【新教材精创】3.3.2 抛物线的简单几何性质（1） 导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册.docx

1、3.3.2 抛物线的简单几何性质（1） 导学案 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.3.掌握直线与抛物线位置关系的判断。重点：抛物线的简单几何性质及其应用 难点：直线与抛物线位置关系的判断 抛物线四种形式的标准方程及其性质 标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴x轴x轴y轴y轴标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e=11.对以上四种位置不同的抛

2、物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.1. 判断(1)抛物线关于

3、顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?3. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y问题思考(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么? (2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?一、 问题导学类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程

4、与方法，y2=2px(p0), 你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？1. 范围 抛物线 y2 = 2px (p0) 在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标 (x, y) 的横坐标满足不等式 x 0；当x 的值增大时，|y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸抛物线是无界曲线2. 对称性 观察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴抛物线只有一条对称轴3. 顶点 抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0, 0) 4. 离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准

5、线的距离的比，叫做抛物线的离心率. 用 e 表示，e = 1探究如果抛物线的标准方程是y2=-2px(p0), x2=2py(p0), x2=-2py(p0), 那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？二、典例解析例3. 已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点，并且经过点M 2,-22,求它的标准方程。 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M 2,-22,的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程。跟踪训练1 .设抛物线y=mx2(m0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.例4 .斜率为 1 的直线经过抛物线 y2 =

6、 4x 的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于 x（或 y 的）方程组：Ax2 + Bx + C = 0（或Ay2 + By + C = 0），其中A，B，C 为常数.若A = 0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；若A 0，计算判别式 B2 4AC ：若 0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若 = 0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；若 0，则直线和抛物线相离（无交点）.跟踪训练2(1)过定点P(0,1)作与抛物线y22x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线

7、l：y(a1)x1与曲线C：y2ax(a0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合1若抛物线y22x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A B C D2在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4，2) B(4，2) C(2,4) D(2，4)3已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_4. 已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是OAB的重心,求OAB的周长.5

8、已知点P(1，m)是抛物线C：y22px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|2，直线l：yk(x1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|8，求k的值参考答案：知识梳理1. 判断答案:(1)(2)(3)2.解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.3. 解析:设抛物线方程为y2=2px(p0)或y2=-2px(p0),依题意得x=p2,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,2|y|=2p=8,p=4.抛物线方程为y2=8x或

9、y2=-8x.答案:C问题思考(1)提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.(2)提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.学习过程一、问题导学二、典例解析例3. 解：因为抛物线的对称轴为x轴，它的顶点在原点，并且经过点M 2,-22，所以可设它的标准方程为y2=2px(p0), 因为点M 2,-22在抛物线上，所以（-22）2=2p2解得p= 2因此，所求抛物线的标准方程是y2=4x跟踪训练1 .错解:

10、由y=mx2(m0)可知其准线方程为y=-m4.由题意知-m4=-2,解得m=8,故所求抛物线的标准方程为y=8x2.错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- ;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.正解:y=mx2(m0)可化为x2=1my,其准线方程为y=-14m.由题意知-14m=-2或-14m=4,解得m=18或m=-116,故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.例4 . 解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1

11、，0)，所以直线AB的方程为，即， 将方程代入抛物线方程，化简得，解这个方程，得，将，代入方程中，得，即A(，)，B(，)，.解：方法二：由抛物线的定义可知，|AF|=|AD|=x11，|BF|BC|= x21，于是|AB|=|AF|BF|= x1x22在方法一中得到方程x26x1=0后，根据根与系数的关系可以直接得到x1x26，于是立即可以求出|AB|=62=8方法三：抛物线y24x中2p4，直线的倾斜角为，所以焦点弦长.跟踪训练2思路探究(1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方程，转化为0求解；不存在时显然满足题意(2)分类讨论方程有一解时a的取值解(1)当直线的斜率

12、不存在时，直线x0，符合题意当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为ykx1，当k0时，直线l的方程为y1，满足直线与抛物线y22x仅有一个公共点；当k0时，将直线方程ykx1代入y22x，消去y得k2x22(k1)x10.由0，得k，直线方程为yx1.故满足条件的直线有三条(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得(a1)x12ax，即(a1)2x2(3a2)x10.()当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解()当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0(舍去)

13、或a.所以原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是.达标检测1A线段AB所在的直线方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.2D抛物线y216x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有所以符合题意的点为(2，4)3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p.|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是. 4. 解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知ABx轴,垂足为点M,又焦点F是OAB的重心,则|OF|=23|OM|. 因为F(2,0),所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0).故设A(3,m),代入y2=8x得m2=24, 所以m=26或m=-26,所以A(3,26),B(3,-26),所以|OA|=|OB|=33,所以OAB的周长为233+46.5解(1)抛物线C：y22px的准线为x，由|PF|2得：12，得p2.所以抛物线的方程为y24x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得k2x2(2k24)xk20，16k2160，x1x2.直线l经过抛物线C的焦点F，|AB|x1x2p28，解得k1，所以k的值为1或1.