【机构秘籍】小学奥数题库《数论》整除-整除的基本概念-4星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、数论-整除-整除的基本概念-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率整除的基本概念A1、了解整除的定义。2、会判定一个数能不能被另一个数整除。少考知识提要整除的基本概念 定义如果整数 a 除以整数 b（b 0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除 a ，记作 ba 注意：如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除a 整除的性质性质1：如果 a、b 都能被c 整除，那么它们的和与差也能被c 整除。性质2：如果b 与c 的积能整除a ，那么b与c都能整除a 。性质3：如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的

2、积能整除a 。性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。精选例题整除的基本概念 1. 在 3 和 5 之间插入 6、30、20 这三个数，得到 3、6、30、20、5 这样一串数其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3+6=9，9 可以整除 36；再如，6+30=36，36 可以整除 630）请你在 4 与 3 这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积4、 、 、 、3【答案】4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】设 4,a,b,c,3 成立，则 4a4+a=n,3c3+c=m（m、n）是

3、非零整数由倒数的意义可知： 4+a4a=1n，则 44a+a4a=1n，1a+14=1n，1a=1n-141n14，则 n=3,n=2当 n=3，1a=13-14=112,a=12；当 n=2，1a=12-14=14,a=4 3+c3c=1m，则 33c+c3c=1m，1c+13=1m，1c=1m-131m13，则 m=2，当 m=2 时，1c=12-13=16，c=6 设 cbc+b=k，则 c+bcb=1k，可得 1c+1b=1k，1b=1k-16，k 可取（2、3、4、5）当 k=2 时，1b=12-16=13，b=3；k=3 时，1b=13-16=16，b=6；k=4 时，1b=14-

4、16=112，b=12；k=5 时，1b=15-16=130，b=30经检验有下面的三组解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3 2. 给定一个除数（不为 0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足被除数=除数商+余数其中，0余数N请问：（1）如果 M 和 N 的最大公约数是 7，求 M；（2）如果 M 和 N 的最大公约数是 21，求 M【答案】（1）952；（2）861【分析】（1）设这两个三位数分别为 M=abc、N=cba（MN），那么 7M-N=99(a-c)，所以 a=8,c=1, 或 a=9,c=2, 经枚举验证只有 M=952 时符合最大公约数

5、是 7（2）设这两个三位数分别为 M=abc、N=cba(MN)，那么 7M-N=99(a-c)，所以 a=8,c=1, 或 a=9,c=2, 经枚举验证只有 M=861 时符合最大公约数是 21 6. 定义运算“”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 ab比如：10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 1014=70-2=68（1）求 1221，515；（2）说明，如果 c 整除 a 和 b，则 c 也整除 ab；如果 c 整除 a 和 ab，则 c 也整除 b；（3）已知 6x=27，求 x 的值【答案】（1）81；10；（2）见解析；（3

6、）x=15【分析】（1）为求 1221，先求出 12 与 21 的最小公倍数和最大公约数分别为 84，3，因此 1221=84-3=81，同样道理 515=15-5=10（2）如果 c 整除 a 和 b，那么 c 是 a 和 b 的公约数，则 c 整除 a,b 的最大公约数，显然 c 也整除 a,b 最小公倍数，所以 c 整除最小公倍数与最大公约的差，即 c 整除 ab如果 c 整除 a 和 ab，由 c 整除 a 推知 c 整除 a,b 的最小公倍数，再由 c 整除 ab 推知，整除 a,b 的最大公约数，而这个最大公约数整除 b，所以 c 整除 b（3）由于运算“”没有直接的表达式，解这个

7、方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围因为 6 与 x 的最小公倍数不小于 27+1=28，不大于 27+6=33，而 28 到 33 之间，只有 30 是 6 的倍数，可见 6 和 x 的最小公倍数是 30，因此它们的最大公约数是 30-27=3由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积 = 这两个数的积”，得到 303=6x所以 x=15 7. 试求不大于 100，且使 3n+7n+4 能被 11 整除的所有自然数 n 的和【答案】1480【分析】通过逐次计算，可以求出 3n 被 11 除的余数，依次为：31 为 3，32 为 9，33 为 5，34 为 4，35 为 1，因而 3n 被 1

8、1 除的余数 5 个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；类似地，可以求出 7n 被 11 除的余数 10 个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，；于是 3n+7n+4 被 11 除的余数也是 10 个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；这就表明，每一个周期中，只有第 3、4、6 个这三个数满足题意，即 n=3,4,6,13,14,16,93,94,96 时 3n+7n+4 能被 11 整除，所以，所有满足条件的自然数 n 的和为：3+4+6+13+14+16+93+94+96=13+43+283=1480. 8. 表中第 1 行是把

9、1100 的整数依次全部排列出来，然后从第 2 行起是根据规律一直排到最后的第 100 行请问：这个表中一共有多少个数能被 77 整除？【答案】62【分析】在这个表里，有的数字的正下方写着比它大 4 的数假如，某数字是不能被 77 整除的数字，那么不管它被 4 乘多少回，也不能被 77 整除于是我们得知不能被 77 整除的数字下面写的数字都不能被 77 整除那么，如果某数字是可以被 77 整除，不管乘多少回 4，得出的数字都可以被 77 整除可被 77 整除的数字下面都可以被 77 整除题目的表中从左右两边第 N 个的下面写着 N 个整数表的第一行从右数第 24 个是 77，在它下面写的 24

10、 个整数都可以被 77 整除另外，从左数第二行第 38 个是 38+39=77，所以在它下面写的 38 个整数都可以被 77 整除在表的第一行和第二行里除此之外再没有可以被 77 整除的数了从整个表来看，除了上述的 24+38=62 个以外，再也没有可以被 77 整除的数了，所以答案为 62 9. 有 3 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除请问：满足上述条件的 3 个自然数之和最小是多少？【答案】31【分析】先证明这 3 个数每个都至少含有 2 种质因数证法一：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，那么 B 不可能只有质

11、因数 p，否则 B 和 A 必定是倍数关系，同理，C 也不可能只有质因数 p根据 CAB，假设 C 有除 p 以外其他质因数 q，可以得到 qB，同理，C 所有除了 p 以外的质因数都是 B 的质因数；再根椐 BCA，同理得，B 所有除了 p 以外的质因数也是 C 的质因数，那么 B、C 必定是倍数关系，与题意矛盾所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至少含有 2 种质因数证法二：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，设 A=pa因为 ABC，所以乘积 BC 中一定含有质因数 p；但 A 不能整除 B，也不能整除 C，说明 B、C 中都含有 p，且次数

12、都低于 a；又 B 不能整除 A，C 也不能整除 A，所以 B、C 中都含打除了 p 以外的质因数，设 B=bpb，C=cpb，其中 b 表示 B 分解质因数后不包含 p 的部分，c 同理因为 BAC，所以 bc；同理，因为 CAB，所以 cb，说明 c=b，那么 B 和 C 是倍数关系，与题意矛盾所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至少含行 2 种质因数若这三个数里一共恰有 2 种质因数，最小为 2 和 3，最小符合题意的情况是 2232、233、233，和为 36+54+24=114；若这三个数里一共恰有 3 种质因数，最小为 2、3、5，最小符合题意的情况是 23

13、、25、35，和为 6+10+15=31；若这三个数里一共恰有 4 种质因数，最小为 2、3、5、7，在不考虑题意的情况下，3 个不同的各含两种质因数的数最小是 23、25、27，和为 30，但这组不符合题意，很明显如果要符合题意，和肯定大于 31；若这三个数里一共恰有 5 种质因数，最小为 2、3、5、7、11，在不考虑题意的情况下，3 个不同的各含两种质因数的数最小是 27、211、35，和为 51，大于 31；很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于 31；综上，满足上述条件的 3 个自然数之和最小是 3110. 在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字 0，得到一个

14、三位数（例如 21 变成了 201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除请问：所有满足条件的两位数之和是多少？【答案】528【分析】设满足条件的两位数为 ab，则按题意插入一个数字 0 后的三位数是 a0b依题意有 aba0b，按位置原理展开得10a+b100a+b,整理得10a+b90a+(10a+b),推出10a+b90a;或者整理得10a+b10(10a+b)-9b,推出10a+b9b.因为 9b 比 90a 相对较小，所以考虑 10a+b9b，但发现也不好分析，所以变为 ab9b若 b 取 0 时，ab 取 10，20，90 均可；若 b 取 1 时，ab 没有符合的情况；依次讨论

15、得到 ab 可以为 10，20，30，90，15，45，18，和为 52811. 小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是 1 分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以 3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是 99 的倍数，那么他们至少玩了多少局？【答案】9【分析】设小明和小华最后的分数分别为 3a 和 3b，其中 ab，所以 993a-3b=3b3(a-b)-1因为 3(a-b)-1 和 3 互质，所以 b 最小为 2 且有 113(a-b)-1，经尝试，a-b 最小为 5 的时候符合，所以小华最少玩了 2 局，小明 7 局，一共 9 局12. 请找出符合下列性质的四

16、位数：（1）它是一个平方数；（2）开始两位的数字要相同；（3）最末两位的数字要相同【答案】7744【分析】设四位数为 aabb因 aabb=1000a+100a+10b+b=11a0b，要 aabb 是完全平方数，则 a0b能被质数11 整除，故 a+b=11，a0b 只能是 902，803，704，605，506，407，308，209由于 a0b 被 11 除的商必须是完全平方数，只有 704 符合此时 a=7，b=4，故所求的数为 774413. 六位数 2008 能被 99 整除， 是多少？【答案】71【分析】方法一：200008 被 99 除商 2020 余 28，所以 00+28

17、能被 99 整除，商 72 时，9972=7128，末两位是 28，所以 为 71；方法二：99=911，2008 能被 99 整除，所以各位数字之和为 9 的倍数，所以方框中数字的和只能为 8 或 17；又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为 6 或 5，可得 是 7114. （1）不算出结果，判断数 (524+42-429) 是偶数还是奇数？（2）数 (42+30-147) 能被 2 整除，那么， 里可填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？1357911131415.【答案】（1）奇数；（2）1,3,5,7,9；（3）偶数【分析】根据奇偶数的运算性质：（1）因为 524，4

18、2 是偶数，所以 (524+42) 是偶数又因为 429 是奇数，所以 (524+42-429) 是奇数（2）数 (42+30-147) 能被 2 整除，则它一定是偶数因为 147 是奇数，所以数 (42+30) 必是奇数又因为其中的 30 是偶数，所以，数 42 必为奇数于是， 里只能填奇数 1，3，5，7，9（3）1，3，5，7，9，11，13，15 都是奇数，由 13 为奇数，推知 135 为奇数 推知 13579111315 为奇数因为 14 为偶数，所以 (13579111315)14 为偶数，即 1357911131415 为偶数15. 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一

19、个新的 4 位数再将新的 4 位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的 4 位数与最原先的 4 位数的和是以下 5 个数的一个： 9865； 9867； 9462； 9696； 9869这两个 4 位数的和到底是多少？【答案】9696【分析】设这个 4 位数是 abcd，则最新的 4 位数是 cdab两个数的和为abcd+cdab=1010a+101b+1010c+101d,是 101 的倍数在所给的 5 个数中只有 9696 是 101 的倍数，故正确的答案为 969616. 在 1、2、3、42007 这 2007 个数中有多少个自然数 a 能使 2008+a 能被 2007

20、-a 整除【答案】7【分析】要使得 2008+a 能被 2007-a 整除，我们可以将条件等价的转化为只要让 2008+a2007-a 是一个整数即可下面是一个比较难的技巧，我们知道若 a 可以使得 2008+a2007-a 是一个整数，那么 a 也同样可以使得 2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a 是一个整数，这样只要 2007-a 是 4015 的约数即可，将 4015 分解可知其共有 8 个因数，其中 4015 是最大的一个，但是显然没有可以让 2007-a 等于 4015 的 a 的值，其余的 7 个均可以有对应的 a 的值，所以满

21、足条件的 a 的取值共有 7 个17. 有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号，1 号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除1 号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你 1 号写的数是五位数，请找出这个数【答案】（1）8 和 9；（2）60060【分析】（1）为了表达方便，不妨设 1 号同学写的自然数为 a根据 215 号同学所述结论，215 中只有两个连续的自然数不能整除 a，其他的数都能整除 a由于 27 中的每一个数的 2 倍都在 15 以内，如果

22、 27 中有某个数不能整除 a，那么这个数的 2 倍也不能整除 a，然而 27 中的这个数与它的 2 倍不可能是两个连续的自然数，所以 27 中每一个数都是 a 的约数由于 2 与 5 互质，那么 25=10 也是 a 的约数同理可知，12、14、15 也都是 a 的约数还剩下的四个数为 8、9、11、13，只有 8、9 是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编号分别是 8 和 9（2）1 号同学所写的自然数能被 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15 这 12 个数整除，也就是它们的公倍数它们的最小公倍数是：223571113=60060因为 60060 是一

23、位五位数，而这 12 个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数 60060 的倍数，且最小为 2 倍，所以均不是五位数，那么 1 号同学写的五位数是 6006018. 我们将具有如下性质的自然数 K 称为“高思数”：如果一个整数 M 能被 K 整除，则把 M 的各位数字按相反顺序重写时所得到的数也能被 K 整除，请求出所有的“高思数”【答案】1、3、9、11、33、99【分析】易知，1 必为“高思数”；因为一个数反序重写数字和不变，所以 3、9 为“高思数”；因为一个数反序重写奇位和与偶位和之差也不变，所以 11 为“高思数”，由整除规律，33、99 也是“高思数“除此之外，感觉是没有了，下面给出

24、证明引理（可以看做是先证明一个小结论）：对于任意的不含 2 或 5 的正整数 n，形如 1、11、111、1111、的数中一定有无数个是 n 的倍数证明：由于 1,11,111,1111,111n+1个1 这 n+1 个数中一定存在 2 个数关于 n 同余，那么这两个数的差一定是 n 的倍数，而这两个数的差是形如 111a个1000b个0 的数，说明 111a个1 是 n 的倍数，同理可得这里面有无数个数是 n 的倍数首先说明“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9因为，“高思数”肯定不是偶数，否则肯定能得到它的某个倍数的首位是 1，那么这个偶数就无法整除这个倍数的反序数同理，“高思数”的个

25、位数字也不能是 5所以“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9若 K 是“高思数”，根据引理得一定存在某个自然数 l 使得 K111l个1，那么 K777l个7，进一步得 K771l个7000(l-1)个0+771l个7，即 K777(l-2)个784777(l-1)个7，利用“高思数”的性质得 K777(l-1)个748777(l-2)个7，利用整除的性质得 K777(l-2)个784777(l-1)个7-777(l-1)个748777(l-2)个7，即 K99000(l-2)个0因为“高思数”的个位数字只能是 1、3、7、9，所以“高思数”分解质因数后一定不含质因数 2 和 5，故 K9

26、9，所以 K 只可能是 1、3、9、11、33、99，经验证这 6 个都是“高思数”，至此已求出所有的“高思数”19. 1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在 1 和 7 之间剪开，得到两个数是 193426857 和 758624391）如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？【答案】27，8，12，48，35，9【分析】互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除而 396=994，所以我们只用考察它能否能被 4 整除于是只用观察原序数、反序数的末

27、两位数字的差能否被 4 整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能注意图中的具体数字，有（3，4）处、（8，5）处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足进一步验证，有（9，3）处剪开的末两位数字之差为 43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）处剪开的末两位数字之差为 62-3=2886-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32所以从（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是 396 的倍数（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）处左右两个数的乘积为 27，8，12，48，35，9