【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-燕尾模型-4星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-燕尾模型-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率燕尾模型C1.了解燕尾模型的一般形状2.熟悉燕尾模型的关系式3.能够灵活运用燕尾模型解决复杂的几何问题少考知识提要燕尾模型 燕尾模型 结论一（1）S1S2=AECE（2）S2S3=BFAF（3）S3S1=CDBD 结论二 S2+S3S1=COOF 精选例题燕尾模型 1. 如图，四边形 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB、BC 上的点，且 AE=13AB，CF=14BC，AF 与 CE 相交于 G，若矩形 ABCD 的面积为 120，则 AEG 与 CGF 的面积之和为 【答案】15【分析】方法1：如图，连接 AC、BG

2、根据燕尾模型，SABG:SACG=BF:CF=3:1，SBCG:SACG=BE:AE=2:1，而 SABC=12SABCD=60，所以 SABG=33+2+1SABC=1260=30，SBCG=23+2+1SABC=1360=20，则 SAEG=13SABG=10，SCFG=14SBCG=5，所以两个三角形的面积之和为 15方法2：如图，过 F 做 CE 的平行线交 AB 于 H，则 EH:HB=CF:FB=1:3，所以 AE=12EB=2EH，AG:GF=AE:EH=2，即 AG=2GF，所以 SAEG=122323SABF=293412SABCD=10且 EG=23HF=2334EC=12

3、EC，故 CG=GE，则 SCGF=112SAEG=5所以两三角形面积之和为 10+5=15 2. 如图，三角形 ABC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F则阴影部分面积等于 【答案】712【分析】方法一：连接 CF，根据燕尾定理，SABFSACF=BDDC=12,SABFSCBF=AEEC=1,设 SBDF=1 份，则 SDCF=2 份，SABF=3 份，SAEF=SEFC=3 份，如图所标所以SDCEF=512SABC=512,易得，阴影部分面积为 712方法二：连接 DE，由题目条件可得到SABD=13SABC=1

4、3,SADE=12SADC=1223SABC=13,所以BFFE=SABDSADE=11,SDEF=12SDEB=1213SBEC=121312SABC=112,而SCDE=2312SABC=13.所以则四边形 DFEC 的面积等于 512易得，阴影部分面积为 712 3. ABCD 是边长为 12 厘米的正方形，E、F 分别是 AB、BC 边的中点，AF 与 CE 交于 G，则四边形 AGCD 的面积是 平方厘米【答案】96【分析】连结 AC、GB设 SAGC=1 份，根据燕尾模型得 SAGB=1 份，SBGC=1 份，S正方形=(1+1+1)2=6 份，SADCG=3+1=4 份，所以 S

5、ADCG=12246=96(cm2) 4. 如图，在 ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，若 ABC 的面积为 1，那么四边形 CDMF 的面积是 【答案】730【分析】由于点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，如果能求出 BN、NM、MD 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形 CDMF 的面积连接 CM、CN根据燕尾模型，SABM:SACM=BF:CF=2:1,SACM=2SADM,SABM=2SACM=4SADM,那么 BM=4DM，即BM=45BD.那么SBMF=BMBDBFBCSBCD=45

6、2312=415,S四边形CDMF=12-15=730.另解：得出 SABM=2SACM=4SADM 后，可得SADM=15SABD=1512=110,则S四边形CDMF=SACF-SADM=13-110=730. 5. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=3BE，AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，那么平行四边形 BODC 的面积为 【答案】24【分析】连接 AO,BD，根据燕尾定理SABO:SBDO=AF:FD=1:2,SAOD:SBOD=AE:BE=2:1,设 SBEO=1，则其他图形面积，如图所标，所以SBODC=2SAEOF=212=24. 6. 如图，ABC 中 B

7、D=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 ABC 的面积是阴影三角形面积的 倍 【答案】7【分析】如图，连接 AI根据燕尾定理，SBCI:SACI=BD:AD=2:1，SBCI:SABI=CF:AF=1:2，所以，SACI:SBCI:SABI=1:2:4，那么，SBCI=21+2+4SABC=27SABC同理可知 ACG 和 ABH 的面积也都等于 ABC 面积的 27，所以阴影三角形的面积等于 ABC 面积的 1-273=17，所以 ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍 7. 在 ABC 中，BD:DC=3:2，AE:EC=3:1，求 OB:OE= 【答案】2:1【分析】连接 OC因

8、为 BD:DC=3:2，根据燕尾模型，SAOB:SAOC=BD:BC=3:2，即 SAOB=32SAOC；又 AE:EC=3:1，所以 SAOC=43SAOESAOB=32SAOC=3243SAOE=2SAOE，所以 OB:OE=SAOB:SAOE=2:1 8. 如图，三角形 ABC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F则四边形 DFEC 的面积等于 【答案】512【分析】方法一：如图所示，根据燕尾模型，SABFSACF=BDDC=12，SABFSCBF=AEEC=1设 SBDF=1 份，则 SDCF=2 份，SABF=3

9、 份，SAEF=SEFC=3 份，如图所标所以 SDCEF=512SABC=512方法二：如图所示，连接 DE，由题目条件可得到 SABD=13SABC=13，SADE=12SADC=1223SABC=13，所以 BFFE=SABDSADE=11，SDEF=12SDEB=1213SBEC=121312SABC=112，而 SCDE=2312SABC=13所以则四边形 DFEC 的面积等于 512 9. 如图，已知正方形 ABCD 中，F 是 BC 边的中点，GC=2DG，E 是 DF 与 BG 的交点四边形 ABED 的面积与正方形 ABCD 的比是 【答案】5:8【分析】连接 BD、EC，可

10、得SBDESBEC=12,SBDESCDE=11,SBDE:SCDE:SBEC=1:1:2,SBDE=14SBDC=18SABCD,SABED=(12+18)SABCD=58SABCD,四边形 ABED 的面积与正方形 ABCD 的比是 5:810. 如下图所示，ABC 中，D 是 AB 边的中点，E 是 AC 边上的一点，且 AE=3EC，O 为 DC 与 BE 的交点若 CEO 的面积为 a 平方厘米，BDO 的面积为 b 平方厘米且 b-a 是 2.5 平方厘米，那么 ABC 的面积是 平方厘米【答案】10【分析】连接 AO，可以看到这是个非常典型的燕尾模型根据三角形等积变换：由 AD=

11、BD，有 SADO=b；由 AE=3EC，有 SABO=3a再根据燕尾模型：由 AD=BD，有 SBCO=SACO=4a；由 AE=3EC，有 SBCO=13SABO=23b所以有 4a=23b，又已知 b-a=2.5，所以有 a=0.5,b=3那么 SABC=2b+4a+4a=10(平方厘米)11. 如下图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 ABC 的面积是 1，则三角形 ABE 的面积为 ，三角形 AGE 的面积为 ，三角形 GHI 的面积为 【答案】25，895，119【分析】连接 AH、BI、CG由于 CE:AE=3:2，所以 AE=25AC，故

12、SABE=25SABC=25;根据燕尾模型，SACG:SABG=CD:BD=2:3,SBCG:SABG=CE:EA=3:2,所以SACG:SABG:SBCG=4:6:9,则SACG=419,SBCG=919;那么SAGE=25SAGC=25419=895;同样分析可得 SACH=919，则EG:EH=SACG:SACH=4:9,EG:EB=SACG:SACB=4:19,所以EG:GH:HB=4:5:10,同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4.所以SBIE=510SBAE=51025=15,SGHI=519SBIE=51915=119.12. 如下图所示，三角形 BAC 的面积是 1，E

13、是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F，则四边形 DFEC 的面积等于 【答案】512【分析】如下图所示，连接 CF，因为 AE=EC,DC=2BD，三角形 ABC 的面积是 1，所以SABD=13SABC=13,SABE=12SABC=12.根据燕尾模型，SABFSACF=BDDC=12,SABFSCBF=AEEC=1,所以SABF=14SABC=14,SAFE=12-14=14,所以四边形 DFEC 的面积是 1-13-14=51213. 如图，BD:DC=2:3，AE:CE=5:3，则 AF:BF= 【答案】5:2【分析】根据燕尾模型有

14、 SABG:SACG=2:3=10:15，SABG:SBCG=5:3=10:6，所以 SACG:SBCG=15:6=5:2=AF:BF14. 如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是 平方厘米【答案】14【分析】连接 BH，根据沙漏模型得 BG:GD=1:2，设 SBHC=1 份，根据燕尾模型 SCHD=2 份，SBHD=2 份，因此 S正方形=(1+2+2)2=10 份，S四边形BFHG=12+23=76 份，所以 S四边形BFHG=1201076=14（平方厘米）15. 如图所示在 ABC 中，BD:DC=2

15、:1，AE:EC=1:3，求 OB:OE= 【答案】8:1【分析】连接 OC因为 BD:DC=2:1，根据燕尾模型，SAOB:SAOC=BD:BC=2:1，即 SAOB=2SAOC；又 AE:EC=1:3，所以 SAOC=4SAOE则 SAOB=2SAOC=24SAOE=8SAOE，所以 OB:OE=SAOB:SAOE=8:116. 如下图所示，ABC 中，BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC，那么 ABC 的面积是阴影三角形面积的 倍【答案】7【分析】如下图所示，连接 AI根据燕尾模型，SBCI:SACI=BD:AD=2:1,SBCI:SABI=CF:AF=1:2，所以SACI:SBCI

16、:SABI=1:2:4,那么SBCI=21+2+4SABC=27SABC.同理可知 ACG 和 ABH 的面积也都等于 ABC 面积的 27，所以阴影三角形的面积等于 ABC 面积的 1-273=17，所以 ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍17. 如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 AE:EC=2:3，BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F四边形 DFEC 的面积等于 22cm2，则三角形 ABC 的面积 【答案】45cm2【分析】连接 CF，根据燕尾模型，SABFSACF=BDDC=12，SABFSCBF=AEEC=23，设 SBDF=1 份，则 SDCF=2 份，

17、SABF=2 份，SAFC=4 份，SAEF=422+3=1.6 份，SEFC=432+3=2.4 份，如图所标，所以 S平行四边形EFDC=2+2.4=4.4 份，SABC=2+3+4=9 份所以 SABC=224.49=45(cm2)18. 如图所示，在 ABC 中，BE:EC=3:1，D 是 AE 的中点，那么 AF:FC= 【答案】3:4【分析】连接 CD由于 SABD:SBED=1:1，SBED:SBCD=3:4，所以 SABD:SBCD=3:4，根据燕尾定理，AF:FC=SABD:SBCD=3:419. 如图，三角形 ABC 的面积是 200cm2，E 在 AC 上，点 D 在 B

18、C 上，且 AE:EC=3:5，BD:DC=2:3，AD 与 BE 交于点 F则四边形 DFEC 的面积等于 【答案】93cm2【分析】连接 CF，根据燕尾定理，SABFSACF=BDDC=23=69，SABFSCBF=AEEC=35=610，设 SABF=6 份，则 SACF=9 份，SBCF=10 份，SEFC=953+5=458 份，SCDF=1032+3=6 份，所以 SDCFE=200(6+9+10)(458+6)=8(458+6)=93cm220. 如图，三角形 ABC 的面积为 60 平方厘米，D、E、F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米【答案】12.5【分析】阴

19、影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差而从图中来看，既可以转化为 BEF 与 EMN 的面积之差，又可以转化为 BCM 与 CFN 的面积之差（法一）如图，连接 DE由于 D、E、F 分别为各边的中点，那么 BDEF 为平行四边形，且面积为三角形 ABC 面积的一半，即 30 平方厘米；那么 BEF 的面积为平行四边形 BDEF 面积的一半，为 15 平方厘米根据几何五大模型中的相似模型，由于 DE 为三角形 ABC 的中位线，长度为 BC 的一半，则EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12EF

20、.那么 EMN 的面积占 BEF 面积的 1213=16，所以阴影部分面积为151-16=12.5(平方厘米).（法二）如图，连接 AM根据燕尾定理，SABM:SBCM=AE:EC=1:1,SACM:SBCM=AD:DB=1:1,所以SBCO=13SABC=1360=20(平方厘米),而SBDC=12SABC=1260=30(平方厘米),所以SFCN=14SBDC=7.5(平方厘米),那么阴影部分面积为20-7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：（1）利用面积公式：底高2；（2）利用整体减去部分；（3）利用比例和模型21. 下图中，ABCD 是平行四边形，E 为

21、 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F，AC 和 BE 的交点为 H，AC 和 BD 的交点为 G，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则 ABCD 的面积是 平方厘米【答案】180【分析】解法一：蝴蝶模型与一半模型（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以SDEF:SDAF:SBEF:SABF=1:2:2:4.（2）设平行四边形面积为“1”E 是 CD 的中点，所以 SABG、SADG、SBEC 占平行四边形面积的 14，梯形 SABED 占平行四边形面积的 34；（3）所以SDAF=3421+2+2+4=16,SGAF=14-16=112,同理可知 SGHB=112

22、（4）根据一半模型，SABE=12，S四边形EHGF=12-14-112-112=112;（5）ABCD 的面积是15112=180(cm2).解法二：相似模型、等积变形与一半模型（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以 DF:FB=1:2，而 DG=GB，DF:FG=11+2:12-11+2=2:1;（2）设平行四边形面积为“1”E 是 CD 的中点，所以 SABG、SADG 占平行四边形面积的 14，所以SGAF=1412+1=112,同理可知 SGHB=112（3）根据一半模型，SABE=12，S四边形EHGF=12-14-112-112=112;（4）ABCD 的面积是15

23、112=180(cm2).解法三：燕尾模型与一半模型（1）设平行四边形面积为“1”SADC=12（2）E 是 CD 的中点，G 为 AC 的中点，连接 FC，设 SDEF 为 1 份，SECF 也为 1 份，根据燕尾 SADF 为 2 份，再根据燕尾 SACF 也为 2 份，根据按比例分配，SAGF、SGCF 都为 1 份，所以SGAF=12(2+1+1+1+1)=112,同理可知 SGHB=112（3）根据一半模型，SABE=12，S四边形EHGF=12-14-112-112=112;（4）ABCD 的面积是15112=180(cm2).解法四：风筝模型与一半模型连接 EG 同样可解22.

24、正六边形 A1,A2,A3,A4,A5,A6 的面积是 2009 平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点请问下图中阴影六边形的面积是 平方厘米【答案】1148【分析】方法一：如下左图，连接 A1A3,A1G,A6A3，过 B6 做 A6A3 的平行线 B6E，交 A1A3 于 E因为空白的面积等于 A2A3G 面积的 6 倍，所以关键求 A2A3G 的面积，在 A1A2A3 中用燕尾模型时，需要知道 A1D,A3D 的长度比，根据沙漏模型得 A1D=DE，再根据金字塔模型得 A1E=A3E，因此 A1D:A3D=1:3，在 A1A2A3 中，设 SA1A2G=1

25、 份，则 SA2A3G=3 份，SA3A1G=3 份，所以 SA2A3G=37SA1A2A3=371312S正六边形=114S正六边形，因此 S阴影=1-1146S正六边形=472009=1148(平方厘米)方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成 14 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 8 个梯形，所以阴影面积为 8142009=1148(平方厘米)23. 如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米，EC=2DE，F 是 DG 的中点阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】512【分析】连结 FC，设 SFED=1 份，则 SFE

26、C=2 份，因为 FD:FG=1:1，SFGC=3 份设 SDEF=1 份，则根据燕尾模型其他面积如图所示 S阴影=512SBCD=51212SABCD=512 平方厘米24. 如图，三角形 ABC 中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求 AF:FB【答案】10:9【分析】方法1：根据燕尾模型得 SAOB:SAOC=BD:CD=3:4=15:20 SAOB:SBOC=AE:CE=5:6=15:18（都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 SAOC:SBOC=20:18=10:9=AF:FB方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，则 BDDCCEEA=3465=910由赛瓦定理

27、：BDDCCEEAAFFB=1，则 AFFB=1910=10925. 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面积【答案】3.125【分析】令 BE 与 CD 的交点为 M，CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM，BN在 ABC 中，根据燕尾定理，SABM:SBCM=AE:CE=1:1，SACM:SBCM=AD:BD=1:1，所以 SABM=SACM=SBCN=13SABC由于 SAEM=12SAMC=12SABM S，所以 BM:ME=2:1在 EBC 中，根据燕尾定理，SBEN:SCEN=BF:CF=1:1 SCE

28、N:SCBN=ME:MB=1:2设 SCEN=1(份)，则 SBEN=1(份)，SBCN=2(份)，SBCE=4(份)，所以 SBCN=12SBCE=14SABC，SBNE=14SBCE=18SABC，因为 BM:ME=2:1，F 为 BC 中点，所以 SBMN=23SBNE=2318SABC=112SABC，SBFN=12SBNC=1214=18SABC，所以 S阴影=112+18SABC=524SABC=52415=3.125(平方厘米)26. 在 ABC 中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求 OB:OE=？【答案】8:1【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边

29、的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 OC连接 OC因为 BD:DC=2:1，根据燕尾定理，SAOB:SAOC=BD:BC=2:1，即 SAOB=2SAOC；又 AE:EC=1:3，所以 SAOC=4SAOE则 SAOB=2SAOC=24SAOE=8SAOE，所以 OB:OE=SAOB:SAOE=8:127. 如图在 ABC 中，DCDB=EAEC=FBFA=13，求 GHI的面积ABC的面积 的值【答案】413【分析】连接 BG设 SBG

30、C=1，根据燕尾模型，SAGC:SBGC=AF:FB=3:1,SABG:SACG=BD:DC=3:1,得SAGC=3(份),SABG=9(份),则SABC=13(份),所以SAGCSABC=313,同理连接 AI、CH 得SABHSABC=313,SBICSABC=313,所以SGHISABC=13-3-3-313=413.28. 如图所示，在三角形 ABC 中，AE=ED，D 点是 BC 的四等分点，请问：阴影部分的面积占三角形 ABC 面积的几分之几？【答案】37【分析】连结四边形 CDEF 的对角线 CE，将其分为 EFC 和 ECD，如下图所示由题意，D 点是 BC 的四等分点，不妨就

31、设 CDE 的面积是“1”，而 BDE 的面积则是“3”再根据 E 是 AD 的中点，那么 ABE 的面积就是“3”，ACE 的面积是“1”根据燕尾模型得 AFFC=SCDFSCDB=34，所以 AEF 的面积就是“37”份，ECF 的面积就是“47”份，如下图所示由此可得阴影部分的面积和是“337”，而 ABC 的总面积是“8”，所以阴影部分占总面积的 3378=3729. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=3BE，AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，BCDE 是平行四边形那么四边形 ABCD 的面积是多少？【答案】56【分析】详解：连结 BD 和 AO，利用燕尾模型中的比例关

32、系，可以标出 ABD 中每一块的份数因为 BCDE 是平行四边形，可知 BCD 的面积也是 7 份126(2+4+8+6+1+7)=56,四边形 ABCD 的面积是 5630. 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC=2:3，EA:CE=5:4，求 AF:FB【答案】15:8【分析】根据燕尾模型得 SAOB:SAOC=BD:CD=2:3=10:15 SAOB:SBOC=AE:CE=5:4=10:8（都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 SAOC:SBOC=15:8=AF:FB31. 如图，ABC 中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求 AF:FB【答案】27:16【分析

33、】根据燕尾模型得 SAOB:SAOC=BD:CD=4:9=12:27 SAOB:SBOC=AE:CE=3:4=12:16（都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 SAOC:SBOC=27:16=AF:FB事实上本题的结论即是平面几何中的一个著名的定理即赛瓦定理：BDDCCEEAAFFB=132. 如下图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，ABC 由这 6 部分组成，其中比大 6 平方厘米，那么 ABC 的面积是多少平方厘米？【答案】48【分析】解法一：因为 E 是 DC 中点，F 为 AC 中点，有 AD=2FE 且 FE 平行于 AD，则四边

34、形 ADEF 为梯形在梯形 ADEF 中有 =，=，:=AD2:FE2=4又已知 -=6，所以=6(4-1)=2,=4=8;所以=28=16,而 =，所以 =4，梯形 ADEF 的面积为、四块图形的面积和，为8+4+4+2=18.有 CEF 与 DEF 的面积相等，为 2+4=6所以 ADC 面积为 18+6=24因为 D 是 BC 中点，所以 ABC 的面积是：SABC=2SACD=224=48(平方厘米).解法二：如下图所示：题上给出了SADG=SEFG+6,所以SADE=SDEF+6;因为 E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，由共边定理得：SADE=SAEC=2SECF=2SDE

35、F;所以由上面的分析得到：SDEF+6=2SDEF,SDEF=6;进一步共边原理可得：SABC=2SADC=4SAEC=8SDEF=86=48(平方厘米).同样这个题目可以用相似模型也能解33. 如图，已知 D 是 BC 上的中点，E 是 AC 上的中点，F 是 AB 上的点，且如下图，已知 AF:FB=3:4，BD:DC=8:3，求 CE:EA【答案】1:2【分析】连接 AD、BE根据燕尾定理，SABESADE=BCDC=53，SADESBDE=AFBF=34，所以SADE=312SABD=14SABD.因为SACD=38SABD,所以SECD=18SABD,所以 CE:EA=1:234.

36、如下图所示，点 G 为三角形内一点，连接 AG,BG,CG 分别交 BC,AC,AB 边于点 D,E,F若三角形 AFG,CEG,BDG,CDG 之面积分别为 126 平方厘米，280 平方厘米，270 平方厘米，360 平方厘米请问三角形 ABC 的面积为多少平方厘米？【答案】1365 平方厘米【分析】设 SAEG 为 x，SBFG 为 y根据燕尾模型可以得到(126+y):(x+280)=270:360=3:4;(126+y):(270+360)=x:280,转化为二元一次方程组如下：(126+y)4=(x+280)3(126+y)280=630x，解得 x=140y=189，那么三角形

37、ABC 的面积为126+189+270+140+280+360=1365(平方厘米).35. 三角形 ABC 中 AE=12EC，CF=3DF，四边形 ADFE 的面积是三角形 ABC 的几分之几？【答案】16【分析】设 SAEF1，那么 SEFC2，则 SADF1，则 SADFSAEF，说明 AD=DE，三角形 ABC 是等腰三角形，则 SDBF2，进而推出 SCBF=6，那么四边形 ADFE 的面积是三角形 ABC 的 1636. 在下图中，三角形 ABC 是直角三角形，已知 AB=BC=14 且 BE=BD=6请问图中阴影部分的面积是多少？【答案】39.2【分析】如下图所示，连接 BF，

38、根据燕尾模型SAFB:SAFC=BD:DC=6:8=3:4，SAFC:SBFC=AE:EB=8:6=4:3，设 AFB 的面积为 3 份，那么 AFC 的面积为 4 份，BFC 的面积也为 3 份，那么 AFC 占整个图形面积的 44+3+3=410=25，阴影部分的面积为 25121414=39.237. 如图所示，三角形 ABC 的面积为 1，D、E、F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积？【答案】17【分析】给中间三角形的 3 个顶点标上字母，如图 1 所示由于 D、E、F 分别是 3 条边上的三等分点，而 ABC 的面积为 1，所以 ABE、BCF、CAD 的面积都是 13，

39、这 3 个三角形的面积之和就等于大 ABC 的面积，它们的重叠部分是 3 个小三角形：AME、BNF、CPD因此阴影 MNP 的面积就等于这 3 个小三角形的面积之和假设 SCPD=“1”，由于 D 是 BC 上的三等分点，可知 SBPD=“2”（如图 2 所示）由燕尾模型可得 SAPCSBPC=AFFB=2，所以 SAPC=“6”；而 SABPSACP=BDDC=2，所以 SABP=“12”（如图 3 所示）因此，整个 ABC 的面积是 “12”+“6”+“2”+“1”=“21”，则 “1”=121，即 SCPD=121类似地，小 BNF 和小 AME 的面积都是 121，那么阴影部分的面积

40、就是 1213=1738. 三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC=2，CD=2，CB=3，AM=BM，那么三角形 AMN（阴影部分）的面积为多少？【答案】0.3【分析】连接 BNABC 的面积为 322=3根据燕尾定理，ACN:ABN=CD:BD=2:1；同理 CBN:CAN=BM:AM=1:1设 AMN 面积为 1 份，则 MNB 的面积也是 1 份，所以 ANB 的面积是 1+1=2 份，而 ACN 的面积就是 22=4 份，CBN 也是 4 份，这样 ABC 的面积为 4+4+1+1=10 份，所以 AMN 的面积为 3101=0.339. 如图，三角形 ABD 的面积都是 15，

41、三角形 ACD 的面积都是 20，三角形 CDE 的面积是 8，求三角形 BDE 的面积【答案】6；6【分析】对于左图SBDE:SCDE=BD:CD=SABD:SADC=15:20=3:4,所以，SBDE=834=6而右图是典型的燕尾模型，SBDE:SCDE=SABD:SACD=BE:CE=15:20=3:4,计算同样得 640. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=3BE，AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，那么平行四边形 BODC 的面积为_【答案】24【分析】连接 AO,BD，根据燕尾模型SABO:SBDO=AF:FD=1:2,SAOD:SBOD=AE:BE=2:1,SABO

42、:SBDO:SAOD=1:2:4,设 SBEO=1 份，则其他图形面积，如图所标，所以SBODC=2SAEOF=212=24.41. 如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形图中已标出其中三块的面积，那么三角形 ABC 的面积是 【答案】36【分析】方法一：延长 AD 交 BC 于点 M，连接 BD、CD，应用燕尾模型，得S1=25,S2=35,再由蝴蝶模型，SBDE=SADE，所以SBDM=2+25=125,同理 SCDM=185，而MD:DA=25:2=1:5,所以 SABD=5SBDM，同理 SACD=

43、5SCDM，所以SABC=6SBDC=6125+185=36.方法二：由于等腰直角三角形 DEF 的面积是 1，所以 EF2，而SAEF=1+2+3=6,所以等腰直角 ABC 的高为622=6,所以 ABC 的面积是6622=36.42. 一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪一看到小灵通，王师傅热情地打招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分（如图）修剪西部、东部、南部各需 10 分钟、16 分钟、20 分钟，请你想一想修剪北部需要多少分钟？”【答案】44【分析】如上图所示，将北部分分成两个三角形，并标上字母即有(10+x):20=y

44、:16(16+y):x=20:10,即有5y=40+4x2x=16+y,解得x=20y=24.所以修剪北部草坪需要20+24=44(分钟).43. 已知三角形 ABC 中，三角形 ABF 的面积是 60，三角形 AFC 的面积是 20，三角形 BFC 的面积是 56，求三角形 BDF 和三角形 CDF 的面积【答案】BDF 的面积是 42，CDF 的面积是 14【分析】BDDC=SABFSACF=3，所以 BDF 的面积是 BFC 的 34，CDF 的面积是 BFC 的 14，面积分别是 42 和 1444. 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、

45、CA 的三等分点，求阴影部分面积【答案】1370【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P，BI 与 CE 的交点为 Q，连接 AM、BN、CP（1）求 S四边形ADMI：在 ABC 中，根据燕尾定理，SABM:SCBM=AI:CI=1:2 SACM:SCBM=AD:BD=1:2设 SABM=1(份)，则 SCBM=2(份)，SACM=1(份)，SABC=4(份)，所以 SABM=SACM=14SABC，所以 SADM=13SABM=112SABC，SAIM=112SABC，

46、所以 S四边形ADMI=(112+112)SABC=16SABC，同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 ABC 面积的 16（2）求 S五边形DNPQE：在 ABC 中，根据燕尾定理 SABN:SACN=BF:CF=1:2 SACN:SBCN=AD:BD=1:2，所以 SADN=13SABN=1317SABC=121SABC，同理 SBEQ=121SABC在 ABC 中，根据燕尾定理 SABP:SACP=BF:CF=1:2，SABP:SCBP=AI:CI=1:2所以 SABP=15SABC所以 S五边形DNPQE=SABP-SADN-SBEP=15-121-121SABC=11105SAB

47、C同理另外两个五边形面积是 ABC 面积的 11105所以 S阴影=1-163-111053=137045. 如图，三角形 ABC 的面积是 120，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F则四边形 DEFC 的面积是多少？【答案】50【分析】方法一：连接 CF根据燕尾模型，SABFSACF=BDDC=12,SABFSCBF=AEEC=1,设 SBDF=1 份，则 SDCF=2 份，SABF=3 份，SAEF=SEFC=3 份，所以SDCEF=512SABC=50.方法二：连接 DE由题目条件可得到SABD=13SABC=40,SADE=1

48、2SADC=1223SABC=40,所以BFFE=SABDSADE=11,SDEF=12SDEB=1213SBEC=121312SABC=10,而SCDE=2312SABC=40.所以四边形 DFEC 的面积等于512SABC=50.46. 如图，ABC 的面积为 1，点 D、E 是 BC 边的三等分点，点 F、G 是 AC 边的三等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少？ 【答案】970【分析】连接 CK、CI、CJ根据燕尾定理，SACK:SABK=CD:BD=1:2，SABK:SCBK=AG:CG=1:2，所以 SACK:SABK:SCBK=1:2:4，那么 SACK=11+2+4=17

49、，SAGK=13SACK=121类似分析可得 SAGI=215又 SABJ:SCBJ=AF:CF=2:1，SABJ:SACJ=BD:CD=2:1，可得 SACJ=14那么，SCGKJ=14-121=1784根据对称性，可知四边形 CEHJ 的面积也为 1784，那么四边形 JKIH 周围的图形的面积之和为 SCGKJ2+SAGI+SABE=17842+215+13=6170，所以四边形 JKIH 的面积为 1-6170=97047. 如图，已知 BD=DC，EC=2AE，三角形 ABC 的面积是 30，求阴影部分面积【答案】12.5【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际

50、上是比例的关系，由此步判断这道题不应该通过面积公式求面积又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，方法一：连接 CF，因为 BD=DC，EC=2AE，三角形 ABC 的面积是 30，所以SABE=13SABC=10,SABD=12SABC=15.根据燕尾模型，SABFSCBF=AEEC=12,SABFSACF=BDCD=1,SABF:SBFC:SAFC=1:2:1.所以SABF=14SABC=7.5,SBFD=15-7.5=7.5,所以阴影部分面积是 30-10-7.5=12.5方法二：连接 DE，由题目条件可得到SABE=13SABC=10,SBD

51、E=12SBEC=1223SABC=10,所以AFFD=SABESBDE=11,SDEF=12SDEA=1213SADC=121312SABC=2.5,而SCDE=1223SABC=10.所以阴影部分的面积为 12.548. 如图，正方形 ABCD 的边长是 6，E、F 分别是 DC 和 AD 边的中点，阴影部分的面积是多少？【答案】24【分析】设 AE 和 CF 的交点为 O，连结 OD，连结 AC，设 AFO 的面积为 1，标出份数可看出三角形 AOC 的面积是三角形 ACD 的 13，则三角形 AOC 的面积是正方形 ABCD 的 1213=16所以阴影部分的面积是正方形 ABCD 的

52、16+12=23，面积是 6223=2449. 如右图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 GHI 的面积是 1，求三角形 ABC 的面积【答案】19【分析】连接 BGSAGC=6 份根据燕尾模型，SAGC:SBGC=AF:FB=3:2=6:4,SABG:SAGC=BD:DC=3:2=9:6.得SBGC=4(份),SABG=9(份),则 SABC=19（份），因此SAGCSABC=619.同理连接 AI、CH得SABHSABC=619,SBICSABC=619,所以SGHISABC=19-6-6-619=119.三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 A

53、BC 的面积是 1950. 如图，在三角形 ABC 中，AE=ED，D 点是 BC 的四等分点，阴影部分的面积占三角形 ABC 面积的几分之几？【答案】37【分析】设 SCDE=1，则 SBDE=SABE=3，根据燕尾模型有 SAEC=1，AFCF=SABESBCE=34，所以 SAEF=37，因此S阴影SABC=3+373+3+1+1=37.51. 如下图所示，三角形 ABC 的面积为 1，点 D、E 是 BC 边的三等分点，点 F、G 是 AC 边的三等分点请问阴影部分的面积是多少？【答案】542【分析】如下图所示，连接 CM，设 SCMG=a,SCME=b，则 SAMG=2a,SBME=

54、2b，从而有 3a+b=133b+a=13，易得 a+b=16说明 S四边形EMGC=16，所以 SAMG=13-16=16SBAM=23-16=12所以 BM:MG=SABM:SAMG=12:16=3:1再连接 GN，根据燕尾模型，可以得到SABN:SANG=BM:MG=3:1,SABN:SBNG=AF:FG=1:1,则求出SBNG=37SABG=3723=27,SANG=17SABG=1723=221.图中阴影部分面积为SMNG+SNFG=14SBNG+12SANG=1427+12221=542.52. 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、C

55、A 的三等分点，求阴影部分面积（如果结果是分数，将结果化成最简分数）【答案】1370【分析】令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P，BI 与 CE 的交点为 Q，连接 AM，BN，CP求四边形 ADMI 的面积：在 ABC 中，根据燕尾模型，SABM:SCBM=AI:CI=1:2,SACM:SCBM=AD:BD=1:2,所以SABM=14SABC,SADM=13SABM=112SABC,SAIM=112SABC,因而四边形 ADMI 的面积为112SABC+112SABC=16SABC,同理可得另外两个顶点的四边形面积也是 ABC 的 16

56、求五边形 DNPQE 的面积：在 ABC 中，根据燕尾模型，SABN:SACN=BF:CF=1:2,所以SADN=13SABN=121SABC,同理可得SBEQ=121SABC.在 ABC 中，根据燕尾模型，SABP:SACP=BF:CF=1:2,SABP:SCBP=AI:CI=1:2,所以SABP=15SABC,因此五边形 DNPQE 的面积为15SABC-121SABC-121SABC=11105SABC,同理另外两个五边形的面积也是11105SABC.所以阴影部分的面积为SABC-316SABC-311105SABC=1370SABC=1370.53. 在三角形 ABC 中，AE=2EC

57、，BF:FE=1:1，阴影部分面积占 ABC 的几分之几？【答案】25【分析】如图所示，设 SCEF 为 1 份，那么 SAEF 为 2 份，SABF 是 2 份，根据燕尾定理可知，SABF:SBCF=2:1,则 SBCF 是 1 份，且BD:BC=2:3,可以求出 SBDF 为 0.4 份，所以阴影部分的面积占 SABC 的 2554. 三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC=CD，CD=2BD，AM=BM，三角形 AMN（阴影部分）的面积为 1，求三角形 ABC 的面积【答案】10【分析】连接 BN根据燕尾模型，ACN:ABN=CD:BD=2:1;同理CBN:CAN=BM:AM=1:1

58、,SACN:SABN:SCBN=2:1:2.设 AMN 面积为 1 份，则 MNB 的面积也是 1 份，所以 ANB 的面积是 1+1=2 份，而 ACN 的面积就是 22=4 份，CBN 也是 4 份，这样 ABC 的面积为 4+4+1+1=10 份，所以 ABC 的面积为 1101=1055. 如图，三角形 ABC 中，已知 EC=2AE，BD:DC=2:1，请在图上标出各个小三角形的面积份数（即三角形 COE、BOD、AOB、的面积份数）【答案】见解析【分析】根据燕尾模型可知：SABO:SBOC1:2SABO:SAOC2:1设 SAOE 为 1 份，则其他三角形份数如图所示：56. 如图

59、，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是_平方厘米【答案】14【分析】EG:GC=EB:CD=1:2，所以 EG=13EC，SEBG=1212AB13BC=112120=10 连接 BH，设 SBGH=1，则 SAGH=2，由燕尾模型知 SDHC=3，所以 SDGC=5，又因为 SDGC=4SEBG=40，所以 SBGH=8，SBGHF=SDBF-SDGH=14SABCD-2=30-16=14 57. 如图，三角形 ABC 中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求 AF:FB【答案】27:16【分析】根据燕尾定

60、理得SAOB:SAOC=BD:CD=4:9=12:27SAOB:SBOC=AE:CE=3:4=12:16所以SAOC:SBOC=27:16=AF:FB58. 在三角形 ABC 中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求 BO:OE【答案】8:1【分析】解法一：连接 OC AE:EC=1:3，可得SAOE:SCOE=1:3,设 SAOE=x，则SCOE=3x、SAOC=4x,再根据燕尾定理，SAOB:SAOC=BD:DC=2:1,所以SAOB=8x,所以BO:OE=SAOB:SAOE=8:1.解法二：可以用梯形蝴蝶定理来连接 DE，把三角形 ABC 的面积看做“1”，SABD=23，而 AE

61、 的长占 AC 的 14，CD 的长占 CB 的 13，1413=112来表示 AED 的面积，所以BO:OE=SABD:SAED=8:1.59. 如图，三角形 ABC 被线段 AD、BE 分成 4 个部分，AE:EC=1:2，CD:DB=1:2，已知三角形 AOE 的面积是 1，请问三角形 ABC 的面积是多少？【答案】21【分析】连接线段 OC，SCOE:SAOE=CE:AE=2:1,所以 SCOE=2，根据燕尾模型，SAOB:SAOC=BD:CD=2:1,所以 SAOB=6，又因为SCOB:SCOE=OB:OE=SAOB:SAOE=6:1,所以 SCOB=12，所以SABC=1+6+2+12=21.60. 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点，求中心六边形面积【答案】110【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、R、P、S、M、Q，连接 CR在 ABC 中根据燕尾定理，SABR:SACR=BG:CG.=2:1，SABR:SCBR=AI:CI=1:2所以 SABR=27SABC，同理 SACS=27SABC，SCQB=27SABC所以 SRQS=1-27-27-27=17同理 SMNP=17根据容斥原理，和上题结果 S六边形=17+17-1370=110