【易错题精析】第17讲 数学广角——数与形（讲义） 小学数学六年级上册易错专项练（知识梳理 易错汇总 易错精讲 易错专练）（人教版含答案）.docx

1、第17讲 数学广角数与形（讲义） 小学数学六年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练） 1.数形结合思想的意义。数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想2.寻找数与形规律的方法。通常从相邻数（或形）之间的关系，总结出一般的规律。3.数与形找规律题的步骤。第一步：寻找数量关系；第二步：用代数式表示规律；第三步：验证规律。在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。【易错一】在一个平面上有68个点，一共可以连（）条线段。A68B2278C2346D1190【解题思路】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数

2、（点数1）2线段数量，据此分析。【完整解答】68（681）268672455622278（条）故答案为：B【易错点】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。【易错二】按规律填空。图形小棒根数3579照这样摆下去，第10幅图需要( )根小棒。第n幅图需要( )根小棒。【解题思路】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。【完整解答】第1图小棒数：33第2图小棒数：5312第3图小棒数：7322第4图小棒数：9332第10图小棒数：21392第n图小棒数：12n3（n1）2【易错点】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。【易错

3、三】小明用牙签搭六边形，如下图。（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？【解题思路】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（65）根牙签，第3个图形一共用了（652）根牙签，第4个图形一共用了（653）根牙签则第n个图形一共用了65（n1）根牙签，据此解答。【完整解答】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。（2）第5幅图：65（51）65462026（根）第8幅图：65（81）6405

4、46541（根）答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。（3）65（n1）65n5（5n1）根答：第n幅图一共要用（5n1）根。【易错点】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。【易错四】数与形。（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。 （2）根据上面的规律，完成下面的算式。1002992（）（ ）（）2020220192（）（ ）（）【解题思路】观察可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1，相邻两个数的平方的差等于这两个数的和，据此分析。【完整解答】（1）（2）根据上面的规律，完成下面的算式。10

5、02992100991992020220192202020194039【易错点】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。一选择题1把边长的正方形按如图所示拼成各种图形。当图形是4层时，它的周长是。如果图形有层，它的周长是。ABC2如果，。那么ABCD无法确定3我国明朝时期的算法统宗里讲述了一种“铺地锦”的乘法计算方法，例如计算时，方法如下：上面右图是计算的铺地锦方法，括号里应填的数是A10B12C0D24为庆祝“六一”，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆个“金鱼”，需用火柴棒的根数为ABC5按照规律37，31，25，19，方

6、框里应填A13B12C116根据规律，第6个数是ABC7将小圆点按下面的规律排列，第六幅图中有个小圆点。A30B26C42D568按如图方式摆放桌子和椅子，如果用表示桌子张数，用表示可坐人数，下面式子能表示可坐人数与桌子张数的关系的是ABCD9小红用计算器算出了以下3题的积。、照此规律，的积是。A44435556B4444355556C44444355555610如图，连续摆个正六边形要根小棒。ABC二填空题11找规律填数：，。12摆1个用3根小棒，摆2个用5根小棒，摆3个用7根小棒。照这样，摆5个用 根小棒。13乐乐用黑、白两种方块照如图拼，图10中黑方块有 个，图中黑方块有 个。豆豆拼成的

7、一个图中有47个白方块，他拼的是图 。14不计算，利用规律直接写出得数。1510、20、30、45、50、60这组数中 不符合规律，应改成 。16用火柴棒按图的方式搭正方形。搭20个这样的正方形需要 根火柴棒。搭个这样的正方形需要 根火柴棒。17如图是用棋子摆成的“”字，照如图的规律摆下去，第10个“”字需要 枚棋子。18根据“，”算式中的规律，直接写出下面两题的得数：，。19按规律接着往下写。（1）2.1，2.3，2.5，2.7，2.9，。（2）9.5，9.0，8.5，8.0，7.5，。20根据前三个算式，直接填出括号里的数。，。三应用题21用小棒摆三角形如图：摆1个三角形要用3根小棒，摆2

8、个三角形要用5根小棒，摆3个三角形要用7根小棒，摆4个三角形要用9根小棒。（1）照这样，摆5个三角形要用 根小棒，摆6个三角形要用 根小棒。（2）照这样摆下去，摆20个三角形要用 根小棒。摆个三角形要用 根小棒（用含有的算式表示）22聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。（2）求如图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“”来计算，明明说也可以用“”来计算。你知道明明是怎么想的吗？23一张长方形餐桌可以坐6人，两张同样大小的餐桌拼在一起可以坐10人，像这样拼下去，6张这样的餐桌可以坐多少人？（先画示意图，再列式计算）24明明用围棋子摆出了下

9、面三个图案。如果像这样摆下去，第6个图案一共要用多少枚围棋子？25一串数：，（1）第800个数是多少？（2）是第几个数？（3）前552个数的和是多少？（4）前个数的和能否等于106，如果能，试求出的值，如果不能，试说明理由26用小棒按下面的方式拼图形（1）如果按下面的规律拼成5个这样的五边形，一共要用根小棒五边形个数拼成的形状小棒根数1529313417（2）接着拼下去，一共用了57根小棒，你知道一共拼成了多少个五边形吗？27小明用小棒搭房子搭2间用9根，搭3间用13根照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？28任意写一个四位数（各个数位上的数字互不相同），将这个四位数的四个数字重新组

10、合，求出其中最大的数与最小的数的差，再将得到的差像上面那样重新组合，重复这个过程，你发现了什么？29如图是由同型号黑白两种颜色的三角形瓷砖按一定规律铺设的图形（1）请在虚线框内画出第4个图形（只要画出示意图）（2）第10个图形中有块黑色的瓷砖30先计算前三题，再根据发现的规律直接写出其他算式的结果参考答案一选择题1【分析】观察图形可得，1层周长是4厘米，2层周长8厘米，3层周长12厘米，4层周长16厘米，规律是厘米，厘米，厘米。层即可求。【解答】解：1层周长是4厘米，2层周长8厘米，3层周长12厘米，4层周长16厘米，规律是厘米，厘米，厘米那么层就是厘米。故选：。【点评】仔细观察，比较总结是解

11、决本题的关键。2【分析】观察算式可得：被除数为1开始，由此按顺序递增；除数都为，商为循环小数，且整数部分都为0，当被除数为1时，循环节为06；当被除数为2时，循环节为12；当被除数为3时，循环节为18；由此可知，被除数增加时，则循环节会增加06，由此按规律写出第7个算式的循环节，由此解答即可。【解答】解：故选：。【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。3【分析】观察可得，分别填在大正方形的四个小正方形内，然后斜行数从又下角开始相加，和写在相应的正方形下面，最后把大正方形周围的的数字从左上到左下再向右依次写出来，就是乘积。【解答】解：根据

12、分析可得，括号里写2，向前一位进1。故选：。【点评】仔细观察，认真总结是解决本题的基本素质。4【分析】根据图示可知，摆1条“金鱼”需要火柴棒8根；摆2条“金鱼”需要火柴棒：（根；摆3条“金鱼”需要火柴棒：（根；摆条“金鱼”需要火柴棒：根。据此解答即可。【解答】解：摆1条“金鱼”需要火柴棒8根摆2条“金鱼”需要火柴棒：（根摆3条“金鱼”需要火柴棒：（根摆条“金鱼”需要火柴棒：根答：摆个“金鱼”，需用火柴棒的根数为根。故选：。【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。5【分析】依次减6。【解答】解：按照规律37，31，25，19，方框里应填13。故选：。【点评】通过观察

13、，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。6【分析】规律：分子依次加1，分母是连续自然数的平方数。【解答】解：根据规律，第6个数是。故选：。【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。7【分析】第一幅图中有2个小圆点，即；第二幅图中有6个小圆点，即；第三幅图中有12个小圆点，即；第六幅图中小圆点的个数为：。【解答】解：（个答：第六幅图中有42个小圆点。故选：。【点评】本题主要考查数与形结合的规律，找到图形个数与小圆点个数之间的关系是解本题的关键。8【分析】把每幅图左右两边人数单独看，每张桌子代表2人，则坐的人数桌子张

14、数，据此解答即可。【解答】解：因为坐的人数桌子张数，如果用表示桌子张数，用表示可坐人数，则：。故选：。【点评】本题考查数与形、用字母表示数，解答本题的关键是找到题中的规律。9【分析】根据乘法算式中两个乘数是分别是4、9；44、99；444、999；积分别是36；4356；443556；可看出，第一个算式乘数是1个4和1个9，得数36，第二个算式乘数是2个4和2 个9，它们的积是在第一个算式的积36的中间添1个5，左边添1个4得到的，第三个算式的积是在第二个算式积的中间添1个5，左边添1个4得到的，照此规律，可得5个4和5个9相乘的积是在36的中间添4个5，左边添4个4，就是4444355556

15、。【解答】解：根据乘法算式中两个乘数是分别是4、9；44、99；444、999；积分别是36；4356；443556；可看出，第一个算式乘数是1个4和1个9，得数36，第二个算式乘数是2个4和2 个9，它们的积是在第一个算式的积36的中间添1个5，左边添1个4得到的，第三个算式的积是在第二个算式积的中间添1个5，左边添1个4得到的，照此规律，可得5个4和5个9相乘的积是在36的中间添4个5，左边添4个4，就是4444355556。故选：。【点评】本题考查了学生观察与对边的能力，及总结归纳的能力。10【分析】规律：每增加一个正六边形，要增加5根小棒；据此解答即可。【解答】解：（根答：连续摆个正六

16、边形要根小棒。故选：。【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。二填空题11【分析】观察这组分数，分母相同，均为20。分子分别为、，则第四个分数的分母是20，分子是。【解答】解：找规律填数：，。故答案为：。【点评】根据已知的数字得出前后数之间的变化关系和规律，然后利用这个变化规律解决问题。12【分析】搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，则知搭个三角形需要根火柴，据此解答即可。【解答】解：由分析及规律知：搭个三角形需要根火柴，为正整数，当时，（根答：摆5个用 11根小棒。故答案为：11。【点评】本题考查规律型问题中的图形变化问

17、题，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。13【分析】根据所给图示，图1黑色方块4个；图2黑色方块（个；图3黑色方块：（个。结合图示发现黑色方块的排列规律：图1黑色方块4个；图2黑色方块（个；图3黑色方块：（个；第个图形黑色方块的个数为：个，据此解答。图中白方块的排列规律为：图个；图（个；图（个；第个图形白方块个数：个，据此计算白方块是47个是第几个图形。【解答】解：图1黑色方块4个图2黑色方块（个图3黑色方块：（个图10黑方块的个数：（个第个图形黑色方块的个数为：个白方块的排列规律为：图个图（个图（个第个图形白方块个数：个 答：白方块有4

18、7个，这个图的图序为15。所以图10中黑方块有22个，图中黑方块有个。豆豆拼成的一个图中有47个白方块，他拼的是图15。故答案为：22，15。【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。14【分析】观察算式可得：乘法算式中，每个算式的两个因数相同，每个数各位上都是3，积的位数等于两个因数的位数之和，从第二个算式起，积的数字都是由1、0、8、9组成，1的位数比其中一个因数的位数少1，1后面的数字为0，8的位数和1的位数相同，最后一位都是9，由此解答即可。【解答】解：故答案为：111110888889。【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得

19、出规律，再根据规律解决问题。15【分析】除45外，其他各数等于前面一共数加10。据此解答。【解答】解：10、20、30、45、50、60这组数中45不符合规律，应改成40。故答案为：45，40。【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。16【分析】搭1个正方形需要4根火柴棒，即；搭2个正方形需要7根火柴棒，即；搭3个正方形需要10根火柴棒，即；搭个正方形需要的火柴棒数为：。【解答】解：（根答：搭20个这样的正方形需要61根火柴棒。搭个这样的正方形需要根火柴棒。故答案为：61，。【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个正方形就多3根火柴棒

20、是解本题的关键。17【分析】由图可得：第1个“”字需要5枚棋子，第2个“”字需要8枚棋子，第3个“”字需要11枚棋子，由此可得：从第二项起，后一个图形比前一个图形多3枚棋子，由此列出第个图形的规律，然后再代入解答即可。【解答】解：第1个“”字需要棋子，可以写成：；第2个“”字需要棋子，可以写成：；第3个“”字需要棋子，可以写成：；第个“”字需要棋子，可以写成：；当时，代入得：答：第10个“”字需要32枚棋子。故答案为：32。【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。18【分析】通过对比分析，可以得到一些规律：积和数字可以平均分为两部分，每一部分的位数和因数一样。前一

21、部分的末尾是3，其余数位都是4；后一部分的末尾是6，其余数位都是5。可以得到：，。【解答】解：，。故答案为：44435556，4444355556。【点评】本题的关键是寻找数字变化的规律：哪些数字没有变，哪些数字变化，是数的大小变化，还是数字个数变化。19【分析】（1）依次加0.2；（2）依次减0.5。【解答】解：（1）2.1，2.3，2.5，2.7，2.9，3.1，3.3。（2）9.5，9.0，8.5，8.0，7.5，7，6.5。故答案为：3.1，3.3；7，6.5。【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。20【分析】观察发现：被除数的各位数

22、字是由1和2组成，1在2的前面，1和2的个数等于除数的位数；除数的前面是数字3，最后的个位是数字4，数位与1或2的个数相同；计算出结果可以发现商都是由数字3组成，位数与除数的位数相同，由此规律解答即可。【解答】解；，则。故答案为：33334，33333。【点评】此题属考查了式的规律，抓住数字特点，找出规律，容易解决问题，被除数每增加一个数字1和2，除数每增加一个数字3，商中就增加一个数字3。三应用题21【分析】摆1个三角形要3根小棒，即；摆2个三角形要5根小棒，即；摆个三角形需要的小棒数为：。【解答】解：（1）（根（根（2）（根摆个三角形要用根小棒。故答案为：11，13；41，。【点评】本题主

23、要考查数与形结合的规律，发现每多1个三角形就多2根小棒是解本题的关键。22【分析】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。（2）因为正方形的面积边长边长，两个正方形的边长分别为、，阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，所以聪聪得出用“计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为、宽为的长方形，根据长方形的面积长宽，所以明明得出阴影面积也可以用“ “来计算。【解答】解：（1）（2）阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即阴影部分的面积。明明的作法：明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的

24、右侧，重新拼接后的图形如下：所以阴影部分的面积为：。故答案为：15，5，15，200。【点评】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。23【分析】根据题意可知：一张长方形餐桌可以坐6人；2张长方形餐桌拼一起可以坐（人；3张长方形餐桌拼一起可以坐（人；张餐桌拼一起可坐：人。据此作图并解答即可。【解答】解：如图：一张长方形餐桌可以坐6人2张长方形餐桌拼一起可以坐（人3张长方形餐桌拼一起可以坐（人张餐桌拼一起可坐：人6张桌子可坐人数：（人答：6张这样的餐桌可以坐26人。【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。24【分析】根据图案得出规律，每个图

25、案中间是一枚黑色围棋子，第1个图案外围每边各有1枚，共有（枚；第2个图案，外围每边各有2枚，共有（枚，第3个图案外围每边各有3枚，共有（枚，以此类推即可。【解答】解：根据分析可知，第1个图案共有（枚；第2个图案共有（枚；第3个图案共有（枚；第个图案共有（枚；所以第6个图案共有（枚。故答案为：25枚。【点评】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题；本题不仅要从图形中看规律，还要从数字变化看规律，两方面结合得出结论。25【分析】观察数列，可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，所以可得出：分母为的分数有个；分

26、子都是从1开始到与分母的数字相同连续的自然数，再倒数回到1，由此规律解决问题：（1）首先要计算第800个数之前最大的平方是：当时，第784个数是分母为28的最后一个数，所以可以找到第800个数；（2）先找出分母是16的最后一个数，是第个数，再向右数5个即可，因为同一个分母的数除中间为1的数是出现一次外，其余都是出现2次，所以倒数第5个数也是，得出结论；（3）同（1）同理，先计算第552个数之前最大的平方数：当时，先计算分母为1至23的所有分数之和：的值，再确定第529到552之间数的和，最后相加即可；（4）因为分母为的分数有个，且这个分数相加和为；所以分母为时，前个数的和为，确定当为最大时，最

27、接近106时的，即前196个数的和为，与106还相差1，分母为15的分数能否达到几个分数和为1，来判断。【解答】解：观察数列，可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，所以可得出：分母为的分数有个；且这个分数相加和为；第个是分母为1的最后一个，第个是分母为2的最后一个，第个是分母为的最后一个；（1）因为，所以令，解得：，当时，所以第784个数是分母为28的最后一个数，所以800个数的分母为29，分子为，所以第800个数为；（2）因为，所以是第261个数或第285个数；（3）令，解得：，当时，即前529个数的和为：，第530至第552个数之间一共有：个数，第530至第

28、552个数的和为：，所以前552个数的和是：；（4）分母为时，前个数的和为，当时，前个数的和为：，第197个数开始为分母是15的数：，所以存在前个数的和等于106，此时。故答案为：（1）；（2）第261个数或第285个数；（3）287.5；（4）存在前个数的和等于106，此时的值是201。【点评】解决本题的关键是找出规律，解决问题。26【分析】（1）由图示可知，拼1个五边形，需要小棒根数：5根；拼2个五边形，需要小棒根数：（根；拼3个五边形，需要小棒根数：（根；有摆个五边形，需要小棒根数：（根根据规律计算即可（2）由（1）的规律可知，当时，【解答】（1）拼1个五边形，需要小棒根数：5根拼2个五

29、边形，需要小棒根数：（根拼3个五边形，需要小棒根数：（根有拼个五边形，需要小棒根数：（根当时，所需小棒根数：（根答：拼成5个这样的五边形，一共要用 21根小棒（2）解：设一共拼成了个五边形 答：一共拼成了14个五边形故答案为：21【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图示排列的规律，并运用规律做题27【分析】根据搭成的房子间数，和所用小棒的根数，发现规律：搭间房需要：根小棒【解答】解：根据图示，2间房：（根3间房：（根10间房：（根答：搭10间房子，需要用41根小棒【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力28【分析】按要求任意写一个四位数，将这个

30、四位数的四个数字重新组合，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，重复进行，找出规律。【解答】解：根据题意举例解答。如1234。我发现后面的算式会循环出现。【点评】本题主要考查数列中的规律，找到规律是解题的规律。29【分析】（1）观察图形可知，第一个图形黑色三角形有1个，白色三角形个；第二个图形黑色三角形有个，白色三角形个；第三个图形黑色三角形有个，白色三角形个；则第四个图形黑色三角形有个，白色三角形个；据此画图即可；（2）由上述推算可得：第个图形黑色三角形有个，据此即可解答问题【解答】解：（1）根据题干分析可得：（2）第个图形黑色三角形有个，当时黑色三角形的个数是：（个答：第10个图形中有 55块黑色的瓷砖故答案为：55【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解30【分析】规律：（首数尾数）和；据此解答即可【解答】解：故答案为：4，9，16，64，1018081，【点评】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题