【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题).docx

1、第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)1. 抛物线x4y2的准线方程是_答案：x解析：将抛物线写成标准形式y2x再计算2. 若椭圆1的离心率e，则m的值是_答案：3或解析：当m5时，解得m；当m5时，解得m3.所以，m3或m.3. 以双曲线1的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_答案：(x5)2y216解析：双曲线右焦点为F (c，0)，又a3，b4，所以c5，所以F(5，0)，双曲线渐近线方程为yx，因而圆心到渐近线距离d4.所以圆的方程为(x5)2y216.4. 已知双曲线过点(2，1)且其中一条渐近线方程为xy0，则该双曲线的焦点坐标为_答案：(，0)，(，0)解析：设双曲线方程为

2、x2y2(0)，代入点(2，1)，解得双曲线的标准方程是1，因此焦点坐标是(，0)，(，0)5. ABC中，A(2，0)，B(2，0)，且AC、AB、BC成等差数列，则点C的轨迹方程是_. 答案：1(y0)解析：由题可得ACBC84，由椭圆的定义，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点)6. 已知P是椭圆1上的动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则的取值范围是_答案：4，4解析：已知F1(2，0)，F2(2，0)，设P(x，y)，P在椭圆上，因此x2y28123y2y282y24，结合2y2，可求出范围7. 双曲线1(ab0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线

3、离心率的范围为_答案：(1，23，6)解析：设P到右准线距离为d，则有e，又由题设知PF16dPF2，由双曲线的定义知PF1PF22a，从而有PF2PF22a，即有PF2(1)2a，即PF2ca，两边同除a，整理化简可得0，即0，即1e2或3e0知p不符，故所求抛物线方程为y23x.10. 已知椭圆T：1，A、B为椭圆T的左、右两个顶点，P为椭圆上异于A、B的任意一点，直线PA、PB交直线x6于M、N两点，则线段MN的最小值为_答案：4解析：由对称性知，不妨设P(x0，y0)在y轴上方，y00，则AP的方程为y(x2)，令x6，得y1，BP的方程为y(x2)，令x6得y2，从而MNy1y24y

4、0.由(x0，y0)在T上，知y0，即MN22，令6x0m0，则MN22，易知3212()1最大值为1，从而MN最小值为224.11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.(1) 当直线AB斜率为0时，ABCD7，求椭圆的方程；(2) 求ABCD的取值范围解：(1) 由题意知，e，CD72a，所以a24c2，b23c2，故D(c，)，因为点在椭圆上，即1，所以c1.所以椭圆的方程为1.(2) 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知ABCD7； 当两弦斜率均存在且不为0时，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

5、且设直线AB的方程为yk(x1)，则直线CD的方程为y(x1)将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1，x2，所以AB|x1x2|.同理，CD.所以ABCD.令tk21，则t1，34k24t1，3k243t1，设f(t)12，因为t1，所以(0，1)，所以f(t)，所以ABCD.综合与可知，ABCD的取值范围是.12. 已知椭圆C：1(ab0)过点P(1，1)，c为椭圆的半焦距，且cb.过点P作两条互相垂直的直线l1、l2与椭圆C分别交于另两点M、N.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线l1的斜率为1，求PMN的面积；(3) 若线段MN的中点在x

6、轴上，求直线MN的方程解：(1) 由条件得1，且c22b2，所以a23b2，解得b2，a24.所以椭圆方程为1.(2) 设l1方程为y1k(x1)，联立消去y得(13k2)x26k(k1)x3(k1)240.因为P为(1，1)，解得M.当k0时，用代替k，得N.将k1代入，得M(2，0)，N(1，1)因为P(1，1)，所以PM，PN2，所以PMN的面积为22.(3) (解法1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减，得(x1x2)(x1x2)3(y1y2)(y1y2)0.因为线段MN的中点在x轴上，所以y1y20，从而可得(x1x2)(x1x2)0.若x1x20，则N(x1，y1)因

7、为PMPN，所以0，得xy2.因为x3y4，所以解得x11，所以M(1，1)，N(1，1)或M(1，1)，N(1, 1)所以直线MN的方程为yx.若x1x20，则N(x1，y1)，因为PMPN，所以0，得y(x11)21.因为x3y4，所以解得x1或1，经检验x满足条件，x1不满足条件综上，直线MN的方程为xy0或x.(解法2)由(2)知，当k0时，因为线段MN的中点在x轴上，所以，化简得4k(k24k1)0，解得k2.若k2，则M，N，此时直线MN的方程为x.若k2，则M，N，此时直线MN的方程为x.当k0时，M(1，1)，N(1，1)，满足题意，此时直线MN的方程为xy0.综上，直线MN的

8、方程为x或xy0.13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)过点A和点B(，1)(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P(x0，y0)在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x3y0y60. 求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点； 若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标(1) 解：由题意，得解得所以所求椭圆C的方程为1.(2) 证明： 联立方程组消去y，得(x3y)x212x0x3618y0.(*)由于点P(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即3y6x.故(*)可化为x22x0xx0.因为(2x0)24x0，所以原方程组

9、仅有一组解，显然xx0，yy0是方程组的解，所以直线l与椭圆C有唯一的公共点 点F的坐标为(2，0)，过点F且与直线l垂直的直线的方程为3y0xx0y6y00.解方程组得因为点P(x0，y0)在椭圆1上，所以3y6x，所以解为所以点F(2，0)关于直线l的对称点的坐标为Q.当x02时，kPQ.所以直线PQ的方程为yy0(xx0)，即(x2)y0yx02y0.所以即直线PQ过定点M(2，0)当x02时，y0，此时Q的坐标为(2，2)，直线PQ过点M(2，0)综上，直线PQ恒过定点M(2，0)滚动练习(四)1. 若全集UR，集合Ax|x10，Bx|x3，cos()，coscos().12. 已知等

10、比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若ASnB对nN*恒成立，则BA的最小值为_答案：解析：由等比数列前n项和公式得Sn1， TnSn1.当n为奇数时，Tn1递减，则0TnT1；当n为偶数时，Tn1递增，则T20.故Tn， Amax，Bmin，故(BA)minBminAmax.13. 求关于x的方程ax22x10(aR)至少有一个负实根的充要条件解：当a0时，适合；当a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a0；若方程有两个负实根，则解得0a1.综上，方程至少有一个负实根，则a1.反之，若a1，则方程至少有一个负实根因此，关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件

11、是a1.14. 在ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且.(1) 求B；(2) 若tan7，求cosC的值解：(1) 因为，由正弦定理，得，所以sinBcosCsinCcosB2sinAcosB，即sin(BC)2sinAcosB.因为BCA，所以sinA2sinAcosB.因为A(0，)，故sinA0，因此cosB.又B(0，)，所以B.(2) 因为tan7，所以7，解得tanA.因为0Ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两动点，且0.(1) 判定原点O与以MN为直径的圆的位置关系； (2) 设椭圆离心率为，MN的最小值是2，求椭圆方程解：(1) 设椭

12、圆1的焦距为2c(c0)，则其右准线方程为x，且F1(c, 0), F2(c, 0)设M，N，则，. 0， y1y20，即y1y2c2.于是y1y2c20，故MON为锐角 原点O在以MN为直径的圆的外部(2) 椭圆的离心率为， a2c，于是M(4c，y1)，N(4c，y2)，且y1y2c215c2.MN2(y1y2)2yy2y1y2|y1|2|y2|22|y1y2|4|y1y2|60c2.当且仅当y1y2c或y2y1c时取“”号， (MN)min2c2，于是c1, 从而a2，b，故所求的椭圆方程是1.16. 已知a、b为常数，a0，函数f(x)ex.(1) 若a2，b1，求f(x)在(0，)内

13、的极值；(2) 若a0，b0，求证：f(x)在区间1，2上是增函数； 若f(2)0，f(2)e2，且f(x)在区间1，2上是增函数，求由所有点(a，b)形成的平面区域的面积. (1) 解：f(x)ex(ax2bxb).当a2，b1时，f(x)(2x2x1)(x1)(2x1)，令f(x)0，得x或x1(舍去) 0，当x时，f(x)0，f(x)是减函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数， 当x时，f(x)取得极小值为4.(2) 令g(x)ax2bxb， 证明： a0，b0， 二次函数g(x)的图象开口向上，对称轴x0，且g(1)a0， g(x)0对一切x1，2恒成立又0， f(x)0对一切x1，2恒成立 f(x)函数图象是不间断的， f(x)在区间1，2上是增函数 解： f(2)0，f(2)e2， 即(*) f(x)在区间1，2上是增函数， f(x)0对x1，2恒成立则g(x)ax2bxb0对x1，2恒成立 (*)在(*)(*)的条件下得，b0且12，且gb0恒成立综上，点(a，b)满足的线性约束条件是由所有点(a，b)形成的平面区域为OAB(如图所示)，其中A、B、C(1，0)，则SOABSOACSOBC.即OAB面积为.