【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-等积变形-0星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-等积变形-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率等积变形B1.了解等积变形的概念2.能够熟练的应用等积变形来解决有关的几何题目少考知识提要等积变形 概念等积变形：如果两个三角形同底等高，那么他们的面积相等 夹在一组平行线之间的等积变形 SABC=SBCD 精选例题等积变形 1. 如下图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，AE=ED，且 EF=2FC，则三角形 ABF 的面积等于 【答案】5【分析】如下图所示，连接 DF，容易得到 SABF+SCDF=12S正方形ABCD=6因为 AE=ED，所以 SECD=14S正方形ABCD=3又因为 EF=2FC，所以 SCDF

2、=13SECD=1所以 SABF=6-SCDF=5 2. 如下图所示，正方形 ABCD 和正方形 ECGF 并排放置 BF 与 CD 相交于点 H，已知 AB=6 厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米【答案】18【分析】如下图所示，连接 DF、CF，那么显然 DHG 与 DHF 同 底等高，两者面积相等，我们容易知道 BDCF，可知 DHF 与 BHC 面积相等，那么阴影部分的面积等于 BCD 的面积，恰好为正方形 ABCD 的一半即 662=18(平方厘米) 3. 如下图所示，BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，EF 平行于 BD，如果三角形 ABE 的面积是 12 平方厘米，那么三角形

3、AFD 的面积是 平方厘米【答案】12【分析】如下图所示，连接 DE、BF，等积变形，SABE=SBED=SBFD=SAFD=12(平方厘米) 4. 如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的 【答案】38【分析】将阴影部分的上半部分翻下来，根据四等分点的条件，不难算出阴影是大正方形面积的 38 5. 梯形 ABCD 中，AE 与 DC 平行，SABE=15，SBCF= 【答案】15【分析】如下图所示，连接 DE，三角形 ABF 的面积和三角形 DEF 的面积相等，三角形 DEF 的面积和三角形 CEF 的面积相等，所以三角形 ABE 的

4、面积和三角形 BCF 的面积相等 6. 如下图所示，一大一小两个正方形拼在一起，若阴影部分的面积是 10 平方米，小正方形的面积是 平方米【答案】20【分析】如下图所示，连接 BF,BF 和 AC 平行，阴影部分面积等于三角形 ABC 的面积，而三角形 ABC 的面积是小正方形面积的一半，所以小正方形的面积是阴影部分面积的 2 倍，为 20 平方米 7. 如图，在梯形 ABCD 中，OEAD如果三角形 AOB 的面积是 7 平方厘米，则三角形 DEC 的面积是 平方厘米【答案】14【分析】由平行线间的等积变形可知，SAEO=SDEO,SBEO=SCEO,所以SDEC=SDEO+SCEO+SCD

5、O=2SAOB=72=14(平方厘米). 8. 如图，正十二边形的面积是 2016 平方厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米【答案】672【分析】如下图所示，阴影部分可以等积变形成下图形状，并设正三角形面积为 a，四边形面积为 b则整个正十二边形是由 12 个 a 和 6 个 b 组成，而阴影部分由 4 个 a 和 2 个 b 组成，所以阴影部分面积为 672 平方厘米 9. 图中由 3 个边长是 6 的正方形组成，则图中阴影部分的面积是 【答案】36【分析】等积变形如下：阴影部分面积：(62)62=36.10. 如下图所示，矩形 ABCD 的面积是 24 平方厘米，三角形 ADM 与三角

6、形 BCN 的面积之和是 7.8 平方厘米，则四边形 PMON 的面积是 平方厘米【答案】1.8【分析】SADM+SBCN=SMPB+SBCN=SCOB+SPMON，SCOB=14S长方形ABCD，所以 SPMON=7.8-244=1.8(平方厘米)11. 正方形 ABCD 的边长为 6 米，E 是 BC 的中点（见下图）四边形 OECD 的面积为 平方米【答案】15【分析】如下图所示，连接 DE，根据等积变形，设 SBEO=1 份，那么 SABO=SDEO=2 份，SADO=4 份，所以 SDCE=SDBE=3 份，正方形 ABCD 共为 1+2+2+4+3=12（份），四边形 OECD 的

7、面积为 6612(2+3)=15（平方米）12. 如下图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8，AD=15四边形 EFGO 面积为 【答案】10【分析】SABE=SEFD，所以阴影部分面积等于长方形面积的一半加四边形 EFGO 的面积，故四边形 EFGO 面积等于 70-1582=1013. 如下图所示，四边形 ABCD 的面积是 10，对角线 AC、BD 交于 E已知 AF=CE，BG=DE则 EFG 的面积是 【答案】【分析】如下图所示，连接 AG、CG，由“等底等高的三角形面积相等”可得SGFA=SGEC，SAED=SABG，SCDE=SCBG所以SEFG=SA

8、FG+SABG+SABE=SGEC+SAED+SABE=SDBC+SDAB=S四边形ABCD所以 EFG 的面积等于 1014. 如下图所示，点 C 在线段 AE 上，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是正三角形，且 F 是线段 BC 的中点，G 是线段 DE 的中点若三角形 ABC 的面积为 27，三角形 AFG（阴影部分）的面积是 【答案】13.5【分析】如下图所示，连接 CG，那么 AFCG，根据梯形蝴蝶模型，得到SAFG=SAFC=12SABC=1227=13.5.15. 如图，正方形的边长为 12，阴影部分的面积为 60，那么四边形 EFGH 的面积是 【答案】6【分析】如图所示，

9、设 AD 上的两个点分别为 M、N连接 CN根据面积比例模型，CMF 与 CNF 的面积是相等的，那么 CMF 与 BNF 的面积之和，等于 CNF 与 BNF 的面积之和，即等于 BCN 的面积而 BCN 的面积为正方形 ABCD 面积的一半，为 12212=72又 CMF 与 BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形 EFGH 的面积，所以四边形 EFGH 的面积为：72-602=616. 下图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F，AC 和 BE 的交点为 H，AC 和 BD 的交点为 G，四边形 EHGF 的面积是 15 平方

10、厘米，则 ABCD 的面积是 平方厘米【答案】180【分析】解法一：蝴蝶模型与一半模型（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以SDEF:SDAF:SBEF:SABF=1:2:2:4.（2）设平行四边形面积为“1”E 是 CD 的中点，所以 SABG、SADG、SBEC 占平行四边形面积的 14，梯形 SABED 占平行四边形面积的 34；（3）所以SDAF=3421+2+2+4=16,SGAF=14-16=112,同理可知 SGHB=112（4）根据一半模型，SABE=12，S四边形EHGF=12-14-112-112=112;（5）ABCD 的面积是15112=180(cm2).

11、解法二：相似模型、等积变形与一半模型（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以 DF:FB=1:2，而 DG=GB，DF:FG=11+2:12-11+2=2:1;（2）设平行四边形面积为“1”E 是 CD 的中点，所以 SABG、SADG 占平行四边形面积的 14，所以SGAF=1412+1=112,同理可知 SGHB=112（3）根据一半模型，SABE=12，S四边形EHGF=12-14-112-112=112;（4）ABCD 的面积是15112=180(cm2).解法三：燕尾模型与一半模型（1）设平行四边形面积为“1”SADC=12（2）E 是 CD 的中点，G 为 AC 的中点

12、，连接 FC，设 SDEF 为 1 份，SECF 也为 1 份，根据燕尾 SADF 为 2 份，再根据燕尾 SACF 也为 2 份，根据按比例分配，SAGF、SGCF 都为 1 份，所以SGAF=12(2+1+1+1+1)=112,同理可知 SGHB=112（3）根据一半模型，SABE=12，S四边形EHGF=12-14-112-112=112;（4）ABCD 的面积是15112=180(cm2).解法四：风筝模型与一半模型连接 EG 同样可解17. 如下图所示，四边形 ABCD 是梯形，上底是 8 厘米，下底是 16 厘米，点 E 是 BC 边上任意一点，如果 AED 的面积是 30 平方厘

13、米，那么梯形 ABCD 的面积是 平方厘米【答案】90【分析】方法一：三角形 ADE 的高为 3028=7.5（厘米），那么梯形面积为 (8+16)7.52=90（平方厘米）方法二：由于 BC=2AD,AEB 与 ECD 的面积和是 AED 面积的 2 倍，所以梯形的面积是 30(1+2)=90（平方厘米）18. 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积【答案】4 平方厘米【分析】连结 AF、CE因为 SADE=SACE；SCDF=SACF，又因为 AC 与 EF 平行，所以，SACE=SACF；SADE=SCDF=4(平方厘

14、米)19. 如图，将三个边长为 1 的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中心请问：图中阴影部分的面积是多少？【答案】12【分析】如下图所示，连接 BE、FE、FG、AD由于四边形 AMEF 为梯形，则三角形 AMO 的面积与三角形 OFE 的面积相等而三角形 OFE 的面又与三角形 OFG 的面积相等所以三角形 AMF 的面积与四边形 AOGF 的面积相等由于三角形 OBG 的面积为：14；三角形 ABD 的面积为：12，所以四边形 AOGF 的面积为：18所以所有阴影部分面积之和为：184=1220. 下图是一个由两个正方形拼合而成的图形，它们的边长分别是 m 厘

15、米及 n 厘米，且 C、D、E 三点在同一条直线上已知 m 和 n 都是两位数，且 m2=2n若三角形 ABC 的面积等于 a 平方厘米求 a 的最大值【答案】98 厘米【分析】如下图所示，连接 BD，ABC 与 ABD 同底等高，所以 SABC=SABD=m22当 m 最大时 a 取最大值，由于 n 是两位数，故 n100，所以 m2=2n200，由此可得，m 的最大值为 14，此时 a=98(厘米)21. 如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形【答案】见解析【分析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如图把

16、顶点 A 移到 CB 的延长线上的 A 处，ABD 与 ABD 面积相等，从而 ADC 面积与原四边形 ABCD 面积也相等这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角形 ADC问题是 A 位置的选择是依据三角形等积变形原则，过 A 作一条和 DB 平行的直线与 CB 的延长线交于 A 点具体做法：（1）连接 BD；（2）过 A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A；（3）连接 AD，则 ACD 与四边形 ABCD 等积22. 如图，过平行四边形 ABCD 顶点D作直线交 BC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F，已知 AEF 的面积为 10 平方厘米，求 BFC 的面积【答案】10

17、 平方厘米【分析】连结 BD，因为 AFCD，SBFC=SBFD，又因为 BCAD，SABE=SBDE，所以 SBDF=SAEF，SBFC=SAEF=10（平方厘米）23. 如图，正方形 HEFG 的边长是 10 厘米，四边形 ABCD 的面积是 6 平方厘米那么，阴影的面积是多少平方厘米？【答案】44 平方厘米【分析】因为 SGEB=SHEB，所以 SGAB=SHEA经过移补，原阴影面积等于右图阴影面积，是 10102-6=44(平方厘米).24. 如图，直角梯形 ABCD 中，SABE=75 平方厘米，阴影部分的面积为 15 平方厘米问长方形 ABCF 的面积是多少平方厘米？【答案】180

18、 平方厘米【分析】连 BF根据等积变形，SBEF=S阴影=15(平方厘米)，因此长方形 ABCD 的面积是 S=(15+75)2=180(平方厘米)25. 边长分别为 8cm 和 6cm 的两个正方形 ABCD 与 BEFG 如下图并排放在一起连接 DE 交 BG 于 P，则图中阴影部分 APEG 的面积是多少？【答案】18【分析】将 APG 移到 DPG（如下面中图），连接 DB，DB 与 GE 平行DGE 等于 BGE 的面积（如下面右图）662=1826. 如图，BCCD，AFBE，请比较 ABC、BCE、BCF，CDF 的面积大小【答案】一样大【分析】平行线之间的等积变形，这四个三角形

19、底和高都相等，所以面积是一样大27. 如图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F，若 SADE=1，求三角形 BEF 的面积是多少？【答案】1【分析】连接 AC，因为 AB 平行 CD，所以SADE=SACE,又因为 AD 平行 BC，所以SACF=SABF,而 SACF=SACE+SAEF,SABF=SBEF+SAEF，所以SACE=SBEF=SADE=1.28. 如下图所示，三角形 ABC 和三角形 EFD 是面积为 2004 平方厘米的全等的直角三角形，AB=EF,BC=FD,ABC=DFE=90，点 B 在 DE 边上，点 F 在 AC 边上

20、，形成长方形 GBHF，求长方形 ADEC 的面积【答案】4008 平方厘米【分析】如下图所示，连接 BF，因为三角形 ADB 的面积等于三角形 BDF 的面积，同时减去三角形 BDG 的面积，可得三角形 ADG 的面积与三角形 BGF 的面积相等，三角形 CEH 的面积与三角形 BHF 的面积相等，所以长方形 ADEC 的面积为三角形 ABC 面积的 2 倍，为 4008 平方厘米也可以利用一半模型得出结论29. 已知四边形 ABCD、BEFG、CHIJ 为正方形，正方形 ABCD 边长为 10，正方形 BEFG 边长为 6，求阴影部分的面积【答案】20【分析】如果注意到 DF 为一个正方形

21、的对角线（或者说一个等腰直角三角形的斜边），那么容易想到 DF 与 CI 是平行的所以可以连接 CI、CF，如下图由于 DF 与 CI 平行，所以 DFI 的面积与 DFC 的面积相等而 DFC 的面积为 10412=20，所以 DFI 的面积也为 2030. 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果三角形 ADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积【答案】4 平方厘米【分析】连结 AF、CE所以 SADE=SACE；SCDF=SACF，又因为 AC 与 EF 平行，所以 SACE=SACF，所以 SADE=SCDF=4(平方厘米)31. 如下图所示，E、F、G、H 分

22、别是四边形 ABCD 各边的中点，EG 与 FH 交于点 O，S1、S2、S3 及 S4 分别表示 4 个小四边形的面积试比较 S1+S3 与 S2+S4 的大小【答案】相等【分析】如下图所示，连接 AO、BO、CO、DO，则可判断出，每条边与 O 点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于 S1+S3，S2+S4 这两个不同的组合，所以可知 S1+S3=S2+S432. 如图，ABCD 为平行四边形，EFAC，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积【答案】4 平方厘米【分析】连结 AF、CE因为 SADE=SACE，SCDF=SACF，又因

23、为 AC 与 EF 平行，所以，SACE=SACF，SADE=SCDF=4(平方厘米)33. 如图所示，梯形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上的一点已知 DE 和 AB 平行，那么与 ADC 面积相等的三角形一共有哪几个？【答案】ABD 和 ABE【分析】观察图中哪些线段平行，AD 平行于 BC，AB 平行于 DE根据 AD 平行于 BC，可以知道 ADC 的面积等于 ABD；根据 AB 平行于 DE，可以知道 ABD 的面积等于 ABE所以与 ADC 面积相等的三角形有 ABD 和 ABE34. 如图，有三个正方形的顶点 D、G、K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长为 1

24、0 厘米，求阴影部分的面积【答案】100 平方厘米【分析】连结 BD，EG，FK由 BDEG 知 SDGE=SBGE，由 EGFK 知 SGEK=SGEF，所以阴影部分的面积为 BGE 和 GEF 的面积之和，即为正方形 GFEB 的面积，1010=100(平方厘米)35. 如图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F，若 SDAE=1，求 BEF 的面积【答案】1【分析】连接 AC，在梯形 CAFB 中，SBEF=SCAE又因为，CDAB，SCAE=SDAE=1所以，SBEF=136. 正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为

25、 20 厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】200 平方厘米【分析】连接 CF，那么 CFBD，所以 $text阴影面积=text三角形$ BCD $的面积=20 times 20 div 2text = 200text(平方厘米)$37. 如图，在梯形 ABCD 中，E 是 AB 的中点已知梯形 ABCD 的面积为 35 平方厘米，三角形 ABD 的面积为 13 平方厘米三角形 BCE 的面积为多少平方厘米？【答案】11 平方厘米【分析】如图，连接 AC，根据题意，由于梯形的面积为 35 平方厘米，而三角形 ABD 的面积为 13 平方厘米，所以三角形 DBC 的面积也为 22 平方

26、厘米所以三角形 ABC 的面积也为 22 平方理米，则三角形 BCE 的面积为 11 平方厘米38. 如图，P 为长方形 ABCD 外的一点，并且 PC=PD，已知长方形的面积是 2008 平方厘米问：阴影三角形 APD 的面积是多少平方厘米？【答案】502 平方厘米【分析】连结 DE 和 PE，五边形 ABCPD 关于 PE 是轴对称图形，所以 ADPE，根据等积变形阴影面积等于 AED 的面积也就是长方形 ABCD 面积的一半的一半，所以S阴影=200822=502(平方厘米).39. 如下图所示，在长方形 ABCD 中，EFAB，GHAD，EF 与 GH 相交于 O，HC 与 EF 相交

27、于 I已知 AH:HB=AE:ED=1:3，COI 的面积为 9 平方厘米，求长方形 ABCD 的面积【答案】128 平方厘米【分析】如下图所示，连接 GI，显然 GOI的面积=COI的面积=9 平方厘米，于是 HOI的面积=3 平方厘米，所以 HOC的面积=12 平方厘米因此 OGC的面积=36 平方厘米，于是长方形 OFCG的面积=72 平方厘米，从而 $text长方形$ HBFO $的面积=text长方形$ EOGD $的面积=24$ 平方厘米，长方形 AHOE的面积=8 平方厘米故长方形 ABCD 的面积为 8+24+24+72=128(平方厘米)40. 如图，在平行四边形 ABCD

28、中，EF 平行于 AC，连结 BE、AE、CF、BF那么与 BEC 等积的三角形有哪几个三角形？【答案】SBEC=SAEC=SAFC=SABF【分析】因为 ABCD，所以 SBEC=SAEC，因为ADparallel BC，所以 SAFB=SAFC，因为 EFAC，所以 SAEC=SAFC即 SBEC=SAEC=SAFC=SABF41. 你有什么方法将任意一个三角形分成 6 个面积相等的三角形？【答案】见解析【分析】42. 如图，梯形 ABCD 中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？【答案】共 8 个三角形；ABC 与 DBC、ABD 与 ACD、ABO 与 CDO【分析】这是一

29、个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等根据 AD 平行于 BC，可以知道 ABC 的面积等于 BCD 的面积；ABD 的面积等于 ACD 的面积ABD 和 ACD 有一个共同的 AOD，所以 ABO 和 OCD 的面积相等，我们称梯形的两翼面积相等43. 正方形 ABCD 和正方形 CEFG，如果两个正方形的边长分别为 6 和 4，那么 AEG 的面积为多少？【答案】8【分析】连接 AC，那么 ACGE，阴影部分的面积与三角形 GCE 的面积相等，为：442=844. 在梯形 ABCD 中，E 是 ABDE 的中点，F 是 AD 的中点，已知 SBCE=6 平方厘米，SABF=4 平方厘米，

30、则梯形 ABDC 的面积是多少平方厘米？【答案】20 平方厘米【分析】连结 AC、FC因为 E 是 AB 的中点，所以SABC=2SBCE=26=12(平方厘米),因为 ACF 与 ABF 同底同高，面积相等，因为 F 是 AD 的中点，所以SADC=2SACF=24=8(平方厘米).那么梯形 ABCD 的面积是12+8=20(平方厘米).45. 如图，在 ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与 ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？【答案】SDBE、SDCE、SAEC【分析】等底等高的三角形面积相同，所以 SABE=SDBE=SDCE=SAEC46.

31、用面积为 1、2、3、4 的 4 张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形问：图中阴影部分面积是多少？【答案】1021【分析】如下图所示，大长方形面积为 1+2+3+4=10，延长 RA 交 底边于 Q，延长 SB 交底边于 P，矩形 ABPR 面积是上部阴影三角形面积的 2 倍，矩形 ABSQ 是下部阴影三角形面积的 2 倍，所以矩形 RQSP 的面积是阴影部分面积的 2 倍易知 CA=13CD，CB=37CD所以 AB=CB-CA=37CD-13CD=221CD因此矩形 RQSP 的面积是大矩形面积的 221，阴影部分面积是大矩 形面积的 121，阴影部分面积 =12110=102147.

32、如图，ABCD 是一个直角梯形以 AD 为边长向外做一个长方形 ADEF，其面积是 10 平方厘米，连结 BE 交 AD 于 P，再连接 PC，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】5 平方厘米【分析】连结 BD，如下图因为 ADBC，所以 SPCD=SPBD，所以阴影部分的面积等于 SEBD，再根据 FBED，所以阴影的面积就是长方形 AFED 面积的一半，即 102=5(平方厘米)48. 如下图所示，三角形 AEF、三角形 BDF、三角形 BCD 都是正三角形，其中 AE:BD=1:3，三角形 AEF 的面积是 1求阴影部分的面积【答案】15【分析】SAEF:SBDF=AE2:BD2

33、=1:9，AEF 面积是 1，那么 SBDF=SBDC=9，因为 AEF 与 ACE 的高之比是 1:7，所以 SACE=7，因为 AD 与 BC 平行，所以 SABC=SBCD=9，所以 SABC:SAEC=BI:IE=9:7假设 BE 为 16 份，那么 BI=9,IE=7，又知道 BF:FE=3:1，所以 BF=12,FE=4，所以 IF=3,SAEF:SAIF=FE:FI=4:3，所以 SAIF=0.75，又有 SAIF:SBCI=AF2:BC2=1:9，所以 SBCI=6.75，于是可求阴影部分面积是 (0.75+6.75)2=1549. 正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方

34、形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】50【分析】方法一：三角形BEF的面积=BEEF2，梯形EFDC的面积=(EF+CD)CE2=BEEF2=三角形BEF的面积，而四边形 CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形 DHF 的面积等于三角形 BCH 的面积，进而可得，阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=10102=50(平方厘米)方法二：连接 CF，那么 CF 平行 BD，所以，阴影面积=三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=50(平方厘米)50. 在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分

35、，分别与P点连接，求阴影部分面积【答案】15 平方厘米【分析】方法一：从特殊情况考虑：让点 P 与点 A 重合，如图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 14 和 16，所以阴影部分的面积为6214+16=15(平方厘米).方法二：从一般情况考虑：连接 PA、PC，PAD 与 PBC 的面积之和等 ABCD 面积的一半，上、下两个阴影三角形的面积之和为 ABCD 面积的 14；同理左、右两个阴影三角形的面积之和等于 ABCD 面积的 16；所以阴影部分的面积为6214+16=15(平方厘米).51. 四边形 ABCD 是一个直角梯形以上底 AD 为边向外作正方形 ADEF，面积为 9 平

36、方厘米，连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC试求图中阴影部分的面积【答案】4.5 平方厘米【分析】连接 BD，因为 ADBC，所以，SPDC=SPBD，由于 BFDE，所以 SBDE=SADE，所以阴影部分的面积和三角形 ADE 的面积相等，为 92=4.5(平方厘米)52. 在长方形 NOPQ 中，NQ=15 厘米，NO=8 厘米，四边形 STUR 的面积是 9 平方厘米，求阴影的面积是多少？【答案】69 平方厘米【分析】长方形 NOPQ 的面积是 158=120(平方厘米)，空白的面积是SNTP+SOTQ-S四STUR=1202-9=51(平方厘米)，那么阴影的面积是 120-51=

37、69(平方厘米)53. 在图中，正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和 4三角形 BDF 的面积是多少？【答案】18【分析】连接 FE，则三角形 BFO 的面积与三角形 DOE 的面积相等则图中阴影部分的面积为正方形 ABDE 面积的一半，为 662=1854. 如图，正方形的边长是 10 厘米，图中阴影部分的面积是 40 平方厘米，四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？【答案】10【分析】根据等积变形有SGEB=SHEB,SHFB+SHEB=10102=50(平方厘米),而 SHFB+SHEB 与阴影部分面积相比多了中间四边形的面积，所以SABCD=5

38、0-40=10(平方厘米).55. 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？（ 取 3.14）【答案】阴影部分面积为 113.04【分析】方法一：设小正方形的边长为 a，则三角形 ABF 与梯形 ABCD 的面积均为(a+12)a2.阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆.因此阴影部分面积为：3.1412124=113.04.方法二：连接 AC、DF，设 AF 与 CD 的交点为 M，由于四边形 ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶模型有 SADM=SCMF，所以S阴影=S扇形DCF=3.1412124=1

39、13.04.56. 如图所示，ED 垂直于等腰梯形 ABCD 的上底 AD，并交 BC 于 G，AE 平行于 BD，DCB=45，且三角形 ABD 和三角形 EDC 的面积分别是 75、45，那么三角形 AED 的面积是多少？【答案】30【分析】已知的 CDE 的底边是 ED，高是 CG；所求的 AED 的底边是 ED，高是 AD；它们有公共的底边 ED另一个已知的三角形是 ABD，如果能找到一个以 ED 为底边的三角形，它的面积等于 ABD 的面积，那么底边 ED 就成了这三个三角形的公共底边如图 1，连结 BE由于 AEBD，把 ABD 作等积变换，变成 BDE，此时 BDE 以 DE 为

40、底边以 BG 为高，且面积是 75这样一来，这 3 个三角形有相同的底边 DE于是来看看它们的高 BG、CG、AD 之间有什么关系由于四边形 ABCD 是等腰梯形，如图 2 所示，再作分别从 A、D 出发与 BC 垂直的垂线 AH、DG容易看出，BH=GC，AD=HG，因此 BG=BH+HG=GC+AD在等式两边同时乘以 DE2，可得 BGDE2=(GC+AD)DE2用乘法分配律得 BGDE2=GCDE2+ADDE2而 SBDE=BGDE2,SDEC=CGDE2,SAED=ADDE2，因此所求的三角形的面积就是 75-45=3057. 如图所示，大正方形的边长是 10 厘米，小正方形的边长是

41、8 厘米求阴影部分的面积【答案】（1）50 平方厘米；（2）32 平方厘米【分析】（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为 50 平方厘米（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为 32 平方厘米58. 如图，有三个正方形的顶点 D、G、K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长为 16 厘米，求阴影部分的面积【答案】256 平方

42、厘米【分析】如图所示，连接 FK、GE、BD，则这三条线互相平行，可以得到SDGE=SGBE,SGEK=SGEF.所以阴影部分的面积就等于中间正方形的面积即为S阴影=1616=256(平方厘米).59. 在图中，正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和 4阴影三角形 ACG 的面积是多少？【答案】8【分析】根据题意，连接 EA，则根据等积变形，三角形 AGO 的面积与三角形 EOC 的面积相等，所以阴影部分面积为正方形 GFCE 的一半，即为：442=860. E、M 分别为直角梯形 ABCD 两边上的点，且 DQ、CP、ME 彼此平行，若 AD=5，BC=

43、7，AE=5，EB=3求阴影部分的面积【答案】25【分析】连接 CE、DE由于 DQ、CP、ME 彼此平行，所以四边形 CDQP 是梯形，且 ME 与该梯形的两个底平行，那么三角形 QME 与 DEM、三角形 PME 与 CEM 的面积分别相等，所以三角形 PQM 的面积与三角形 CDE 的面积相等而三角形 CDE 的面积根据已知条件很容易求出来由于 ABCD 为直角梯形，且 AD=5，BC=7，AE=5，EB=3，所以三角形 CDE 的面积为：(5+7)(5+3)12-5512-3712=25.所以三角形 PQM 的面积为 2561. 如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC

44、 是半圆的直径已知 AB=BC=10，那么阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）【答案】32.125【分析】连接 PD、AP、BD，如图，PD 平行于 AB，则在梯形 ABDP 中，对角线交于 M 点，那么 ABD 与 ABP 面积相等，则阴影部分的面积转化为 ABP 与圆内的小弓形的面积和ABP 的面积为：101022=25;弓形面积：3.14554-552=7.125;阴影部分面积为：25+7.125=32.125.62. 如图所示，梯形 ABCE 是由正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CDE 构成已知等腰直角三角形的斜边是 10 厘米，那么 BCE 面积是多少平方厘米？【答案】25

45、平方厘米【分析】根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是 25 平方厘米和 50 平方厘米方法一：BCE 的面积是正方形面积的一半，所以 BCE 的面积是 25 平方厘米；方法二：连结 BD，BCE 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则 BCE 的面积也是 25 平方厘米63. 如图，BD 是梯形 ABCD 的一条对角线，线段 AE 与 DC 平行，AE 与 BD 相交于 O 点已知三角形 BOE 的面积比三角形 AOD 的面积大 4 平方米，并且 EC=25BC求梯形 ABCD 的面积【答案】28 平方米【分析】连接 AC根据差不变原理可知三角

46、形 ABE 的面积比三角形 ABD 大 4 平方米，而三角形 ABD 与三角形 ACD 面积相等，因此也与三角形 ACE 面积相等，从而三角形 ABE 的面积比三角形 ACE 的大 4 平方米但 EC=25BC，所以三角形 ACE 的面积是三角形 ABE 的 25-2=23，从而三角形 ABE 的面积是 41-23=12(平方米)，梯形 ABCD 的面积为：121+232=28(平方米)64. 如图，在梯形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O 点，OE 平行于 AB 交腰 BC 于 E 点，如果 OBC 的面积是 115 平方厘米，求 ADE 的面积？【答案】230 平方厘米【分析】

47、本题可由等底等高的三角形的面积相等，先证明 OAD 的面积等于 OBC 的面积，由于 ABD 和 ABC 同底等高，所以这两个三角形面积相等，而 AOB 是这两个三角形的公共部分，所以各自剩下的部分 OAD 和 OBC 面积相等；再证明 AOE 的面积等于 BOE 的面积以及 DOE 的面积等于 COE 的面积，于是可得，ADE的面积=OAD的面积+AOE的面积+BOE的面积=OAD的面积+BOE的面积+COE的面积=OAD的面积+OBC的面积=115+115=230.65. 如图，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是 8 厘米和 6 厘米，那么图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？【

48、答案】18 平方厘米【分析】利用等积变形，阴影部分面积为小正方形面积的一半，S=1266=18(平方厘米)66. 如图所示，长方形 ABCD 的长是 12 厘米，宽是 8 厘米，三角形 CEF 的面积是 32 平方厘米，则 OG= 厘米【答案】4【分析】由于 AD 与 FG 平行，因此SFDO+SCFO=SCEF=32(平方厘米).而SCFD=1282=48(厘米),所以SCDO=SCFD-SFDO-SCFO=48-32=16(平方厘米),故OG=2SCDOCD=2168=4(厘米).67. 如图所示，三角形 ABC 的面积为 1D、E 分别是 AB、AC 的中点，F、G 是 BC 边上的三等分点，请问：三角形 DEF 的面积是多少？三角形 DOE 的面积是多少？【答案】14；320【分析】注意到 D、E 分别为 AB、AC 的中点，则 DE 就是 ABC 的中位线，连结 CD，如图 1 所示则 DEF 与 CDE 面积相等，因此SDEF=SCDE=12SACD=1212SABC=14.在沙漏 EDOFG 中，OEOF=DEFG（如图 2）而 DE=12BC，FG=13BC，因此OEOF=DEFG=32,即有OEEF=33+2=35,转化为面积比 SDOESDEF=35而 SDEF=14，所以SDOE=35SDEF=3514=320.