【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-蝴蝶模型-1星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-蝴蝶模型-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率蝴蝶模型C1.了解蝴蝶模型及其公式2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的几何知识少考知识提要蝴蝶模型 任意四边形蝴蝶模型（1）S1:S2=S4:S3 （2）OA:OC=(S1+S2):(S4+S3) 梯形蝴蝶模型（1）S2=S4 （2）S1:S2=S4:S3 （3）S1:S3:S2:S4:S梯形=a2:b2:ab:ab:(a+b)2 精选例题蝴蝶模型 1. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O如果 ABD 的面积等于 BCD 的面积的 13，且 AO=2，DO=3，那么 CO

2、 的长度是 DO 的长度的 倍【答案】2【分析】根据蝴蝶模型：ABDBCD=13=AOOC，OC=23=6，CO 的长度是 DO 长度的 63=2 倍 2. 已知 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米【答案】21【分析】连接 AC由于 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，所以 CE:AD=2:3，根据梯形蝴蝶定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAOD=22:23:23:32=4:6:6:9,所以SAOC=6(平方厘米),SAOD=9(平方厘米),又SABC=SACD=6+9=15(平方厘米),阴影部分面积为6+

3、15=21(平方厘米). 3. 如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD，对角线 AC，BD 交于 O，已知 AOB 与 BOC 的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是 平方厘米【答案】144【分析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=a2:ab=25:35,可得a:b=5:7,再根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SDOC=a2:b2=52:72=25:49,所以SDOC=49(平方厘米).那么梯形 ABCD 的面积为25+35+35+49=144(平方厘米). 4. 如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4:5，四边形 2 的面

4、积为 36，则三角形 1 的面积为 【答案】16【分析】做辅助线如下：利用蝴蝶模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，所以三角形 1 的面积就是 3644+5=16，三角形 3 的面积就是 3654+5=20 5. 如图，长方形 ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的长是 9那么四边形 OECD 的面积是 【答案】11958【分析】解法一：连接 DE，依题意SAOB=12BOAO=129AO=54,所以AO=12,则SAOD=12DOAO=121612=96.又因为SAOB=SDOE=54=1216OE,所以OE=

5、634,得SBOE=12BOEO=129634=3038,所以SOECD=SBDC-SBOE=SABD-SBOE=54+96-3038=11958.解法二：由于SAOD:SAOB=OD:OB=16:9,所以SAOD=54169=96,而SDOE=SAOB=54,根据蝴蝶定理，SBOESAOD=SAOBSDOE,所以SBOE=545496=3038,所以SOECD=SBDC-SBOE=SABD-SBOE=54+96-3038=11958. 6. 如下图所示，点 C 在线段 AE 上，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是正三角形，且 F 是线段 BC 的中点，G 是线段 DE 的中点若三角形 A

6、BC 的面积为 27，三角形 AFG（阴影部分）的面积是 【答案】13.5【分析】如下图所示，连接 CG，那么 AFCG，根据梯形蝴蝶模型，得到SAFG=SAFC=12SABC=1227=13.5. 7. 如图，梯形 ABCD 的对角线相互垂直三角形 AOB 的面积是 12，OD 的长是 4，求 OC 的长【答案】6【分析】SCOD=SAOB=12，12OCOD=12，OC=6 8. 如图，S2=2，S3=4，求梯形的面积【答案】9【分析】设 S1 为 a2 份，S3 为 b2 份根据梯形蝴蝶定理，S3=4=b2,所以b=2;又因为S2=2=ab,所以a=1;那么S1=a2=1,S4=ab=2

7、,所以梯形面积S=S1+S2+S3+S4=1+2+4+2=9,或者根据梯形蝴蝶定理，S=a+b2=1+22=9. 9. 梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9cm2，问三角形 AOD 的面积是多少？【答案】4cm2【分析】根据梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3，SAOD:SBOC=a2:b2=22:32=4:9，所以 SAOD=4(cm2)10. 如图，在 ABC 中，已知 M、N 分别在边 AC、BC 上，BM 与 AN 相交于 O，若 AOM、ABO 和 BON 的面积分别是 3、2、1，则 MNC 的面积是多少？【答案】22.5【分析】这道题给出的条件较少，需

8、要运用共边模型和蝴蝶模型来求解根据蝴蝶模型得SMON=SAOMSBONSAOB=312=32设 SMNC=x，根据共边模型我们可以得SANMSMNC=SABMSMBC,3+32x=3+21+32+x,解得 x=22.511. 下图中的正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AD 边上的中点求图中阴影部分的面积【答案】13【分析】令三角形 AGM 的面积为 1 份，则三角形 GMC 的面积为 2 份，三角形 MCD 的面积为 3 份，所以 1份=126=112则题目中所求阴影部分面积为：1124=1312. 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2

9、个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【答案】21【分析】在 ABE，CDE 中有 AEB=CED，所以 ABE，CDE 的面积比为(AEEB):(CEDE).同理有 ADE，BCE 的面积比为(AEDE):(BEEC).所以有SABESCDE=SADESBCE.即SABE6=SADE7,所以有 ABE 与 ADE 的面积比为 7:6，SABE=76+739=21 公顷，SADE = 66+739=18 公顷显然，最大的三角形的面积为 21 公顷13. 梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9 平方厘米，问三角形 AOD 的面积是

10、多少？【答案】4 平方厘米【分析】根据梯形蝴蝶模型，a:b=1:1.5=2:3，SAOD:SBOC=a2:b2=22:32=4:9，所以 SAOD=4(平方厘米)14. 如图：求三角形 ADE 的面积【答案】10【分析】应用蝴蝶模型可得：三角形 ADE 的面积等于 1256=1015. 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO=1，并且 三角形ABD的面积三角形CBD的面积=35，那么 OC 的长是多少？【答案】53【分析】根据蝴蝶定理，三角形ABD的面积三角形CBD的面积=AOCO，所以 AOCO=35，又 AO=1，所以 CO=5316. 右图中 AB

11、CD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米【答案】4【分析】连接 AE由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 SOCD=SOAE根据蝴蝶模型，SOCDSOAE=SOCESOAD=28=16,故 SOCD2=16，所以 SOCD=4(平方厘米)另解：在平行四边形 ABED 中，SADE=12S平行四边形ABED=1216+8=12(平方厘米),所以SAOE=SADE-SAOD=12-8=4(平方厘米),根据蝴蝶模型，阴影部分的面积为824=4(平方厘米).17. 如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知

12、三角形 ADG 的面积是 11，三角形 BCH 的面积是 23，求四边形 EGFH 的面积【答案】34【分析】连接 EF，SEFG=SADG，SBCH=SEFH所以，四边形 EGFH 的面积是 11+23=3418. 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，AOB 面积为 1 平方千米，BOC 面积为 2 平方千米，COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6.92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【答案】0.58 平方千米【分析】应用蝴蝶模型SAOBSCOD=SBOCSAOD,SAOD=312=1.5(平方千米),四边形 ABC

13、D（公园）的面积是1+2+3+1.5=7.5(平方千米),人工湖的面积为7.5-6.92=0.58(平方千米).19. 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO=1，并且 $dfractext三角形 $ ABD $ 的面积text三角形 $ CBD $ 的面积= dfrac35$，那么 OC 的长是多少？【答案】53【分析】根据蝴蝶定理，dfractext三角形 $ABD$ 的面积text三角形 $CBD$ 的面积= dfracAOCO,所以 AOCO=35，又 AO=1，所以 CO=5320. 图中 AOB 的面积为 15cm2，线段 OB 的长度为 O

14、D 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积【答案】80cm2【分析】在 ABD 中，因为SAOB=15(cm2),且 OB=3OD，所以有SAOD=SAOB3=5(cm2).因为 ABD 和 ACD 等底等高，所以有SABD=SACD.从而SOCD=15(cm2),在 BCD 中，SBOC=3SOCD=45(cm2),所以梯形面积：15+5+15+45=80(cm2).21. 如图中四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O，如果三角形 ABD 的面积是 30 平方厘米，三角形 ABC 的面积是 48 平方厘米，三角形 BCD 的面积是 50 平方厘米请问：三角形 BOC 的面积是多

15、少？【答案】30【分析】根据题意可得：text三角形 $BAD$ 与三角形 $BCD$ 的面积比=AO:CO = 30:50 = 3:5,所以三角形 BOC 的面积为 4858=3022. 如下图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC,BD 相交于点 O已知 AB=5,CD=3，且梯形 ABCD 的面积为 4求三角形 OAB 的面积【答案】2516【分析】根据蝴蝶模型根据题意，AB=5,CD=3,CD:AB=3:5，则根据蝴蝶模型，SDOC:SAOD:SAOB:SCOB=9:15:25:15,令 SAOB=25 份，则梯形 ABCD 共有：9+15+25+15=64(份).所以 1

16、 份为：464=116,则三角形 OAB 的面积为11625=2516.23. 如图，梯形 ABCD 中，AOB、COD 的面积分别为 1.2 和 2.7，求梯形 ABCD 的面积【答案】7.5【分析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SCOD=a2:b2=4:9,所以 a:b=2:3，SAOD:SAOB=ab:a2=b:a=3:2，SAOD=SCOB=1.232=1.8,S梯形ABCD=1.2+1.8+1.8+2.7=7.524. 图中的四边形土地的总面积是 48 平方厘米，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形的面积分别是 3 平方厘米和 4 平方厘米那么最大的一个三角形的面

17、积是多少平方厘米？【答案】2337【分析】在 AOB，COD 中有 AOB=COD，所以 AOB，COD 的面积比为 (AOOB):(COOD)同理有 AOD，BOC 的面积比为 (AODO):(BOOC)所以有 SAOBSCOD=SAODSBOC，所以有 AOB 与 AOD 的面积比为 4:3，SAOB=43+4(48-3-4)=2337(平方厘米)，SAOD=33+4(48-3-4)=1747(平方厘米)，最大的三角形面积是 2337(平方厘米)25. 如图所示，BD，CF 将长方形 ABCD 分成4块，DEF 的面积是 4 cm 2，CED 的面积是 6cm2四边形 ABEF 的面积是多

18、少平方厘米？【答案】11【分析】连接 BF，在右边的梯形 BCDF 中，由梯形基本结论知：SBEF=SCDE=6，所以 SBEC=9，SBFC=9+6=15，又 AF:BC=(6-4):6=1:3，所以 SABF=5，所以四边形 ABEF 的面积是 11 平方厘米。26. 如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积【答案】107【分析】因为 BD:CE=2:5，且 BDCE，所以 DA:AC=2:5，SABC=52+5，SDBC=572=10727. 长方形 ABCD 中，对角线交于 O 点，F 是 BC 上一点，连接 AF、DF如图得到三块阴影，已知阴影的面积之和是 28 平方

19、厘米，长方形的长是 8 厘米，宽是 6 厘米求四边形 OEFG 的面积【答案】4 平方厘米【分析】由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形 CDG 的面积就等于 AFG 的面积这样阴影面积之和就变成了 ABD 和四边形 OEFG 的面积之和前者面积是862=24(平方厘米).后者面积是28-24=4(平方厘米)即为所求28. 如图所示，BD、CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，三角形 DEF 的面积 4 平方厘米，三角形 CED 的面积是 6 平方厘米问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？【答案】11【分析】连接 BF，由于 AD 与 BC 平行的，所以四边形 BCDF 是梯形，SBE

20、F=SCED=6,根据蝴蝶模型，SDEFSBEC=SBEFSCED,代入已知部分，可得 SBEC=9(平方厘米)，SABEF=SABD-SDEF=SABD-SDEF=9+6-4=11(平方厘米).29. 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积【答案】21 公顷【分析】设另两块面积分别为 x,y，如图：7x=6yx+y=52-(6+7)=39,设 x=6k，y=7k，则 x+y=13k，13k=39，代入，得：x=18y=21,所以面积最大的一个的面积为 21 公顷30. 在下图

21、的正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米【答案】12【分析】连接 DE，根据题意可知 BE:AD=1:2，根据蝴蝶模型得 S梯形=(1+2)2=9（平方厘米），SECD=3（平方厘米），那么 SABCD=12（平方厘米）31. 如图，梯形 ABCD 中，三角形 AOB、三角形 COD 的面积分别是 1.2 和 2.7，求梯形 ABCD 的面积【答案】7.5【分析】由于四边形 ABCD 是梯形，所以 SAOC=SBOD，根据蝴蝶模型，SAOCSBOD=SAOBSCOD,代入已知面

22、积值，可以求出SAOC=SBOD=1.8,所以ABCD的面积=1.8+1.8+1.2+2.7=7.5.32. 如图，正六边形面积为 6，那么阴影部分面积为多少？【答案】83【分析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶模型把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 8186=8333. 如图，长方形 ABCD 被 CE、DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形 OFBC 的面积是多少平方厘米？【答案】9【分析】连接 DE、CF四边形 EDCF 为梯形，所以 SEOD=SFOC, 又根据蝴蝶模

23、型，SEODSFOC=SEOFSCOD,所以SEODSFOC=SEOFSCOD=28=16,所以 SEOD=4(平方厘米)，SECD=4+8=12(平方厘米)那么长方形 ABCD 的面积为 122=24 平方厘米，四边形 OFBC 的面积为24-5-2-8=9(平方厘米).34. 如图，ABC 中 AE=14AB，AD=14AC，ED 与 BC 平行，EOD 的面积是 1 平方厘米那么 AED 的面积是 平方厘米【答案】53【分析】因为 ED 与 BC 平行，且 AE=14AB，所以 ED=14BC，所以 SEOD:SBOC=1:16 又因为 EOD 的面积是 1 平方厘米，所以 BOC 的面积是 16 平方厘米，由蝴蝶模型结论知 DOC 的面积是 4 平方厘米，所以 EDC 的面积是 5 平方厘米，又因为 AD=14AC，所以 AD:DC=1:3 所以 AED 的面积是 53 平方厘米35. 如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）三角形 BGC 的面积；（2）AG:GC=？【答案】（1）6（2）1:3【分析】（1）SBGC1=23，SBGC=6；（2）AGGC=SADGSCDG=13 或 AGGC=SABDSBCD=1+23+6=39=13