【志鸿优化设计】2022届高考数学一轮复习 考点规范练15.docx

1、考点规范练15导数的综合应用一、非标准1.(2022山东烟台质检)函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间-1,1上的最大值是()A.1+B.1C.e+1D.e-12.设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是()3.已知定义域为R的函数f(x)满足:f(4)=-3,且对任意xR总有f(x)3,则不等式f(x)3x-15的解集为()A.(-,4)B.(-,-4)C.(-,-4)(4,+)D.(4,+)4.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A.1B.C.D.5.

2、某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是()A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位6.已知函数f(x)=x3-3x-m在0,2上有零点,则实数m的取值范围是()A.-2,2B.0,2C.-2,0D.以上都不对7.若f(x)=xsin x+cos x,则f(-3),f,f(2)的大小关系为.8.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间-3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=.9.横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比,要将直径为d的圆木

3、锯成强度最大的横梁,求横断面的高和宽分别是多少.10.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围. 11.(2022湖南,文9)若0x1x2ln x2-ln x1B.x1D.x2x112.已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在0,1上的最大值为4,则f(x)在-1,0上的最小值为()A.-B.C.-3D.313.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在定义域x-2,2上表示的曲线过原点,且在x=1处的切线斜率均为-1.有以下命题:f(x)是奇函数;若

4、f(x)在s,t内递减,则|t-s|的最大值为4;若f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m=0;若对x-2,2,kf(x)恒成立,则k的最大值为2.其中正确命题的序号是.14.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:L)关于行驶速度x(单位:km/h)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(00时,f(x)=ex-10;当x0时,f(x)=ex-10,即函数在x=0处取得极小值,f(0)=1.又f(-1)=+1,f(1)=e-1,综合比较得,函数f(x)=ex-x在区间-1,1上的最大值是e-1.故选D.2.C解析:由y=f(x)的图象易知当x2时,f(x)0,故函数y

5、=f(x)在区间(-,0)和(2,+)上单调递增;当0x2时,f(x)0,故函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递减.3.D解析:记g(x)=f(x)-3x+15,则g(x)=f(x)-30,可知g(x)在R上为减函数.又g(4)=f(4)-34+15=0,则f(x)3x-15可化为f(x)-3x+150,即g(x)4.4.D解析:由题意,设|MN|=F(t)=t2-ln t(t0),令F(t)=2t-=0,得t=或t=-(舍去).易知F(t)在上单调递减,在上单调递增,故t=时,F(t)=t2-ln t(t0)取得极小值,也为最小值,即|MN|达到最小,故选D.5.D解析:由题意得,总成本

6、函数为C=C(x)=20000+100x,总利润P(x)=又P(x)=令P(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.6.A解析:令g(x)=x3-3x,x0,2,则g(x)=3x2-3,令g(x)=0,得x=1,当0x1时,g(x)0;当1x0,所以g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,此时g(1)=1-3=-2.又因为g(0)=0,g(2)=8-6=2,所以g(x)的最大值为2.所以g(x)的值域为-2,2,故选A.7.f(-3)f(2)0,x时,f(x)f(2)f(3)=f(-3).8.32解析:令f(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2.列表得:x-3(-

7、3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f(x)+0-0+f(x)17单调递增极大值24单调递减极小值-8单调递增-1可知M=24,m=-8,M-m=32.9.解:如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y.由题意知:当xy2取最大值时,横梁的强度最大.y2=d2-x2,xy2=x(d2-x2)(0xd).令f(x)=x(d2-x2)(0xd),则f(x)=d2-3x2.令f(x)=0,解得x=d或x=-d(舍去).当0x0;当dxd时,f(x)0,因此,当x=d时,f(x)取得极大值,也是最大值.此时y=d.综上,当矩形横断面的高为d,宽为d时,横梁的强度最大.10.解:(1)f(x)=3x2-

8、3a=3(x2-a),当a0,当a0时,由f(x)0,解得x.由f(x)0,解得-x0时,f(x)的单调增区间为(-,-),(,+),单调减区间为(-).(2)f(x)在x=-1处取得极值,f(-1)=3(-1)2-3a=0,a=1.f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3.由f(x)=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图象可知:实数m的取值范围是(-3,1).11.C解析:设f(x)=ex-ln x,则f

9、(x)=.当x0且x趋近于0时,xex-10,因此在(0,1)上必然存在x1x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正确;设g(x)=,当0x1时,g(x)=g(x2),即,所以x2x1.故选C.12.A解析:f(x)=ax3+bx+2x,f(x)=3ax2+b+2xln2a,b为正实数,f(x)0,函数f(x)在区间0,1上单调递增,在区间-1,0上也单调递增,即f(1)=a13+b1+21=4,a+b=2.f(-1)=a(-1)3+b(-1)+2-1=-a-b+=-2+=-.故函数f(x)在-1,0上的最小值为-.13.解析:由题意得函数f(x)过原点,则c=0.又f(x)=3x2+

10、2ax+b.则必有解得所以f(x)=x3-4x.令f(x)=3x2-4=0得x=,则函数f(x)在-2,2上的最小值是负数.由此得函数f(x)图象大致如图,故正确;错误.14.解:(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(h),要耗油2.5=17.5(L).(2)当速度为x km/h时,汽车从甲地到乙地行驶了h,设耗油量为h(x)L,依题意得h(x)=x2+(0x120),h(x)=(0x120).令h(x)=0得x=80.当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值,所以它是最

11、小值.答:当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少为11.25L.15.解:(1)由f(x)=xln x,可得f(x)=ln x+1.当x时,f(x)0,f(x)单调递增.所以函数f(x)在1,3上单调递增.又f(1)=ln1=0,所以函数f(x)在1,3上的最小值为0.(2)由题意知,2xln x-x2+ax-3,则a2ln x+x+.若存在x使不等式2f(x)-x2+ax-3成立,只需a小于或等于2ln x+x+的最大值.设h(x)=2ln x+x+(x0),则h(x)=+1-.当x时,h(x)0,h(x)单调递增.由h=-2+3e,h(e)=2+e+,h-h(e)=2e-40,可得hh(e).所以,当x时,h(x)的最大值为h=-2+3e.故a-2+3e.