【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-2星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-鸟头模型-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率鸟头模型C1.能够准确的理解鸟头模型的概念2.灵活应用鸟头模型解决复杂的几何问题少考知识提要鸟头模型 概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 特征共角三角形的面积比等于共角（相等角或者互补角）两夹边的乘积之比。 $S_triangle ABCmathbin:S_triangle ADE=(ABtimes AC)mathbin:(ADtimes AE)$ 精选例题鸟头模型 1. 如下图所示，三角形 ABC 的面积为 1，且 AD=13AB,BE=14BC,CF=15CA，则三角形 DEF 的面积是

2、 【答案】512【分析】先分别求出 ADF、BDE、CEF 的面积，再用 ABC 的面积减去这三个三角形的面积即为 DEF 的面积因为，AD=13AB,CF=15CA，所以，AF=45AC，根据“鸟头定理”，SADF=4513SABC=415，同理可得，SBDE=23141=16，SCEF=34151=320，所以 SDEF=1-415-16-320=512 2. 如图将三角形 ABC 的 AB 边延长 1 倍到 D，BC 边延长 2 倍到 E，CA 边延长 3 倍到 F如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是 【答案】18【分析】（法 1）连接 AE、CD因为 SAB

3、CSDBC=11，SABC=1，所以 SDBC=1同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积 =18（法 2）用共角定理因为在 ABC 和 CFE 中，ACB 与 FCE 互补，所以SABCSFCE=ACBCFCCE=1142=18.又 SABC=1，所以 SFCE=8同理可得 SADF=6，SBDE=3所以SDEF=SABC+SFCE+SADF+SBDE=1+8+6+3=18. 3. 如下图所示，点 Q 和 R 三等分 XX，R 和 P 三等分 YY，Q 和 P 三等分 ZZPQR 面积是 PQR 面积的 倍【答案】25【分析】连接 ZY,XY,XZ，根据鸟头模型，可以得到 PYZ,XYR,X

4、QZ 都是 PQR 的 4 倍，那么可以得到平行四边形 PZPY、XRYR、XQZQ 均为 PQR 的 8 倍，图中的三个小三角形的面积都与 PQR 的面积相等，那么 PQR 面积是 PQR 面积的 83+1=25(倍) 4. 如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ABC 的面积是 平方厘米【答案】30 平方厘米【分析】SADE=SDEF，SADE:SABC=(ADAE):(ABAC)=(11):(23)=1:6,所以SABC=56=30(平方厘米). 5. 如图所示，正方形 ABCD 边长为 6 厘米，AE=13AC，CF=13BC三角形 DEF 的面积为 平

5、方厘米【答案】10【分析】由题意知AE=13AC、CF=13BC,可得CE=23AC.根据”共角定理”可得，SCEF:SABC=(CFCE):(CBAC)=12:(33)=2:9;而SABC=662=18;所以SCEF=4;同理得，SCDE:SACD=2:3,SCDE=1832=12,SCDF=6故SDEF=SCEF+SDEC-SDFC=4+12-6=10(平方厘米). 6. 正方形 ABCD 边长为 6 厘米，AE=13AC,CF=13BC三角形 DEF 的面积为 平方厘米【答案】10【分析】正方形的面积为 66=36(平方厘米)，那么根据鸟头模型可以得出SADE=13SACD=131236

6、=6(平方厘米),SCDF=13SBCD=131236=6(平方厘米),SABFE=SABC-SCEF=18-181323=14(平方厘米),阴影部分面积为 36-6-6-14=10(平方厘米) 7. 如图，P 为四边形 ABCD 内部的点，AB:BC:DA=3:1:2，DAB=CBA=60图中所有三角形的面积都是整数如果三角形 PAD 和 三角形 PBC 的面积分别为 20 和 17，那么四边形 ABCD 的面积最大是 【答案】147【分析】延长 AD，BC 交于点 Q，连接 PQ DAB=CBA=60，所以三角形 ABQ 为正三角形由于AB:BC:DA=3:1:2,所以 PCQD 的面积为

7、202+172=44;而三角形 QCD 面积占 QAB 面积 的1323=29,ABCD 面积是 QCD 面积的(1-29)29=72.注意到 ABCD 中各三角形面积均为整数，所以 QAB 面积为 9 的倍数QCD 面积是 2 的倍数，所以 QCD 面积最大为 42，ABCD 面积最大为4272=147. 8. 如图，三角形 ABC 中，AB 是 AD 的 5 倍，AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？【答案】15【分析】SADE:SABC=(11):(53)=1:15，SABC=15SADE=151=15 9. 如图，在三角形 A

8、BC 中，AD 的长度是 BD 的 3 倍，AC 的长度是 EC 的 3 倍三角形 AED 的面积是 10，那么三角形 ABC 的面积是多少？【答案】20【分析】详解：AD 是 AB 的 34，AE 是 AC 的 23，根据鸟头模型，有 ADE 的面积是 ABC 面积的 3423=12那么 ABC 的面积是 2010. 如图在 ABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，且 AB:AD5:2，AE:EC3:2，SADE12 平方厘米，求 ABC 的面积【答案】50 平方厘米【分析】SADE:SABC=(ADAE):(ABAC)=(32):(55)=6:25,因为 SADE=12(平

9、方厘米)，所以 SABC=12625=50(平方厘米)11. 如图，已知长方形的面积是 16，BE=3BD，CE=CF请问：三角形 BEC 的面积是多少？【答案】3【分析】详解：连结 DF，根据鸟头模型，可知 BCE 面积是 DEF 面积的3412=38.那么 BCE 的面积是161238=3.12. 如图，三角形 ABC 中，AB 是 AD 的 6 倍，EC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？【答案】24【分析】SADE:SABC=(11):(64)=1:24，SABC=24SADE=241=2413. 三角形 ABC 中，BD 的长

10、度是的 AB 的 14，AE 的长度是 AC 的 13三角形 AED 的面积是 8，那么三角形 ABC 的面积是多少？【答案】32【分析】简答：83413=3214. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 2 倍后得到三角形 ABC，三角形 ABC 的面积为 1. 三角形 DEF 的面积是多少？【答案】119【分析】令三角形 DEF 为 1 份，则根据共角模型，有：SDEFSAFC=EFDFCFFA=16.所以三角形 AFC 的面积为 6 份，同理，三角形 ABD 的面积为 6 份，三角形BEF的面积为 6 份则三角形 ABC 的面积为 1+6+6+6=19 份，对应面积为 1，所以 S三角

11、形DEF=11915. 已知 CEF 的面积为 9 平方厘米，BE=CE,AD=2BD，CF=3AF，求 DEF 的面积【答案】7 平方厘米【分析】SCEF:SABC=(CECF):(CBCA)=(13):(24)=3:8=9:24,所以三角形 ABC 的面积为 24 平方厘米SBDE:SABC=(BDBE):(BABC)=(11):(23)=1:6=4:24,SADF:SABC=(ADAF):(ABAC)=(21):(34)=1:6=4:24,所以SDEF=24-4-4-9=7(平方厘米).16. 如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB；延长 BC 至 E，

12、使 CE=2BC；延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积【答案】18【分析】SADFSABC=ADAFABAC=2311=6，SBDESABC=BDBEABBC=1311=3，SCEFSABC=CECFBCAC=2411=8所以SDEFSABC=SADFSABC+SBDESABC+SCEFSABC+SABCSABC=6+3+8+1=18,SDEF=18SABC=1817. 如图在 ABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，且 AB:BD=5:7，AE:EC=3:2，SADE=36 平方厘米，求 ABC 的面积【答案】150 平方厘米【分析】SADE:SAB

13、C=(ADAE):(ABAC)=37-5:53+2=6:25,因为 SADE=36(平方厘米)，所以 SABC=36625=150(平方厘米)18. 分别延长四边形 ABCD 的四个边，使得 AB=BA,BC=CB,CD=DC,DA=AD（如下图所示）如果四边形 ABCD 的面积是 1 平方厘米，请问四边形 ABCD 的面积为多少平方厘米？【答案】5【分析】连接 BD，根据鸟头模型，可得SAAD=12SABD=2SABD,SCCB=12SBCD=2SBCD,那么可得SAAD+SCCB=2S四边形ABCD连接 AC，同理可得：SDDC+SBBA=2S四边形ABCD所以整个图形的面积是2+2+1=

14、5(平方厘米).19. 下图中的三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6求甲部分面积占乙部分面积的几分之几【答案】15【分析】BEBA=33+6=13,BDBC=44+4=12，根据鸟头模型，甲部分占整个图形面积的 1312=16，那么甲部分占乙部分的 1520. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 1 倍后得到三角形 ABC，三角形 ABC 的面积为 1三角形 DEF 的面积是多少？【答案】17【分析】令三角形DEF为 1 份，则根据共角模型，有：SDEFSAFC=EFDFCFFA=12.所以三角形 AFC 的面积为 2 份，同理，三角形 AB

15、D 的面积为 2 份，三角形 BEF 的面积为 2 份则三角形 ABC 的面积为 7 份，对应面积为 1，所以 S三角形DEF=1721. 如图，长方形 ABCD 的面积是 48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2三角形 CFE 面积是多少？【答案】10【分析】简答：48125823=1022. 如图，AD:DB=1:4，AE:EC=1:5，如果 ABC 的面积是 120，那么 ADE 的面积是多少？【答案】4【分析】简答：由已知条件得AD:AB=1:5,AE:AC=1:6,利用“共角三角形”性质得三角形 AED 的面积是1201516=4.23. 如图，三角形 ABC 面积为 1，延长

16、BA 至 D，使得 DA=AB；延长 CA 至 E，使得 EA=2AC；延长 CB 至 F，使得 FB=3BC，求三角形 DEF 的面积？【答案】7【分析】SADESABC=ADAEABAC=2,SCEFSABC=CECFCACB=34=12,SDBFSABC=DBBFBACB=23=6,SDEF=SADE+SCEF-SDBF-SABC=2+12-6-1=7.24. 如图，在梯形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积为 4.6 平方厘米，BE=EF=FD，求三角形 ABF、CDF、ABD、ACD 的面积【答案】9.2 平方厘米；9.2 平方厘米；13.8 平方厘米；13.8 平方厘米【分析】S

17、ABF:SABE=(ABFB):(ABEB)=2,所以SABF=2SABE=9.2(平方厘米);因为 ABD 和 ACD 同底等高，所以SABD=SACD,因而SCDF=SACD-SAFD=SABD-SAFD=SABF=9.2(平方厘米);SABD:SABE=(ABDB):(ABEB)=3,所以SABD=3SABE=13.8;所以SACD=SABD=13.8(平方厘米).25. 如下图所示，在三角形 ABC 中，已知 BC=6BD、AC=5EC、DG=GH=HE、AF=FG请问三角形 FGH 与三角形 ABC 的面积比为何？【答案】19【分析】根据鸟头模型，SADC=56SABC,SAED=4

18、5SADC,SAGE=23SAED,SGHF=1212SAGE,最后可以得出SGHF=5645231212SABC=19SABC.26. 如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角形 BDE 的面积是多少？【答案】12.5 平方厘米【分析】由于 ABC+DBE=180，所以可以用共角定理，设 AB=2 份，BC=3 份，则 BE=5 份，BD=3+2=5 份，由共角定理SABC:SBDE=(ABBC):(BEBD)=(23):(55)=6:25,设 SABC=6 份，恰好是 3 平方厘米，所以 1 份是 0.5 平方厘米，25 份就是250

19、.5=12.5(平方厘米),三角形 BDE 的面积是 12.5 平方厘米27. 如图所示，在长方形 ABCD 中，DE=CE，CF=2BF，如果长方形 ABCD 的面积为 18，那么 阴影部分的面积是多少？【答案】6【分析】简答：由于长方形 ABCD 的面积为 18，可知三角形 BCD 的面积为 9，三角形 CEF 的面积为三角形 BCD 的面积的1223=13,那么阴影部分的面积是91-13=6.28. 如图，ABC 中，AD:AB2:3，AE:AC4:5，求：AED 的面积是 ABC 面积的几分之几？【答案】815【分析】SADE:SABC=(ADAE):(ABAC)=(24):(35)=

20、8:15,所以 AED 的面积是 ABC 面积的 81529. 已知，AC:AE5:1，BC:CD4:1，BA:BF6:1，那么，DEF 的面积是 ABC 的几分之几？【答案】61120【分析】SAEFSABC=AEAFACAB=1556=16，SBDFSABC=BDBFBCBA=3146=18，SCDESABC=CDCECBCA=1445=15，SDEFSABC=SABC-SAEF-SBDF-SCDESABC=1-16-18-15=61120.30. 如图，ABC 的面积是 36，并且 AE=13AC，CD=14BC，BF=15AB，试求 DEF 的面积【答案】15【分析】详解：由鸟头模型可

21、得，SAEF=364513=485,SBED=361534=275,SCDE=361423=6,SDEF=36-485-275-6=15.31. 如图，已知 AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么 SDEFSABC 等于多少？【答案】61120【分析】设 SABC=1，则根据 悬空=整体-空白,SDEF=SABC-SAEF-SBDF-SDEC现在分别去求 SAEF、SBDF、SDEC，由鸟头定理知道：SAEF=AFABAEACSABC=5615SABC=16SABC同理：SBDF=BFABBDBCSABC=1634SABC=18SABCSDEC=ECACDCBCSABC=4514

22、SABC=15SABC所以：SDEF=1-16-18-15SABC=61120SABC,SDEFSABC=61120.32. 如图，在 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 AD:AB2:5，AE:AC4:7，SADE16 平方厘米，求 ABC 的面积【答案】70 平方厘米【分析】SADE:SABC=(ADAE):(ABAC)=(24):(75)=8:35,因为 SADE=16(平方厘米)，所以 SABC=16835=70(平方厘米)33. 如图，已知 AE=13AC，CD=14BC，BF=15AB，试求 $dfractext三角形$ DEF $的面积text三角形$ ABC $

23、的面积$ 的值？【答案】512【分析】SAEFSABC=AEAFACAB=1435=415，SBDFSABC=BDBFBCBA=1354=320，SCDESABC=CDCECBCA=1243=16，所以SDEFSABC=SABC-SAEF-SBDF-SCDESABC=1-415-320-16=512.34. 如图，长方形 ABCD 的面积是 1，M 是 AD 边的中点，N 在 AB 边上，且 2AN=BN那么，阴影部分的面积是多少？【答案】512【分析】SABD=12，SAMN:SABD=AMAN:ABAD=1:6，SAMN=112，所以阴影部分的面积为 S阴=12-112=51235. 如图

24、，三角形 ABC 的面积为 3，其中 AB:BE2:5，BC:CD3:2，三角形 BDE 的面积是多少？【答案】12.5【分析】BC:BD=3:(3+2)=3:5，SABC:SBDE=(23):(55)=6:25，SABC=256SBDE=2563=12.536. 把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新的四边形 EFGH如果 ABCD 的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少？【答案】65 平方厘米【分析】连接 BD，由共角定理知：SABDSAEH=ABADAEAH=1123=16,SBCDSCFG=BCCDCFCG=1132=16,SAEH+SCFG=6SABCD,同

25、理连接 AC，可得：SBEF+SDGH=6SABCD,所以 SEFGH=(6+6+1)SABCD=135=65cm237. 如图，三角形 ABC 被分成了甲、乙两部分 BD=DC=4,BE=3,AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【答案】5【分析】BD:BC=4:(4+4)=1:2,BE:BA=3:(3+6)=1:3，SBDE:SABC=(11):(32)=1:6，SBDE=16SABC，S四边形ACDE=SABC-16SABC=56SABC，SBDE:S四边形ACDE=16:56=1:538. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF=2CF，三角形 AFE（图中阴影

26、部分）的面积为 8 平方厘米平行四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？【答案】48 平方厘米【分析】SAEF:SABC=(AEAF):(ABAC)=(12):(23)=1:3,SABC=3SAEF=38=24,S四边形ABCD=224=48(平方厘米)39. 如图，在三角形 ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE=13AB，已知四边形 ACDE 的面积是 35，求三角形 ABC 的面积【答案】42【分析】SBDE:SABC=(BDBE):(BCBA)=(11):(23)=1:6,则 SBDE=16SABC，S四边形ACDE=SABC-16SABC=56SABC，所

27、以：SABC=3556=4240. 如图所示，在直角三角形 ABC 中，AC 的长 3 厘米，CB 的长 4 厘米，AB 的长 5 厘米，有一只小虫从 C 点出发，沿 CB 以 1 厘米/秒的速度向 B 爬行；另一只小虫从 B 点出发，沿 BA 以 1 厘米/秒的速度向 A 爬行请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置 D、E 与 B 组成的三角形 DBE 是等腰三角形？（请写出所有答案）【答案】2 秒、2013 秒或 3213 秒【分析】设经过了 x 秒，则 BE=x 厘米，CD=x 厘米，两只小虫所在的位置 D、E 与 B 组成的三角形 DBE 是等腰三角形的情况有三种：（1）以 B 为等腰三

28、角形顶角所在的顶点，即 BD=BE（如图 1）这个最好算，BD=4-x，BE=x，故 x=4-x，解得 x=2；（2）以 E 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ED=EB，如图 2，从 E 向 BD 作垂线，垂足为 F，在金字塔 BEFAC 种，BEBA=BFBC，即 x5=BF4，所以 BF=45x利用 CD+DF+FB=4 列出方程 x+45x+45x=4，解得 x=2013；（或者利用 BEF 和 BAC 相似，得 BEBF=54，即 xBF=54，所以 BF=45x）（3）以 D 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ED=DB，如图 3，从 D 向 AB 作垂线，垂足为 F，利用 BFD 和

29、 BCA 相似得 BFBD=45，即 BF4-x=45，所以 BF=45(4-x)利用 BE=2BF 列出方程 x=45(4-x)2，解得 x=3213综上，经过 2 秒或 2013 秒或 3213 秒后，两只小虫所在的位置 D、E 与 B 组成的三角形 DBE 是等腰三角形41. 边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为 ABCD，小正方形为 MNDE，EB 分别交 AC,AD 于 O,H 两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,

30、所以AO:AC=3:8,AH:AD=3:5,SAHO:SADC=9:40.因为SADC=12122=72,所以SAHO=940SADC=94072=16.2.42. 如图所示，正方形 ABCD 边长为 8 厘米，E 是 AD 的中点，F 是 CE 的中点，G 是 BF 的中点，三角形 ABG 的面积是多少平方厘米？【答案】12【分析】连接 AF、EG因为 SCDE=1482=16，根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，SAEF=8，SEFG=8，再根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”

31、，得到 SBFC=16，SABFE=32，SABF=24，所以 SABG=12(平方厘米).43. 如图，在 ABC 中，延长 AB 至 D，使 BD=AB，延长 BC 至 E，使 CE=12BC，F 是 AC 的中点，若 ABC 的面积是 2，则 DEF 的面积是多少？【答案】3.5【分析】因为在 ABC 和 CFE 中，ACB 与 FCE 互补，所以SABCSFCE=ACBCFCCE=2211=41.又因为 SABC=2，所以 SFCE=0.5同理可得 SADF=2，SBDE=3所以SDEF=SABC+SCEF+SDEB-SADF=2+0.5+3-2=3.5.44. 长方形 ABCD 的面

32、积为 36cm2，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【答案】13.5【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH、HC，如下图：可得：SEHB=12SAHB、SFHB=12SCHB、SDHG=12SDHC，而 SABCD=SAHB+SCHB+SCHD=36即SEHB+SBHF+SDHG=12(SAHB+SCHB+SCHD)=1236=18;而 SEHB+SBHF+SDHG=S阴影+SEBF，SEBF=12BEBF=1212AB12BC=1836=4.5.所以阴影部分的面积是：S阴影=18-SEBF=18-4.5=13.5解法二：特殊点法找 H 的特殊点，

33、把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成下图：这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影=SABCD-SAED-SBEF-SCFD=36-121236-12121236-121236=13.5.45. 长方形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【答案】13.5 平方厘米【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH、HC，如下图：可得：SEHB=12SAHB、SFHB=12SCHB、SDHG=12SDHC,而SABCD=SAHB+SCHB+SCHD=36(平方厘米).即SEHB+SBHF+SDHG=12(SAHB+SCHB+SCHD)=1236=18.而SEHB+SBHF+SDHG=S阴影+SEBFSEBF=12BEBF=1212AB12BC=1836=4.5.所以阴影部分的面积是：S阴影=18-SEBF=18-4.5=13.5(平方厘米).解法二：特殊点法找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成下图：这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影7=SABCD-SAED-SBEF-SCFD=36-121236-12121236-121236=13.5