点B（4，0）与点D（0，4）代入得解得， 点A为直线与抛物线

15、的交点，解方程得x=1，点A的坐标（1，）；（2）当=0时，=0，解得，点E的坐标为（-2，0），结合图像，当时，x的取值范围是x2或x=4【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键10（2021浙江宁波校考三模）如图，抛物线（a为常数）与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，直线AB的函数表达式为（k为常数）(1)求a的值；(2)求直线AB的函数表达式；(3)根据图象写出当时x的取值范围【答案】(1)a=1；(2)y=x-3；(3)x0或x3【分析】（1）直线AB的函数表达式为，故点B（0，-3），抛物线，故点B（0，-

16、3），故-3a=-3，即可求解；（2）由抛物线的表达式求出A（3，0），将点A的坐标代入直线AB的表达式，即可求解；（3）观察图象即可求解【详解】（1）直线AB的函数表达式为，令x=0，则y=-3，故点B（0，-3），抛物线，且点B（0，-3），故-3a=-3，解得：a=1；（2）a=1，故抛物线的表达式为：，令y=0，则x=-1或3，故点A（3，0），将点 A（3，0）代入直线AB的表达式，解得：k=1，故直线AB的表达式为：y=x-3；（3）从图象看，x0或x3时，【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），用待定系数法求出函数表达式是解题的关键11（2022浙江衢州统考二模）在新农村建设

17、过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄如图，一农户用长为25m的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃已知小门宽为1m，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）(1)求S关于x的函数表达式(2)如果要围成面积为54 m2的花圃，AB的长为多少米？(3)若墙的最大长度为10m，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB的长【答案】(1)；(2)3米或6米；(3)能围成的花圃的最大面积为平方米，此时AB的长为米【分析】（1）设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m 2），再表示BC的长，再利用面积公式可得函数关系式；（2）把代入（1）中的函数关系式，再解方程即可

18、；（3）先求解x的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题即可【详解】（1）解：设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m 2）则 （2）解：当时，则 整理可得： 解得： 所以AB的长为3米或6米（3）解：由题意可得： 解得： 由抛物线的开口向下，当时，S随x的增大而减小，当时，最大，此时 所以墙的最大长度为10m，则能围成的花圃的最大面积为平方米，此时AB的长为米【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，一元二次方程的应用，二次函数的性质，熟练的利用面积公式列关系式或方程是解本题的关键12（2022浙江温州统考二模）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点，抛物线，的交点的横坐标是1，过

19、点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，(1)求抛物线的对称轴和点的横坐标(2)求线段和的长度【答案】(1)对称轴；点的横坐标是-3(2)；【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴x=-1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标；（2）求出P2的对称轴，再求出点B的坐标，从而求得AB的长，把分别代入两个函数表达式，求得，从而求得CD的长【详解】（1）抛物线的对称轴点与点关于直线对称，且点的横坐标是1点的横坐标是（2）抛物线的对称轴点与点关于直线对称，且点的横坐标是1点的横坐标是4把分别代入两个函数表达式，得即由题意，当时，【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是判断点

20、A与点E关于对称轴x=-1对称，点B与点E关于对称轴对称13（2022浙江温州温州市第十二中学校考二模）疫情期间，某口罩公司生产A、B两种类型医用口罩一家超市4月份向该公司订购了1500件A型口罩和1500件B型口罩，一共花了5700元；5月份又花5600元订购了2000件A型口罩和1000件B型口罩(1)求该公司A、B两种类型医用口罩的单价(2)6月份，该超市决定只卖A型口罩经调查发现，当销售单价定为2元时，每天可售出100件，销售单价每涨价0.1元，每天销售量减少10件设每天销售量为y件，销售单价为x元（）求y与x的函数关系式该超市决定每销售一件口罩便向某慈善机构捐赠a元（）当销售单价为多

21、少元时，当月获得的利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1)A、B口罩的单价分别为18元和2元(2)；当销售单价为25元时，当月获得的利润最大，最大利润为（10501500a）元【分析】（1）设出、口罩的单价，根据题条件列出关于的二元一次方程组，解出即可；（2）根据题目条件写出的关系式即可；设出利润为W，根据利润每个利润销售量，列出的关系式，根据二次函数的性质即可求得最大值（1）解：设口罩的单价为元，则口罩的单价元由题意，得，解，得 答：、口罩的单价分别为元和元；（2）解：由题意可得：设该超市每天获得的利润为W元，由题意可得：，当时，一天获得的利润最大，为元因此，该超市当月获得的最大利润为元【

22、点睛】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的解析式、二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键14（2022浙江台州统考二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：s/m912151821h/m4.24.854.84.2(1)根据表中数据预测足球落地时，s= m；(2)

23、求h关于s 的函数解析式；(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度【答案】(1)30(2)(3)守门员不能成功防守；说明见解析；守门员的最小速度为m/s【分析】（1）由函数图象顶点坐标信息可得答案；（2）由数据表得抛物线顶点（15，5），设解析式为，再利用待定系数法求解函数解析式即可

24、；（3）设守门员到达足球正下方的时间为t s由题意得15t=20+2.5t，解得t=，再计算足球此时的高度即可；由题意判断：当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小再求解此时足球飞行的水平距离s=27m，可得足球的飞行时间，从而可得答案【详解】（1）解：由函数图象信息可得：顶点坐标为： 所以预测足球落地时， 故答案为：30（2）解：由数据表得抛物线顶点（15，5），故设解析式为，把（12，4.8）代入得 所以解析式为（3）解：设守门员到达足球正下方的时间为t s由题意得15t=20+2.5t，解得t=，即s=24 m，把s=24代入解析式得，而，所以守门员不能成功防守 当h=1

25、.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小所以把h=1.8代入解析式得：解得：s=27或s=3（不合题意舍去）所以足球飞行时间，守门员跑动距离为（m），所以守门员速度为m/s【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键15（2022浙江绍兴统考一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的

26、水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？【答案】(1)能浇灌到小树后面的草坪；(2)最大值为；(3)喷射架应向后移动1米【分析】（1）根据当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度6米，设设水流形成的抛物线为，代入点（0，1）求出二次函数的解析式，再求出当x15时的函数值，即可得到结论；（2）先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解；（3）设喷射架向后平移了m米，设

27、出平移后的函数解析式，代入点B的坐标即可求解(1)解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度6米，则可设水流形成的抛物线为 ，将点（0，1）代入可得a= ，抛物线为当x=15时，y=4.754.2，能浇灌到小树后面的草坪(2)解：由题可知A点坐标为（15，3），设直线OA的解析式为y=kx，把点A的坐标（15，3）代入得15k3解得 k则直线OA为的最大值为(3)解：设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为将点B（15，4.2）代入得：解得m=1或m= -11(舍去)喷射架应向后移动1米【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的

28、关键16（2019浙江湖州校联考一模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点，与轴交于点抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点(1)求该抛物线的解析式和顶点的坐标；(2)设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大；(3)如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标【答案】(1)，；(2)时，四边形的面积最大(3)或或或【分析】利用待定系数法求二次函数解析式，然后化为顶点式即可得顶点坐标；设，由可求得，即可得到答案；根据题意分情况讨论，平行四边形以为边时，则，

29、设Q点的坐标是，点的坐标是，可列方程求出点；平行四边形以为对角线时，则的中点为 可设点的坐标是，点的坐标是，根据坐标中点公式列方程即可解答【详解】（1）解：抛物线的图象经过点，解得，抛物线的解析式是，化为顶点式为：，顶点E的坐标是；（2）解：令，即，解得，点的横坐标是，连结，如下图所示：；，当时，四边形的面积最大为；（3）平行四边形以为边时，直线l：，可设点的坐标是，点的坐标是，当，如图，解得：，此时Q点的坐标分别是，；当，如图，解得：，不合题意，舍去，此时Q点的坐标是；平行四边形以为对角线时，如图，根据平行四边形的对角线相互平分可知，两点到轴距离相等；设点坐标为，则点的坐标是，得到，整理得，

30、解得：，不合题意，舍去，此时点的坐标是，综上所述，满足条件的点坐标为：或或或【点睛】本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式有关知识分情况讨论平行四边形的边长与坐标的关系是解题的关键17（2022浙江丽水一模）如图，已知，抛物线与y轴交于点D，连接并延长交x轴于点C，过A作轴于点B(1)求点C的坐标；(2)若抛物线经过点B，求抛物线的函数表达式；(3)点E为抛物线与线段的一个交点（不与点D重合），设点E到y轴的距离为m，点E到抛物线对称轴的距离为n，若，求a的值【答案】(1)（-2，0）(2)(3)a=【分析】（1）先确定点D（0，2），设直线AD的解析式为y=kx+b，

31、确定解析式后，求其与x轴的交点坐标即可（2）根据A（1，3），得到点B（1，0），代入抛物线，确定a值即可得证（3）设E（，+2），因为点E为抛物线与线段的一个交点（不与点D重合），所以+2=，解得=0，=1-a，因为不与点D重合，所以=0舍去，所以=1-a，当点E在CD上和点E在AD上求解（1）因为抛物线与y轴交于点D，所以点D（0，2），设直线AD的解析式为y=kx+b，因为，D（0，2），所以，解得，所以直线AD的解析式为y=x+2，令y=0，得x+2=0，解得x=-2,所以点C的坐标为（-2，0）（2）因为A（1，3），轴于点B，所以点B（1，0），代入抛物线，得，解得a=-3，所以抛

32、物线的解析式为（3）设E（，+2），当点E在CD上时，因为点E为抛物线与线段的一个交点（不与点D重合），所以+2=，解得=0，=1-a，因为不与点D重合，所以=0舍去，所以=1-a，因为抛物线在y轴的左侧，所以x=，所以a0，因为点E到y轴的距离为m，点E到抛物线对称轴的距离为n，所以m=|=|1-a|，n=|+|=|1-|，因为，所以|1-a|=5|1-|，当1-0即a2，故当1a2时，原式变形为5（1-）=a-1，解得a=；当1-0即a2，故当a2时，原式变形为-5（1-）=a-1，解得a=；当0a1时，原式变形为5（1-）=1-a，解得a=，舍去；综上所述，a=或当点E在AD上时，设E（

33、，+2），因为点E为抛物线与线段的一个交点（不与点D重合），所以+2=，解得=0，=1-a，因为不与点D重合，所以=0舍去，所以=1-a，因为抛物线在y轴的右侧，所以x=，所以a0，因为点E到y轴的距离为m，点E到抛物线对称轴的距离为n，所以m=|=|1-a|，n=|+|=|1-|，因为，所以|1-a|=5|1-|，因为a0，所以1-0， 1-a0，原式变形为5（1-）=1-a，解得a=，不符合题意，舍去综上所述，a=或【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，一次函数解析式的确定，距离的认识，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，全面认识距离是解题的关键18（2022浙江丽水统考二模）如图，已知

34、抛物线（a0）的对称轴为直线x1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B(1)若直线ymx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【答案】(1)，yx+3(2)M的坐标为（1，2）(3)点P的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，）或（1，）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求

35、解即可【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线x1，且抛物线经过A（1，0），故点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y，将点C坐标代入上式得：3a（3），解得a1，抛物线的解析式为：；把B（3，0），C（0，3）代入ymx+n得：，解得，直线的解析式为yx+3；（2）解：设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x1代入直线yx+3得y2，故M（1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（1，2）；（3）解：设P（1，t），B（3，0），C（0，3），则18，若点B为直角顶点时，则，即18+，解得t2；若点C为直角顶点时，则BC2+PC2PB2，即1

36、8+，解得t4，若P为直角顶点时，则，则+18，解得t，综上，点P的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，）或（1，）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏19（2021浙江湖州模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结CA和CB若射线CO，CA，CB中的一条平分另两条组成的角，则称该抛物线为“倍角抛物线”(1)求证：抛物线ya+c（ac0）是倍角抛物线；(2)如图，已知抛物线是倍角抛物线，点A（3，0），B（8，0），将ABC沿着直线AC翻折，得到ADC求该抛物线

37、的解析式；点E为抛物线对称轴上的一个动点，连结AE，AC是否存在这样的点E，使得tanCEA？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)见解析(2)y（x3）（x8）；存在，E（，6）或（，6）【分析】（1）由抛物线的对称轴是y轴，与x轴的两个交点关于y轴对称可得；（2）作AFBC于F，可得AF3，由AB5求得，BF4，在RtBOC中，即可求得；作ACE的外接圆I，作直径AF，连接CF，求出圆的半径为及圆心的坐标（，6），设E（，a），利用EI可求得（1）证明：设抛物线顶点为C，与x轴的两个交点为A，B，由得，x1，x2，OAOB，抛物线的对称轴是y轴，OCAB，ACOBC

38、O，即CO平分ACB，抛物线是倍角抛物线；（2）解：如图1，作AFBC于F，CA平分BCO，AOCO，AOAF，ACAC，RtAOCRtAFC（HL），CAOCAF，AFOA3，CFOC，在RtABF中，ABOBOA5，BF，在RtBOC中，BCBF+CF4+OC，OC6，C（0，6），设ya（x3）（x8），a（3）（8）6，a，抛物线的解析式是y（x3）（x8）；解：如图2，假设存在点E，作ACE的外接圆I，作直径AF，连接CF，ACF90，FAEC，在RtAOC中，OA3，OC6，AC3，tanACO，sinFsinCEAsinACO，在RtCAF中，AI，作AC的垂直平分线交AC于M，

39、交x轴于G，AMG90，作MNAB于N， M是AC的中点，A（3，0），C（0，6），M（，3），GCAOOCACAO90，GOCA，GNMCOA90，GMNCAO，GN6，OGGNON6，G（，0），设直线GM的解析式是ykxn，把点G和点M的坐标代入得，解得，直线GM的解析式是：y，设I（p，），由AI得，（p3）2+（）2（）2，（舍去），p，6，I（，6），抛物线的解析式是y（x3）（x8），抛物线的对称轴是直线x，设点E（，m），由EI得，（）2+（m6）2（）2，6，6，E（，6）或（，6）【点睛】本题考查了新定义下的阅读理解，将条件转化为一次函数图象及性质，二次函数图象及其性质，

40、相似三角形的判定和性质，与圆有关位置和性质等知识，解决问题的关键是数形结合20（2019浙江嘉兴统考二模）如图 1，抛物线 交 x 轴于点 和点B，交 y 轴于点 (1)求抛物线的函数表达式(2)若点M在抛物线上，且，求点M的坐标(3)如图 2，设点N是线段AC上的一动点，作DNx轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值【答案】(1)(2)或或或(3)1【分析】（1）把，代入抛物线的解析式，即可求出（2）根据抛物线的解析式为，求出，然后设，根据，列方程求出解即可得到答案（3）设直线AC的解析式为，将，代入，求出直线AC的解析式，接着设，则，然后列出DN与x的函数关系式，最后利用配方法求出解即

41、可【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得解得即抛物线的解析式为（2）由（1）得，此抛物线的解析式为令y=0，得，设，根据，列方程得，或解得或0或-1点M的坐标为或或或（3）设直线AC的解析式为将，代入，得到，得直线AC的解析式为设，则，当x=-1时，DN的有最大值1DN的最大值为1【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，一次函数的解析式，解一元二次方程等内容，解题关键是学会构建二次函数，利用数形结合的思想解二次函数相关问题，属于中考压轴题21（2022浙江丽水统考一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A(4，0)，点C(0，4)若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG

42、:GB=3:1(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EFFG已知OE=m，OF=t当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)，点D的坐标为(-1，0)；(2)当时，m有最大值，；存在，当时点恰好落在抛物线上【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；（2）证明EOFFCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得

43、点R (-m，2t)，点Q (2t，-m)，代入二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解（1）解：点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，OA=OC=BC=4，CG:GB=3:1CG=3，BG=1，点G的坐标为(3，4)，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A(4，0)，C(0，4)，G (3，4)，代入y=ax2+bx+c得，解得，抛物线的解析式为y=-x2+3x+4，令y=0，则-x2+3x+4=0，解得x=4或x=-1，点D的坐标为(-1，0)；（2）解：EFFG，EOF=GFE=GCF=90，EFO+FEO=EFO+CFG=90，FEO=CFG，EOFFCG，即

44、，m=-t2+t=-(t-2)2+，当t=2时，m有最大值，最大值为；点A(4，0)，点C(0，4)，且四边形OABC是正方形，点B的坐标为(4，4)，设直线OB的解析式为y=kx，把(4，4)，代入得：4=4k，解得k=1，直线OB的解析式为y=x，过点R作RSy轴于点S，点E与点R关于直线FG对称，EFFG，RF=EF，RFS=EFO，RFSEFO，RS=EO=m，FS=FO=t，则SO=2t，点R的坐标为(-m，2t)，点R与点Q关于直线OB对称同理点Q的坐标为(2t，-m)，把Q (2t，-m)代入y=-x2+3x+4，得：-m=-4t2+6t+4，由得m=-t2+t，t2-t=-4t

45、2+6t+4，解得，（舍去），当时点G恰好落在抛物线上 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、轴对称图形的性质，根据题意画出图形是解答问题的关键22（2022浙江丽水模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，AB4，交y轴于点C，对称轴是直线(1)求抛物线的关系式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的周长最小，并求此时点P的坐标(3)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动（到点B停止），过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q设运动时间为t（）秒BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请

46、说明理由【答案】(1)(2)(3)能；秒或秒【分析】（1）先根据已知条件求出点A和点B的坐标，然后用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接BC，交对称轴于P，点P就是使ACP的周长最小的点，求出BC的解析式，然后将，代入解析式，即可求出点P的坐标；（3）分三种情况进行讨论，OQBQ，BOBQ，OQOB，然后分别求出t的值即可【详解】（1）解：点A、B关于直线对称，AB4，代入中，得：，解得，抛物线的解析式为（2）如图，点A关于对称轴的对称点是点B，连接BC，交对称轴于P，点P就是使ACP的周长最小的点，设直线BC的解析式为，则有：，解得，直线BC的解析式为，当

47、时，（3）如下图，MNx轴，BOQ为等腰三角形，分三种情况讨论，第一种，当OQBQ时，QMOB，OMMB，；第二种，当BOBQ时，在RtBMQ中，OBQ45，即，；第三种，当OQOB时，则点Q、C重合，此时，而，故不符合题意，综上述，当秒或秒时，BOQ为等腰三角形【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数解析式，注意进行分类讨论是解决第（3）问的关键23（2022浙江丽水统考一模）开口向下的抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，是等腰直角三角形，面积为4并与一次函数的图象相交于点M，N(1)求抛物线的解析式；(2)若，平移直

48、线，使得该直线平分的面积，求平移后直线解析式(3)在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用面积为4，求出OC和AB的长，进而得出点A，B，C坐标，求抛物线解析式；（2）求出直线BC的解析式，再求出点D和点E的坐标，再由SBDE=SABC，进行计算求解即可；（3）分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为E，F，证PMEPNF，得，代入求出，又M，N是直线y=kx与抛物线的交点，得，根据根与系数关系得出，进而求出t的值，得出点P坐标(1)解：是等腰直角三角形且

49、与轴交于点C对称轴b=0设抛物线的解析式为当x=0时，y=c抛物线开口向下c0OC=ABAB=2c面积为42cc=4解得c=2或c=-2(舍去)点A为（-2，0），点B为（2，0），点C为（0，2）将点A代入，得4a+2=0解得a=抛物线的解析式为(2)解：设直线BC的解析式为y=kx+b将点B（2，0）和点C（0，2）代入，得解得直线BC的解析式为y=-x+2令平移后的直线解析式为直线与直线BC交于点D则即点D的坐标为（，）直线与x轴交于点E点E为（-2m，0）由题意，得SBDE=SABC（2+2m）（）=2整理，得（1+m）2=3解得m=或m=（舍去）平移后直线解析式为(3)解：存在，理由

50、如下：分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为E，FPEM=PFN=90设点P为（0，t）（t0），M（xm，ym），N（xn，yn），令N在M左侧MPE=NPFPMEPNF又ym =kxm，yn =kxn整理，得M，N是直线y=kx与抛物线的交点解得t=4存在，点【点睛】本题考查二次函数的几何综合问题，涉及的知识点有求抛物线解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数关系等，熟练地运用以上知识是解决问题的关键24（2022浙江温州温州市第十二中学校考二模）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标(2

51、)连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长【答案】(1)，顶点坐标(2)【分析】（1）将A、B点代入表达式求解即可；（2）根据平行四边形的性质、矩形的性质，即可求解；（1）解：把点，代入解析式，得解，得，变换成顶点式为：顶点坐标（2）延长FG交y轴于点I，在中，轴四边形AGFE是平行四边形在中，设，易证四边形OIHE是矩形把点代入，得，解得，即【点睛】本题主要考查二次函数的应用、平行四边形的性质、矩形的性质、锐角三角函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键25（2022浙江杭州校考一模）在平面直角坐标系中，设二次

52、函数（是实数）(1)当时，若点在该函数图象上，求的值(2)已知，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时是否在该二次函数的图象上(3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：【答案】(1)(2)点在以C为顶点的二次函数图象上(3)见解析【分析】（1）把m=-1代入得出函数解析式，再把A的坐标代入函数解析式即可得出n的值；（2）根据题意得出顶点坐标为（m，1-2m），然后判断点C符合顶点坐标，最后验证点A是否在函数图象上即可；（3）由点P、Q都在该二次函数图象上，可得对称轴为直线x=m-a+1，从而得出a=1，则P（0，p），最后得出，即可得出结论【详解】（1）解：当m=-1时，点在该函数图

53、象上，；（2）解：由题意知，顶点坐标为（m，1-2m），当m=2时，1-2m=-3；当m=1时，1-2m=-1；A、B、C三点中只有C可以作为该二次函数图象的顶点，二次函数为，当x=2时，y=，点在该二次函数图象上（3）证明：点，都在该二次函数图象上，对称轴为，m-a+1=m，a=1，P（0，p），【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键26（2022浙江金华校联考一模）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；(2)若抛物线上存在点P使得（点P与

54、点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律【答案】(1)，(2)或(3)（n为正整数），m的值可以为3【分析】由抛物线对称轴为直线x=m及AB=3求解分类讨抛物线开口向上，向下两种情况设抛物线顶点式求解设直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，由可得DE长度为定值，令两整数点在线段DE上，列不等式求解【详解】（1）点A，B关于对称轴直线x=m对称，AB=3且点A在点B左侧，（2）m0时，由题意得抛物线开

55、口向上，顶点坐标为，抛物线解析式为，把代入得，解得把代入得，解得或（舍），；当m=0时，抛物线开口向下，顶点为C（0，2），将代入得，解得，综上，或；（3）如图，直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，则DE为ABC的中位线，点D坐标为，点E坐标为，由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，则，解得（n为正整数）m的值可以为3【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握三角形中位线的性质27（2022浙江杭州校考模拟预测）设二次函数（为常数，），已知(1)若该函数的对称轴为直线，求该二次函数的表达式(2)无论为何值，该二次函数一

56、定过一个定点，请求出该定点坐标(3)已知点和都在函数的图像上，若，且，求的取值范围（用含的代数式表示）【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）利用对称轴公式结合可求解可求得，然后代入即可得到二次函数的表达式；（2）将代入二次函数（为常数，）中，整理得，可知恒过点；（3）通过，可求得对称轴为，因为，且，所以只需判断对称轴的位置，即可求的取值范围【详解】（1）解：函数的函数的对称轴为直线，二次函数的解析式为；（2）解：，二次函数，整理得，当时，这个二次函数的图像始终经过一个定点，这个定点坐标为；（3）解：，对称轴为，且，当时，对称轴，解得：，当时，对称轴，解得：（不符合题意，故不存在），故的取值

57、范围为：，【点睛】此题主要考查二次函数解析式、对称轴、二次函数的性质等知识；熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键28（2023浙江金华校考一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点在该抛物线上，将该抛物线，两点之间（包括，两点）的部分记为图像，设点的横坐标为(1)当时，图像对应的函数的值随的增大而 （填“增大”或“减小”），自变量的取值范围为 ；图像最高点的坐标为 (2)当时，若图像与轴只有一个交点，求的取值范围(3)当时，设图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，直接写出与之间的函数关系式【答案】(1)增大，；(2)或(3)【分析】（1）令，求出函数表达式并化为顶点式，根据,坐标和函数

58、的对称轴解答即可（2）先判断函数与轴有交点时的取值范围；求出点、坐标，根据函数图像分点在点下方和点在点上方两种情况讨论；上方点的坐标大于0，下方点的坐标小于等于0（3）结合二次函数图像的对称性，分点在点的左边；点、重合；点在点右边三种情况讨论；当对称轴在点、两侧时由点、的纵坐标决定，当对称轴在点、之间时由点、的纵坐标较小的值和函数顶点的纵坐标决定【详解】（1）解：当时，抛物线的表达式为，即，其对称轴是直线，顶点坐标为点坐标为，点坐标为函数的值随的增大而增大，自变量的取值范围为；故答案为：增大；函数的对称轴为，当时，即点的坐标为 ，故答案为：（2）当时，则点的坐标为，所以，点的坐标为，则，即点在

59、点的上方，故当且时，符合题意，即且，解得，当抛物线顶点落在轴上时，此时，解得：，此时抛物线对称轴为直线，点横坐标为，符合题意，综上，或（3）设抛物线的顶点为，则点，由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为， ，当时，由（2）知，而，故图像的点和点分别是最高和最低点，则；当时，此时点、分别是的最高和最低点，则；当时，此时点、分别是的最高和最低点，则；当时，此时点、分别是的最高和最低点，则；综上所述【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质和图像特征，确定图像上点的位置关系再分类讨论是解题的关键29（2022浙江金华校联考二模）在平面直角坐标系中，二次函数（，m为常数）的图象记作G，图象G

60、上点A的横坐标为2m(1)当，求图象G的最低点坐标；(2)平面内有点当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围【答案】(1)(2)点A坐标为（0，0）或（1，6）；1m0或【分析】（1）把代入，得出函数关系式，根据x的取值范围求其最大值即可；（2）用m表示出A、B、D的坐标，分情况讨论即可；分类讨论，数形结合进行解题，根据点A在图象G上，再在图象G上找一个点可以满足条件，然后根据m的取值范围进行分类讨论，画出草图进行解答即可（1）解：当时，当时，最小，图象G的

61、最高低坐标为；（2）在上，当时，在正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行，、B的纵坐标相同，B、的横坐标相同，同理可得：，解得或综上分析可知，点A坐标为（0，0）或（1，6）点A在图象G上，图象G与矩形ABCD一定有一个公共点，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，只需图象G与矩形ABCD的边再有一个公共点即可；点A的横坐标为2m，A（2m，6m），当x2时，y4+10m，当4+10m6m时，m1，当m1时，如图所示：此时图象G在x2m时，y随x的增大而减小，矩形与图象G只有一个交点A；当m=-1时，A点坐标为（-2，-6），此时点AC平行于y轴，不符合题意；当1m0时，如图所示：此

62、时图象G与边AB只有一个交点A，与另外两边只有一个交点，此时图象G与矩形ABCD有两个交点；当经过点时，即当4+10m2时，m，当时，图象G与矩形ABCD有两个交点，如图，当6m2时，m，当0m时，2mm，如图所示：，整理得：，又，此时，方程一定有两个不相等的实数解，此时图象G与AB一定还有除A点外的另外一个点，此时图象G与矩形ABCD有三个交点；当时，点的坐标为（，2），此时AC平行于x轴，不符合题意；当时，方程一定也有两个不相等的实数解，图象G与AB一定有除A点外的另外一个点，如图所示：此时图象G与矩形ABCD的交点个数为2，符合题意；综上所述：当1m0或时，图象G与矩形ABCD有两个交点

63、【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键30（2020浙江温州统考模拟预测）如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为A(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值；(3)设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由【答案】(1)(2)最大值是3(3)能，或【分析】（1）先确定出点B、C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先设

64、出点P的坐标，进而得出点D、E的坐标，即可得出的函数关系式，即可得出结论；（3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点B、C，、，点、C在抛物线解上，解得：，抛物线的解析式为（2）点P在直线l下方的抛物线上，设，轴，轴，点D，E都在直线上，即：，当时，的最大值是3（3）能，理由如下：抛物线的解析式为，令，解得：或，如图，若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，当以AB为边时，则且，设，则，解得：或与A重合，舍去，当以AB为对角线时，连接交AB于点G，则，设，作于点M，于点N，则，设，则，解得：或与A重合，舍去，综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点F的坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数极值的确定方法，平行四边形的性质，二元一次方程组，一元二次方程，中点坐标，两点间距离公式等知识用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键