【机构秘籍】小学奥数题库《数论》因数和倍数-倍数-3星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、数论-因数和倍数-倍数-3星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率倍数C1、理解倍数的定义2、能够准确写出一个数的较小的倍数。少考知识提要倍数 定义对于整数 a 和 b，如果 ab，我们就称 b 是 a 的倍数。精选例题倍数 1. 橘子、苹果、梨共有六箱，这六箱水果的重量分别为 15、16、18、19、20、31 千克，其中苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱这箱橘子重 千克【答案】20【分析】因题目中提到“苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱”，这表明除去橘子后，剩下的水果重量恰好等于苹果重量的 3 倍，也就是说重量是 3 的倍数而事实上，在 15、16、18、19、20、31 这六个数中，只

2、有除去 20 后剩下的五个数之和恰好是 3 的倍数，所以这箱橘子重 20 千克 2. 一只小蜜蜂发现了一处蜜源，它立刻回巢招来 10 个同伴，可还是采不完于是，每只蜜蜂回去分头各找来 10 只蜜蜂，大家再接着干，还是剩下很多蜜没有采于是，蜜蜂们又回去叫同伴，每只蜜蜂又叫来 10 个同伴，但仍然采不完蜜蜂们再回去，每只蜜蜂又叫来 10 个同伴这一次，终于把这一片蜜源采完了你来算一算采这块蜜源的蜜蜂一共有 只【答案】14641【分析】每只小蜜蜂每次都叫来 10 只蜜蜂，所以每次新叫来的蜜蜂是原来蜜蜂数目的 10 倍，即每叫一次，蜜蜂数目变为原来的 11 倍，共叫了 4 次现在的蜜蜂共有 11111

3、1111=14641（只） 3. 自然数 1，2，50 中，是 3 的倍数，但不是 2 的倍数的数有 个【答案】8【分析】3 的倍数有 503=162162=8(个)3、9、15、21、27、33、39、45 4. 将 1 从开始到 100 的连续的自然数相乘，得到 123499100记为 100！（读作 100 的阶乘）用 3 除 100！，显然，100！ 被 3 整除，得到一个商：再用 3 除这个商，这样一直用 3 除下去，直到所得的商不能被 3 整除为止，那么，在这个过程中用 3 整除了 次【答案】48【分析】从 1 到 100 里，3 的倍数有 3、6、9、99（根据等差数列）共 33

4、 个；其中 9=33，9 的倍数有 9、18、27、99，共 11 个；27=333，27 的倍数有 27、54、81，共有 3 个；81=3333，1 个；所以，在这个过程中用 3 整除了33+11+3+1=48(次). 5. 有 n 个自然数相加：1+2+n=aaa，那么 a= 【答案】36【分析】1+2+3+n=(1+n)n2=111a，(1+n)n=2337a，a 取 19n 和 n+1 中有一个是 37 的倍数，如果 n=37k，则 37k2+k=6a54，所以 k=1，此时 a 不是整数只有 n+1=37k，则 37k2-k=6a，同样地k只能能取 1，此时 a=6所以 n=36

5、6. 已知 x，y 是大于 0 的自然数，且 x+y=150，若 x 是 3 的倍数，y 是 5 的倍数，则 (x,y) 的不同取值有 对【答案】9【分析】由题意得，x，y 为 3 和 5 的公倍数才符合要求，公倍数有 15、30、45、60、75、90、105、120、135，则共有 9 对不同取值 7. 一个四位数 2abc 扩大 3 倍后，变成了 abc8，这个四位数是 【答案】2856【分析】根据题意，c3 的个位数字是 8，知道 c=6，b3 的个位数字是 6-1=5，所以 b=5，a3 的个位数字是 5-1=4，所以 a=8，因此这个四位数是 2856 8. 将 1 至 8 填入方

6、格中，使得数列 ,9, 从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是 【答案】198【分析】第三个数比第一个数多 9，第四个数比第三个数多 9；若第一个数除以 9 余 a，则第三个数和第四个数也余 a，第五个数则余 2a，五个数总和除以 9 余 4a；而由于1+2+3+9=45是 9 的倍数，易知 a=0，即这五个数都是 9 的倍数；若设第一个数为 18，则这五个数分别为 18，9，27，36，63；6 出现两次不符合要求；若设第一个数为 27，则这五个数分别为 27，9，36，45，81；符合要求所有项之和为27+9+36+45+81=198 9. 某个三位数 ABC

7、 与它的反序数 CBA 相乘，所得乘积的 3 倍是 2010 的倍数，那么 ABCCBA32010= 【答案】508【分析】ABC、CBA 两数中必一个数是 67 的倍数，也必有一个数是 5 的倍数，如果不妨设 ABC 是 67 的倍数情形一 ABC 是 5 的倍数，则只能等于 335，3355333 并不是 2010 的倍数情形二：ABC 不是 5 的倍数，则 CBA 是 5 的倍数且 ABC 是 2 的倍数故 ABC 是 134 的倍数，且 A=5所以 ABC=1344=53610. 有 8 只盒子，每只盒内放有同一种笔8 只盒子所装笔的支数分别为 17 支、23 支、33 支、36 支、

8、38 支、42 支、49 支、51 支在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的 2 倍，铅笔支数是钢笔支数的 3 倍，只有一只盒里放的是水彩笔这盒水彩笔共有 支【答案】49【分析】铅笔数是钢笔数的 3 倍，圆珠笔数是钢笔数的 2 倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的 3+2+1=6(倍)17+23+33+36+38+42+49+51=289，除以 6 余 1，所以水彩笔的支数除以 6 余 1，在上述 8 盒的支数中，只有 49 除以 6 余 1，因此水彩笔共有 49 支11. 给定一个除数（不为 0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足被除数=除数商+余数其中，0余数3）的末两位是 00，因而

9、是 100 的倍数即 (4+n)(n-3)2 是 100 的倍数，所以 (4+n)(n-3) 是 200 的倍数又因为 4+n、n-3 两数互质，因而两个数中必有一个数是 8 的倍数，也必有一个数是 25 的倍数于是有四种情形：8(4+n)25(n-3)，8(n-3)25(4+n)，8(4+n)25(4+n)，8(n-3)25(n-3)每种情形对应的最小 n 的值分别是 28、171、196、203所以所求的最小值是 2815. abc 是三位数，若 a 是奇数，且 abc 是 3 的倍数，则最小是 【答案】102【分析】a 为奇数，且要求最小，则 a=1，b=0又要求为 3 的倍数，则 a+

10、b+c 为 3 的倍数，所以 b=0，c=216. 从 1999 中选出连续 6 个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有 4 个 0，一共有 种选法【答案】17【分析】连续的 6 个自然数中，必有 3 个偶数，这 3 个偶数是 3 个连续偶数，其中至少有 1 个是 4 的倍数，那么这 3 个偶数的积肯定是 24 的倍数，所以任意的连续 6 个自然数的积都是 24 的倍数另外，连续的 6 个自然数中，至少有一个 5 的倍数，至多有两个 5 的倍数：如果其中只有 1 个 5 的倍数，由于末尾要有 4 个 0，那么这个 5 的倍数应是 54 的倍数，即是 625 的倍数，又小于 1000，只能是 625

11、，那么这 6 个数可以是 621626，622627，623628，624629，共 4 种；如果其中有 2 个 5 的倍数，那么只能是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数都是 5 的倍数由于这两个 5 的倍数不可能同时是 25 的倍数，所以其中必有一个是 53=125 的倍数，可能为 125，250，375，500，625，750，875对于其中除 625 外的 6 个数，每个数都可以是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数，所以对这 6 个数，每个数都有 2 种取法，共有 26=12 种取法；而对于 625 来说，与另一个 5 的倍数相乘，将会是 55 的倍数，要想使末尾恰有 4 个 0

12、，则这连续 6 个自然数的乘积要是 24 的倍数但又不是 25 的倍数检验 620625 和 625630 这两组的连续 6 个自然数，后者满足题意，前者则不合题意所以有 2 个 5 的倍数的情况下共有 12+1=13 种选法根据加法原理，共有 4+13=17 种选法小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉 625630 这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是 2 比 5 多的情况，所以对于 2 比 5 少的可能性根本不予考虑17. 2011年3月11日，日本发生里氏 9 级大地震在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生 5 级地震已知里氏地震级数每升 2 级，地震释放能量扩大到

13、原来的 1000 倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月15日东海岸地震的 倍【答案】1000000【分析】10001000=100000018. 阿凡达有一个出了故障的计算器当打开电源时，视窗上显示数字 0如果按下“+”键则它会加上 51；按下“-”键则它会减去 51；按下“”键则它会加上 85；按下“”键则它会减去 85；而其他的按键则无效阿凡达打开计算器电源，任意操作上述按键，那么他可以得到最接近 2010 的数是 【答案】2006【分析】该题关键在于发现 51 与 85 均为 17 的倍数，因为初始显示是 0，那么不管怎么按 +,-, 四个按键，得到的一定是 17 的倍数，而最接近

14、2010 的 17 的倍数为 2006，并且 2006=17118 是可以操作出来的如按 23 次“”键，再按一次“+”键19. （1）11000 中有 个 3 的倍数（2）1100 中有 个是 2 的倍数也是 3 的倍数的数【答案】（1）333；（2）67【分析】（1）高斯记号作为“记号”的应用实例，10003=333；（2）2 的倍数的个数：1002=50; 3 的倍数的个数：1003=33; 6 的倍数的个数：1006=16;所以50+33-16=67.20. 某班共有 30 名学生去看电影，他们的学号依次为 1,2,30；他们手中的电影票恰好为某排的 1 号，2 号，30 号现在按如下

15、要求将电影票发给这些同学：对 于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除那么电影票共有 种不同的发放方式【答案】48【分析】1 号学生有 29 人是其倍数，故 1 号学生只能拿 1 号电影票；2 号学生有 14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；4 号学生有 6 人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；7 号学生有 3 人是其倍数，故

16、 7 号学生只能拿 7 号电影票；8 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 2 人是其倍数，综上，8 号学生只能拿 8 号电影票；9 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，还不能是 6，同时有 2 人是其倍数，综上，9 号学生只能拿 9 号电影票；10 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 2 人是其倍数，综上，10 号学生只能拿 10 号电影票；12 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，12 号学生只能拿 12 号电影票；同时 24 号学生只能

17、拿 24 号电影票；14 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 7 号学生（7）的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，14 号学生只能拿 14 号电影票；同时 28 号学生只能拿 28 号电影票；15 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 1 人是其倍数，综上，15 号学生只能拿 15 号电影票；同时 30 号学生只能拿 30 号电影票；之后的数，2,9=18，18 必拿 18 号，同时是 9 的倍数的 27 号只能拿 27；20=4,5，20 必拿 20；21=3,7，21 必拿 21 号；24=3,8，24 必拿 24，同时是 8的倍数的

18、 16 号只能拿 16；28=4,7, 28 必拿 28；30=5,6, 30 必拿 30，同时是 5 的倍数的 25 号只能拿 25 号目前还没有确定的数有：11、22、13、26、17、19、23、29 号11、22 互为一组成倍数，13、26 亦互为一组成倍数，有两种拿法：11 号拿 11，22 号拿 22，13 号拿 13，26 号拿 26；或 11 号拿 13，22 号拿 26，13 号拿 11，26 号拿 2217、19、23、29 是大质数，没有限制，可随意拿，有 A44=24(种) 拿法故共有 224=48(种) 拿法21. 非零数字 a，b，c 能组成 6 个没有重复数字的三

19、位数，且这 6 个数的和是 5994，则这 6 个数中的任意一个数都 被 9 整除（填”能”或“不能”）【答案】不能【分析】a，b，c 组成的所有三位数都是由 a，b，c 三个数字组成，且 a，b，c 在个位、十位、百位都出现两次，所以和应该为：(a+b+c)21+(a+b+c)210+(a+b+c)2100=5994,a+b+c=27,a=b=c=9,与题意矛盾，故不能22. 用 7、8、9、0 各组成一个四位数，使其是 169 的倍数【答案】7098【分析】7、8、9、0 组成的四位数肯定是 3 的倍数，1693=507，四位数前两位后两位 5:7，枚举可得 709823. 1234567

20、89111112014个1 的各位数字之和为_【答案】18126【分析】123456789 是 9 的倍数，且 123456789111112014个1，所以各位数字之和为20149=1812624. 任意一些末两位是 25 的数相乘，它们的乘积末两位数仍是 25，我们称 25 是“变不掉的两位数尾巴”显然 000 是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”【答案】376，625，000，001【分析】设变不掉的三位数尾巴为 x，则有 x-x2 是 1000 的倍数，即 x(x-1)=2353n（n 为整数），等式左边是一个奇数乘以一个偶数，因此等式右边其中一个是 125 的

21、奇数倍数，另一个是 8 的倍数，且是连续的自然数，因此这两个数分别为 375、376 或 625、624，即“变不掉的三位数尾巴”只能是 376，625，还有 000，00125. 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？【答案】29【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073 写成两个数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，1073=2937，注意到人数是减去 1 是 3 倍数，所以人数是 37 均每人种了 29 棵26. 互为反序的两个自然数的积是 92565，求这两个

22、互为反序的自然数（例如 102 和 201；35 和 53；11 和 11， 称为互为反序的数，但 120 和 21 不是互为反序的数）【答案】165、561【分析】92565=335111117互为反序的两个自然数中，若其中之一为 3 的倍数（或 11 的倍数），另一个也必为 3 的倍数（或 11 的倍数）又因乘积是五位数，所以这两个数是三位数，我们有 92565=(3511)(31711)=165561，于是，这两个数为 165 和 56127. 在下面的乘法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字那么“好棒”所代表的两位数是多少？数好学好=棒棒棒【答案】79【分析】棒棒

23、棒 是 37 的倍数，说明等号左边一定有 37 的倍数，可能是 37 或 74经验证算式只能是 2737=99928. 用 3、4、5、6 各一个组成一个四位数，使其是 56 的倍数【答案】4536【分析】3、4、5、6 组成的四位数肯定是 9 的倍数，569=504，四位数的前两位后两位 5:4，枚举可得 453629. 用 1 到 6 这 6 个数码可以组成 720 个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数【答案】3【分析】数字和是 3 的倍数，123465-123456=9，存在不是 9 的倍数，所以最大公因数为 330. 3 个质数的乘积等于它们的和的 5 倍，求这 3 个质数【答

24、案】2、5、7【分析】其中必有 5，设另外两个数为 a,b 则 ab=a+b+5，经试验只有 27=2+7+531. 在 1、2、3、4、2002、2003 这 2003 个自然数中，（1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是 160 的倍数？（2）写出你所取的所有数【答案】（1）13（2）80,240,400,560,720,880,1040,1200,1360,1520,1680,1840,2000【分析】因为选出的数中任意两个数的和都是 160 的倍数，那么有两种情况，第一种：这些数都是 160 的倍数，第二种：这些数除以 160 的余数都是 80从 12003 之间，满足第

25、一种情况的数共有 2003160=12 个满足第二种情况的数共有 13 个，所以最多为 13 个32. 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到 20 粒如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 2 倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 3 倍那么甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？【答案】24【分析】甲给乙一定数量糖后，甲占总数的 23，乙给甲一定数量后，甲占总数的 34则前后变化 34-23=112又由于前后变化为 2 倍的“同样数量的糖”，所以每次变化 1122=124，所以糖的总数能被 24 整除由于每袋糖不超过 20 粒，则糖的总数不超过 40 粒，又是 24 的倍数

26、，则只能是 2433. 一个五位数恰好等于它各位数字和的 2007 倍，则这个五位数是多少？【答案】36126；54189【分析】这个五位数是 abcde，则 abcde=(a+b+c+d+e)2007因 2007=33223=9223，所以 abcde 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，(a+b+c+d+e) 数字和的可能是：9、18、27、36、45逐一试验数字和是 9，则数是：20079=18063，不符；数字和是 18，则数是：200718=36126，符合；数字和是 27，则数是：200727=54189，符合；数字和是 36，则数是：200736=72252，不符；数字和是

27、 45，则数是：200745=90315，不符34. 有一个三位数等于它的各位数字和的 42 倍，这个三位数是？【答案】756【分析】这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为 A、B、C，先根据这个三位数等于它的各位数字和的 42 倍，100A+10B+C=42(A+B+C)，由 42 是 3 的倍数，可知这个三位数 (100A+10B+C) 是 3 的倍数，根据能被 3 整除的数：各个数位上的数字和能被 3 整除，得出 (A+B+C) 是 3 的倍数，则 42(A+B+C) 是 9 的倍数，所以这个三位数 (100A+10B+C) 是 9 的倍数，再根据能被 9 整除的数：各个数位上的数字

28、和能被 9 整除，得出 (A+B+C) 是 9 的倍数，则方程右边是 27 的倍数，所以这个三位数 (100A+10B+C) 是 27 的倍数，又 100A+10B+C=327(A+B+C)，则这个三位数 (100A+10B+C) 是 2772=378 的倍数，而三位数中是 378 的倍数的数只有 2 个，经过检验，即可得 75635. 小明将 100 枚棋子分成 3 堆，已知第一堆比第二堆的 2 倍还多，第二堆比第三堆的 2 倍也要多，那么第三堆最多有多少枚棋子？【答案】13 枚【分析】设第三堆的棋子数为“1”份，第二堆的棋子数为“2”份多一些，第一堆的棋子数为“4”份多一些，总和为“7”份

29、多一些，为使第三堆尽量多，即找与 100 最接近且是 7 的倍数的数，为 98，但是 98 不行，只能找再小一点的 91，因此第三堆最多有 917=13 枚36. 某车间原有工人不少于 63 人，在 1 月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人 1 人进车间工作现知该车间 1 月份每人每天生产一件产品共生产 1994 件试问：1 月几日开始调进工人？共调进了多少工人？【答案】4【分析】1 月份共有 31 天，所以这个车间的原有工人至少生产出了6331=1953(件)或增加 31 的倍数，但因不超过 1994 件，所以工厂的原有工人生产了 1953 或 1984 件所以，后来调进的工人

30、生产了1994-1953=41(件)或1994-1984=10(件)易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天数 n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数有41=141所以奇约数只有 1 和 41，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式41=20+21所以调入的次数 n=2，第一次调入的人数 x=20，共调进人数x+n-1=20+2-1=21(人)10=25所以奇约数只有 1 和 5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式10=1+2+3+4所以调入的次数 n=4，第一次调入的人数 x=1，共调进人数x+n-1=1+4-1=4

31、(人)所以为：调人 2 天，1 月 30 日开始调入，共调进 21 人；调入 4 天，1 月 28 日开始调入，共调进 4 人37. 一个整数乘以 13 后，乘积的最后三位数是 123这样的整数中最小的是多少？【答案】471【分析】设A=cba,B=123,有cba13=123方法一：123 一定是 13 的倍数，而 13 的倍数满足其后三位与前面隔开，差是 13 的倍数12313=96，那么 6123 一定是 13 的倍数，且为满足条件的最小自然数那么题中所求的最小整数为612313=471方法二：有 A 的个位 a 只能是 1，不然其与 13 的乘积的个位不是 3显然有 A 的个位 1 与

32、 13 相乘过程中进有 1，则 A 的十位 b 乘以 13 得到的数的个位为 2-1=1，显然只有当 b=7 时才能满足此时 A 的十位 7 与 13 相乘过程中进有 9，则 A 的百位 c 乘以 13 得到的数的个位为 (1+10)-9=2，显然只有 c=4于是 417 而乘以 13 后得到的积其最后三位数是 123而这样的数中最小的是 47138. 在算式 1223=3221 的两个方框中填入一个相同的数字，使得等式成立且等式关于等号是对称的【答案】12231=13221【分析】21 有质因数 7，所以 23 应该是 7 的倍数，只能填 1 或 8，经检验，应填 139. 在下面两个算式中

33、，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字“花相似人不同”代表的六位数是多少？年年岁岁=花相似岁岁年年=人不同【答案】968510【分析】第一个算式可以变为“年岁121=花相似”所以 花相似 是 121 的倍数121 的倍数中，三位数有 121、242、363、484、616、737、858、979，共 8 个花相似 中没有重复数字，所以只可能是 605、726、847、968 之一依次验证几种情况，发现：当 花相似 是 968，那么“年岁”为 8，只能分别是 1、8 或 2、4其中 1、8 这种情况与“似”等于 8 矛盾，2、4 这种情况满足要求由第二个算式可以看出，“岁”小于“年

34、”，因此“岁”为 2，“年”为 4第二个算式为 2244=人不同，已经用过的数字有 2、4、6、8、9，所以“人”、“不”、“同”只能在 0、1、3、5、7 中取，只能分别是 5 和 10综上所述，“花相似人不同”所代表的六位数是 96851040. 在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字请问：“数学”所代表的两位数是多少？数数科学=学数学【答案】16【分析】数数 是 11 的倍数，所以 学数学 也是 11 的倍数三位数中满足 学数学 这种形式，又是 11 的倍数的数有 121、242、363、484、616、737、858、979依次验证几种情况，发现：当 学数学

35、 为 616，那么“学”为 6，“数”为 1，“数数科学=学数学”变为“11科6=616”，可知“科”为 5，符合题意其他情况逐一检验，没有符合题目要求的答案，所以“数学”代表的两位数是 1641. 有一根长为 180 厘米的绳子，从一端开始每隔 3 厘米作一记号，每隔 4 厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断问绳子共被剪成了多少段？【答案】90【分析】只需先计算剪了多少刀，再加上 1 即为剪成的段数从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号有 1180，3 的倍数有 1803=60 个，4 的倍数有 1804=45 个，而既是 3 的倍数，又是 4 的倍数的数

36、一定是 12 的倍数，所以这样的数有 18012=15 个注意到 180 厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89,所以绳子被剪成89+1=90(段).42. 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以 3，5，7 之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为 【答案】67【分析】 分析：3 的倍数数字和为 3 倍数且为质数一定为 3； 枚举验证：3 倍数：30、102、120、201、210；原数可能是：10、34、40、67、70（可排除 10 和 40）；该数的 5 倍：170、335、350（可排除 170 和 350）；所以满足条件

37、的两位数为 6743. 在算式“路亨+路亨=刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字已知 刘吉吉 是 8 的倍数，那么四位数 亨吉刘路 是多少？【答案】2417【分析】易知“刘是”1，且“吉”是偶数那么“刘吉吉”可能是 100、122、144、166、188其中只有 144 是 8 的倍数那么算式应该是 72+72=144，要求的四位数是 241744. 有些数既能表示成 5 个连续自然数的和，又能表示成 6 个连续自然数的和，还能表示成 7 个连续自然数的和例如：105 就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；1

38、05=12+13+14+15+16+17+18请问：在 1 至 1000 中一共有多少个满足上述要求的数？【答案】5【分析】一个数能表示成 5 个连续然数的和，则这个数应为 5 的倍数能表示成 6 个连续自然数的和，则这个数应为 3 的倍数，并且商不能为偶数，即这个数不能为 6 的倍数能表示成 7 个连续自然数的和，则这个数应为 7 的倍数所以满足条件的数有 105、315、525、735、945，共 5 个45. 有 9 个分数的和为 1，它们的分子都是 1其中的 5 个是 13，17，19，111，133，另外 4 个数的分母个位数字都是 5请写出这 4 个分数【答案】15，115，145

39、，1385【分析】1-13+17+19+111+133=210133711=1010335711.需要将 1010 拆成 4 个数的和，这 4 个数都不是 5 的倍数，而且都是 33711 的约数因此，它们可能是 3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693经试验得693+231+77+9=1010.所以，其余的 4 个分数是：15，115，145，138546. 巧克力每盒 9 块，软糖每盒 11 块要把这两种糖分发给一些小朋友，每样糖每人一块由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖发的盒数就一样多现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒问最后共有小朋友多少人？【答案

40、】46【分析】没有加小朋友时，软糖全部发完，所以原来小朋友的人数是 11 的倍数；又来了一个小朋友时，巧克力全部发完，所以原来小朋友人数加 1 是 9 的倍数而 44 是满足此条件的最小数，且满足原来软糖比巧克力少一盒的条件因此，原来小朋友有 44 人，最后有 46 人47. 若干个连续自然数 1，2，3 的乘积的末尾有 13 个 0，这些自然数中最大是？【答案】59【分析】每个因数 5，与偶数的乘积，会在末尾增加 1 个 0，连续自然数，偶数足够多，只需要考虑因数 5 的个数末尾有 13 个 0，那么就要有 13 个因数 5，每 5 个连续自然数，至少含有一个因数 5，135=65，即 16

41、5 中 5 的倍数有 655=13 个，25 的倍数有 25 和 50 这 2 个，一共有 13+2=15 个因数 5，所以要去掉 65 和 60，那么最大的一个自然数就是 5948. 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有多少个？【答案】228【分析】1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有 200815=133 个，3 和 7 的倍数有 200821=95 个，5 和 7 的倍数有 200835=57(个)，3、5 和 7 的倍数有 2008105=19 个，所以，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的共有 133-

42、19+95-19+57-19=228 个49. 三个连续自然数依次是 13、11、7 的倍数，那么这三个连续自然数之和 最小为多少？【答案】627【分析】详解：一个数满足：是 13 的倍数，且加 1 后是 11 的倍数，那么这个数最小是 65，下一个是 65+143=208，而 209、210 分别是 11、7 的倍数，所以最小是 208+209+210=62750. 100 以内 12 的倍数有哪些？100 以内 18 的倍数有哪些？公共的倍数有哪些？最小的是多少？【答案】36【分析】12 的倍数 12，24，36，48，60，72，84，96 18 的倍数 18，36，54，72，90公共

43、的倍数有 36，72最小的是 3651. 50 名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按 1，2，3，49，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学还有多少名？【答案】38【分析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是 4 的倍数，又不是 6 的倍数；第二类是标号既是 4 的倍数又是 6 的倍数 150 之间，4 的倍数有504=12,6 的倍数有506=8,即是 4 的倍数又是 6 的倍数的数一定是 12 的倍数，所以有5012=4.于是，第一类同学有50-12-8+4=34(人),第二类同学有 4

44、 人，所以现在共有 34+4=38 名同学面向老师52. （1）“速算巧算=好好好”在上面的乘法算式中，不同的字母表示不同的数字，相同的字母表示相同的数字那么“速+巧+算+好”之和等于多少？（2）下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字已知 BAD 不是 3 的倍数，GOOD 不是 8 的倍数，那么 ABGD 代表的四位数是多少？BAD+BADGOOD【答案】（1）21；（2）3810【分析】（1）好好好=好111=好337，100 以内 37 的倍数只有 37 和 74，所以“速算”或“巧算”中必有 1 个是 37 或 74，判断出“算”是 7 或 4

45、若 算=7，则 好=9，99937=27，所以，速+巧+算+好=3+2+7+9=21.若 杯=4，则 好=6，66674=9，不是两位数，不符合题意速+巧+算+好=3+2+7+9=21.（2）首先可以确定 D 的值一定是 0，G 的值一定是 1，所以GOO=BA+BA,可见 GOO 为偶数，只能是 122、144、166、188，由于 BAD 不是 3 的倍数，GOOD 不是 8 的倍数，所以 GOO 不是 3 的倍数，也不是 4 的倍数，可以排除 144 和 188，再检验 122 和 166 可知只有 166 符合，此时 BAD 为 830，所以 ABGD 的值为 381053. 一个自然

46、数，它与 99 的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小自然数【答案】2312【分析】积是 99 的倍数，所以积的数字和是 9 的倍数，且注意到积的数字和是偶数，奇位和是偶数，偶位和也是偶数，那么积的数字和最小是 36，奇位和与偶位和都是 18为使乘积小，乘积的位数应该尽可能少，所以要尽可能多的用 8，18=2+8+8，所以乘积最小是 228888，那么乘数的最小值为 22888899=231254. 有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是 3 的倍数或 4 的倍数，其中标有 3 的倍数的卡片占 23，标有 4 的倍数的卡片占 34，标有 12 的倍数的卡片有 15 张那么，这些卡片一共有多

47、少张？【答案】36【分析】设这些卡片的总数为“1”，而标有 12 的倍数的卡片既属于 3 的倍数又属于 4 的倍数所以有“2”3+“3”4-15=“1”,解得“1”对应 36 张即这些卡片一共有 36 张55. 由数字 a、b、c 各一个可以组成六个不同的三位数，其中五个三位数的和是 2075，那么 a+b+c 是多少？【答案】10【分析】这六个数分别为 abc、acb、bac、bca、cab、cba，这六个数的和是 222(a+b+c)，所以 2075 加上另外那个三位数后应该是 222 的倍数，可能的 222 的倍数有 22210=2220、22211=2442、22212=2664、22

48、213=2886，对应的另外那个三位数是 145、367、589、811因为 1+4+5=10，符合；3+6+711，排除；5+8+912，排除；8+1+113，排除所以 a+b+c 是 1056. 一个三位数恰好等于它各位数字和的 27 倍，则这个三位数是多少？【答案】243；486【分析】这个四位数是 abc，则 abc=(a+b+c)27因 27=333=93，所以 abc 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，(a+b+c) 数字和的可能是：9、18、27、36、45逐一试验数字和是 9，则数是：279=243，符合；数字和是 18，则数是：2718=486，符合；数字和是 27，

49、则数是：2727=729，不符；57. 求最小的正整数 n，使得 2006+7n 是完全平方数【答案】29【分析】452=2025，2025-2006=19 不是 7 的倍数462=2116，2116-2006=110 不是 7 的倍数472=2209，2209-2006=203 是 7 的倍数，商为 29因此满足条件的最小的正整数 n 为 2958. 数数科学=学数学在上面的算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么“数学”所代表的两位数是多少？【答案】16【分析】“学数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与 11 的倍数学数学=学101+数10 是“数”的倍数，而 101 是

50、质数，所以“学”一定是“数”的倍数又“学数学”是 11 的倍数，因而：“学+学-数” 为 11 的倍数因为“学”是“数”的倍数，从上式推出“数”是 11 的约数，所以 “数”=1，“学”=(11+1)2=6“数学”所代表的两位数是 1659. 恰好能同时被 4、5、6 整除的三位数有多少个？【答案】15【分析】4,5,6 的最小公倍数是 60，三位数中 60 的倍数有 99960-115 个60. 有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数？【答案】401【分析】由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5

51、 的余数之和再除以 5 的余数所以这串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数由于 20095=4014，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数61. 有 3 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除请问：满足上述条件的 3 个自然数之和最小是多少？【答案】31【分析】先证明这 3 个数每个都至少含有 2 种质因数证法一：假设这三个数为 A、B、C，其

52、中 A 只有一种质因数 p，那么 B 不可能只有质因数 p，否则 B 和 A 必定是倍数关系，同理，C 也不可能只有质因数 p根据 CAB，假设 C 有除 p 以外其他质因数 q，可以得到 qB，同理，C 所有除了 p 以外的质因数都是 B 的质因数；再根椐 BCA，同理得，B 所有除了 p 以外的质因数也是 C 的质因数，那么 B、C 必定是倍数关系，与题意矛盾所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至少含有 2 种质因数证法二：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，设 A=pa因为 ABC，所以乘积 BC 中一定含有质因数 p；但 A 不能整除 B，

53、也不能整除 C，说明 B、C 中都含有 p，且次数都低于 a；又 B 不能整除 A，C 也不能整除 A，所以 B、C 中都含打除了 p 以外的质因数，设 B=bpb，C=cpb，其中 b 表示 B 分解质因数后不包含 p 的部分，c 同理因为 BAC，所以 bc；同理，因为 CAB，所以 cb，说明 c=b，那么 B 和 C 是倍数关系，与题意矛盾所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至少含行 2 种质因数若这三个数里一共恰有 2 种质因数，最小为 2 和 3，最小符合题意的情况是 2232、233、233，和为 36+54+24=114；若这三个数里一共恰有 3 种质因

54、数，最小为 2、3、5，最小符合题意的情况是 23、25、35，和为 6+10+15=31；若这三个数里一共恰有 4 种质因数，最小为 2、3、5、7，在不考虑题意的情况下，3 个不同的各含两种质因数的数最小是 23、25、27，和为 30，但这组不符合题意，很明显如果要符合题意，和肯定大于 31；若这三个数里一共恰有 5 种质因数，最小为 2、3、5、7、11，在不考虑题意的情况下，3 个不同的各含两种质因数的数最小是 27、211、35，和为 51，大于 31；很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于 31；综上，满足上述条件的 3 个自然数之和最小是 3162. 4 个连

55、续的自然数，从小到大依次是 11 的倍数、7 的倍数、5 的倍数、3 的倍数，求这 4 个自然数的和的最小值【答案】1458【分析】方法一：设这 4 个连续的自然数为 a、a+1、a+2、a+3根据题意，a+3 是 3 的倍数，所以，a 也是 3 的倍数，而 a 是 11 的倍数，则 a 是 33 的倍数又因为第三个数 a+2 是 5 的倍数，个位为 0 或者 5，则第一个数 a 的个位应该为 3 或者 8又 a 是 33 的倍数，a 最小为331=33,后面的数为 34、35、36，而 34 不是 7 的倍数，排除a 可以为336=168,后面的数为 169、170、171，而 169 不是

56、 7 的倍数，排除a 可以为3311=363,后面的数为 364、365、366，验证，符合所以，这 4 个自然数的和的最小值是363+364+365+366=1458.方法二：设这 4 个自然数分别为 11a、11a+1、11a+2、11a+311a+1 是 7 的倍数，那么 11a7 余 6，则 a7 余 511a+2 是 5 的倍数，那么 11a5 余 3，则 a5 余 311a+3 是 3 的倍数，那么 11a3 无余数，则 a3 无余数符合条件的 a 最小为57-2=33.则11a=1133=363.这 4 个自然数为 363、364、365、366所以和的最小值363+364+36

57、5+366=1458.63. 如图，点 B 是正方形一条边上的四等分点连结 AB、BC，点 D、E 又是 AB、BC 的四等分点，连结 CD、DE如果正方形边长为 24 厘米，那么：（1）三角形 ABC 的面积是多少？（2）三角形 CDE 的面积是多少？【答案】（1）288 平方厘米；（2）162 平方厘米【分析】（1）ABC 的面积是正方形面积的一半，即2422=288(平方厘米);（2）BCD 的面积是 ABC 面积的 34，即34288=216(平方厘米);CDE 的面积是 BCD 面积的 34，即34216=162(平方厘米).64. 从 110 这 10 个自然数中，每次取出两个不同

58、的自然数，使它们的和是 5 的倍数一共有多少种不同的取法？【答案】9【分析】从 110 这 10 个自然数中，每次取出两个不同的自然数有 1092=45 种，和是 5 的倍数有三类可能，第一类，和是 5，有 1+4，2+3；第二类，和是 10，是 5 的 2 倍数，有 1+9，2+8，3+7，4+6；第三类，和是 15，是 5 的 3 倍数，有 5+10，6+9，7+8，把它们的数加起来共 9 种65. 4 个质数的乘积等于它们的和的 11 倍，求这 4 个质数【答案】2、2、5、11【分析】其中必有 11，设另外三个数为 a,b,c 则 abc=a+b+c+11，经分析必有 2 个偶数，所以

59、为 2、2、566. 有一个长长的纸条，里面有 37 个方格，要求在每个方格里填入一个自然数，从 1 到 37，既不重复，也不遗漏但数字不能随便乱填，有一项特殊要求：第 1 个数能被第 2 个数整除，第 1 个数与第 2 个数之和能被第 3 个数整除；第 1、2、3 个数之和能被第 4 个数整除， 这个规律一直要保持下去，直到前面 36 个数的和能被最后一个数整除为止37?如果第一个方格内已填入 37，那么最后一个方格中填几？【答案】19【分析】因为题目要求前面 36 个数的和能被最后一个数整除，而1+2+36+37=11937.假设最后一个数填 n，那么，前面 36 个数的和等于：11937

60、-n，所以，为了让前面 36 个数的和 11937-n 能被最后一个数整除，就要求 11937 中含有 n，这样，最后一格可填 1 或 19 或 37但第一个数已经填了 37，而且第一个数能被第二个数整除，这样，第二个数只能填 1所以，最后一个方格中的可填的数是只能是 1967. 小高往一个水池里扔石子第一次扔 1 颗石子，第二次扔 2 颗石子，第三次扔 3 颗石子，第四次扔 4 颗石子他准备扔到水池的石子总数是 106 的倍数请问：小高最少需要扔多少次？【答案】52 次【分析】小高扔的石子数为 n(n+1)2，而 106=253，因此 n 或 n+1 其中有一个应是 53 或 53 的倍数，

61、当 n=52 时，满足石子数是 106 的倍数因此小高至少需要扔 52 次68. 一个四位数恰好等于它各位数字和的 207 倍，则这个四位数是多少？【答案】3726；5589【分析】这个四位数是 abcd，则 abcde=(a+b+c+d)207因 207=3323=923，所以 abcd 是 9 的倍数，则数字和也是 9 的倍数，(a+b+c+d) 数字和的可能是：9、18、27、36、45逐一试验数字和是 9，则数是：2079=1863，不符；数字和是 18，则数是：20718=3726，符合；数字和是 27，则数是：20727=5589，符合；数字和是 36，则数是：20736=7452

62、，不符69. 一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的 6 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数？【答案】71【分析】设这个六位数为 abcdef，则有 (a+c+e)、(b+d+f) 的差为 0 或 11 的倍数且 a、b、c、d、e、f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数先考虑 a、c、e 偶数位内，b、d、f 奇数位内的组内交换，有 A33A33=36(种) 顺序；再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 A33A33=36(种) 顺序所以，用均不为 0 的 a、b、c、d、e、f 最少可以排出 36+36

63、=72(个) 能被 11 整除的数（包含原来的 abcdef）所以最少还能排出 72-1=71(个) 能被 11 整除的六位数70. 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组，已知老师和学生共种树 312 棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵，问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【答案】51，6【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过 10 所以通过枚举法来解（注意人数是减去 1 后是 3 的倍数）：1312，312-1=311 不是 3 的倍数；2156，156-1=155 不是 3 的倍数；3104，104-1=103 不是 3 的倍数；

64、478，78-1=77 不是 3 的倍数；652，52-1=51 是 3 的倍数；839，39-1=38 不是 3 的倍数；共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树71. 用 0 至 9 这十个数字各 1 次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各 1 个，并使这四个数两两互质已知组成的四位数是 1860，那么其他的三个数是多少？【答案】7；43；529【分析】1860=223531，一位数只能是 7，另外两个数的末位只能是 3 和 9剩下的数字之和除以 3 余 2，只能拆成两个数除以 3 余 1 的组合，所以 4 和 2、5 是分成两组，49 是 7 的倍数，所以两位数只能是 43，259 是

65、 7 的倍数，所以三位数只能是 52972. 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被 120 整除这个正整数最小是多少？【答案】117【分析】先将 120 分解质因数 120=2335，设这个数为 A，依题意得后来的两个数分別是 A+75 和 A+48，这两个数相差 (A+75)-(A+48)=27因为 27 是 3 的倍数，所以 A+75 和 A+48 除以 3 的余数相同；因为 (A+75)(A+48) 是 120 的倍数，所以 A+75 和 A+48 都是 3 的倍数因为 27 不是 5 的倍数，所以 A+75 和 A+48 中只有 1

66、 个是 5 的倍数；因为 27 和 8 互质，所以 A+75 和 A+48 中只有 1 个是 8 的倍数；又因为 A+75 和 A+48 都不是 120 的倍数，所以不可能有一个数既是 5 的倍数也是 8 的倍数，说明 A+75 和 A+48 中一个是 5 的倍数，另一个是 8 的倍数综上，A+75 和 A+48 中一个是 15 的倍数，另一个是 24 的倍数若 A+75 是 15 的倍数A+48 是 24 的倍数，则很明显 A 既是 15 的倍数又是 24 的倍数，最小是 120；若 A+75 是 24 的倍数，A+48 是 15 的倍数，则 A2421,A1512, 所以 A 最小是 11

67、7所以这个正整数最小是 11773. 在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个？【答案】686【分析】11000 之间，5 的倍数有 10005=200 个，7 的倍数有 10007=142 个，因为既是 5 的倍数，又是 7 的倍数的数一定是 35 的倍数，所以这样的数有 100035=28 个所以既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有1000-200-142+-28=686(个).74. 在游艺会上，有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下： 标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔； 标签号为

68、 3 的倍数，奖 3 支铅笔； 标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖； 其他标签号均奖 1 支铅笔那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？【答案】232【分析】1 100，2 的倍数有 1002 = 50，3 的倍数有 1003=33 个，因为既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数一定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有 1006=16 个于是，既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数的数在 1100 中有100-50-33+16=33.所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：502+333+331=232(支).75. 猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候，发现与案件有关

69、的一个保险箱设有一个六位数的密码是：ABCDEF他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A 是 5 的最大因数，B 的所有因数是 1，2，4，8，C 是最小的自然数D 只有一个因数，E 既是质数，又是偶数，F 既是 9 的因数又是 9 的倍数你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什么？【答案】580129；理由见解析【分析】A 是 5 的最大因数，因为 5 的最大因数是 5，所以 A 是 5；B 的所有因数是 1，2，4，8，根据一个数最大的因数是它本身，可知 B 是 8；C 是最小的自然数，最小的自然数是 0，所以 C 是 0；D 只有一个因数，是

70、1；E 是 2；F 既是 9 的因数又是 9 的倍数，所以 F 是 9；由此即可写出答案76. 一个正整数 n，它是 75 的倍数，并且有 75 个因数，求 n75 的最小值【答案】432【分析】把 75 分解质因数 75=352，所以 n 必含有质因数 3、5，且质因数 5 的个数至少为 2根据约数个数公式75=355=(2+1)(4+1)(4+1),即知，n 含有 3 个不同质因数，次数分别为 2、4、4 次所以 n 可表达为：n=x2y4z4，要使 n 最小，显然 x=5，y=3、z=2，即n=523424=258116=32400,n75=503324=3324=432.77. （1）1100 中有 个是 3 的倍数也是 5 的倍数的数（2）计算 15+25+35+195+235【答案】（1）47；（2）9.2【分析】（1）3 的倍数的个数：1003=33;5 的倍数的个数：1005=20;15 的倍数的个数：10015=6;所以33+20-6=47.（2）一共有235=43.原式=(0.2+0.4+0.6+0.8+0)4+0.2+0.4+0.6=9.2.