【机构秘籍】小学奥数题库《计算》公式类平方差公式-1星题（含详解）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、计算-公式类计算-平方差公式-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方差公式B1.熟悉平方差公式2.能够灵活应用平方差公式进行计算。少考知识提要平方差公式 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 精选例题平方差公式 1. 计算：(10595+10397)-(10793+10199)= 【答案】16【分析】原式=(1002-52+1002-32)-(1002-72+1002-12)=72+12-52-32=50-25-9=16. 2. 计算：102-92+82-72+62-52+42-32+22-12 = 【答案】55【分析】原式=(10+9)(10-9)+(8+7)(8-7)+(

2、6+5)(6-5)+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55. 3. 如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是 【答案】(a+b)(a-b)=a2-b2【分析】如图，左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为 (a+b)(a-b)，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为 (a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可） 4. a、b 代表任意数字，若 (a+b)(a-b)=aa-bb，这个公式在数学上称为平方差公式根据公式，你来巧算下列各题吧

3、（1）98102 = （2）6773 = （3）6428 = （4）229331 = 【答案】（1）9996；（2）4891；（3）1792；（4）5394【分析】（1）98102=(100-2)(100+2)=100100-22=10000-4=9996;（2）6773=(70-3)(70+3)=7070-33=4900-9=4891;（3）6428=23228=2(30+2)(30-2)=2(3030-22)=1792;（4）229331=23(30-1)(30+1)=6(900-1)=5400-6=5394. 5. 计算 12-32+52-72+92-112-472+492 = 【答案】

4、1249【分析】原式=492-472+452-432+52-32+12=(49+47+45+43+5+3)2+1=(3+49)24+1=1249. 6. 计算：22+42+62+1002-12+32+52+99213+23+33+1003= 【答案】15050【分析】原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)(1+2+3+100)2=(1+2+3+100)(1+2+3+100)2=1(1+2+3+100)=15050. 7. 利用平方差公式巧算：（1）1332-332= 2692-312= （2）8991= 152148= 【答案】（1）1660

5、0；71400；（2）8099；22496【分析】（1）1332-332=133+33133-33=16600；2692-312=269+31269-31=71400；（2）8991=90+190-1=902-12=8099；154148=150+2150-2=1502-22=22496 8. 将一个边长为整数的大正方形分成 97 个边长都是整数的小正方形，若其中 96 个小正方形的边长是 1，则大正方形的边长是 【答案】25 或 14 或 11 或 10【分析】设大正方形的边长为 a，分成的边长不是1的小正方形的边长为 b，则有 a2=b2+96，那么，a+ba-b=96，由于 a+b 与

6、a-b 奇偶性相同，而乘积为偶数，所以 a+b 与 a-b 均为偶数，且 a+ba-b，可能的情况包括：a-b=2a+b=48a-b=4a+b=24a-b=6a+b=16a-b=8a+b=12,分别解得大正方形的边长 a 为 25 或 14 或 11 或 10 9. 计算：2007-8.58.5-1.51.510160-0.3= 【答案】12.2【分析】原式=2007-8.5+1.58.5-1.510160-0.3=2007-7160-0.3=12.210. 有一串数 1，4，9，16，25，36，它们是按一定规律排列的，那么其中第 1990 个数与第 1991 个数相差 【答案】3981【分

7、析】这串数中第 1990 个数是 19902，而第 1991 个数是 19912，它们相差19912-19902=(1991+1990)(1991-1990)=1991+1990=3981.11. 如果 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么 a+b 的值是 【答案】4【分析】因为 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，所以 2(a+b)2-12=63，所以 a+b=412. 计算：1119+1218+1317+1416= 【答案】870【分析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式原式=152-42+152-32+152-22+152-12=1524-12+2

8、2+32+42=900-30=870.13. 已知：a2-b2=(a+b)(a-b)，计算：1002-992+982-972+962+42-32+22-12 = 【答案】5050【分析】原式=(100+99)(100-99)+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)=100+99+3+2+1=5050.14. 计算：24682008123420062-1234200512342007= 【答案】24682008【分析】原式=24682008123420062-(12342006-1)(12342006+1)=2468200815. 利用平方差的公式想想，20 的平方是 ，399 能写成哪两个

9、连续奇数的乘积： ，那 3599 能写成 【答案】400；1921；5961【分析】202=400；399=400-1=202-12=2119；3599=3600-1=602-12=596116. 计算：12345671234567-12345661234568= 【答案】1【分析】原式=12345672-(1234567-1)(1234567+1)=12345672-(12345672-12)=1.17. 计算：(5545-3743)-(3221+1)22= 【答案】10【分析】原式=(50+5)(50-5)-(40-3)(40+3)-66422=2475-1591-66422=2475-2

10、25522=22022=1018. 如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（ab），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式 【答案】(a+b)(a-b)=a2-b2【分析】左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为 12(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)，故验证了公式 (a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可）19. 计算：49995001= 【答案】24999999【分析】原式=(5000-1)(5000+1)=50002-12=2499999920. 计算：(1-122)(1-132)(1-142)(1-152

11、)(1-1482)(1-1492)= 【答案】2549【分析】1-122=(1-12)(1+12)=1232，1-132=(1-13)(1+13)=2343，所以，原式=1232234348495049=125049=254921. 观察下列各式，你会发现什么规律？3515，而 15=42-1，5735，而 3562-1，1113=143，而 143=122-1将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 【答案】n-1n+1=n2-1【分析】观察第一个算式，15=16-1，可知这个算式中的 4=(3+5)2后面每个算式都具有这个规律，所以可以猜想这个算式的规律为：n-1n+1=n2-122.

12、 计算：115+214+313+412+511+610+79+88= 【答案】372【分析】原式=(8-7)(8+7)+(8-6)(8+6)+(8-5)(8+5)+(8-4)(8+4)+(8-3)(8+3)+(8-2)(8+2)+(8-1)(8+1)+88=82-72+82-62+82-52+82-42+82-32+82-22+82-12+82=828-(12+22+32+42+52+62+72)=512-78156=37223. 计算：22+42+62+1002-12+32+52+9921+2+3+100= 【答案】1【分析】原式=1002-992+982-972+22-121+2+3+10

13、0=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)1+2+3+100=100+99+98+97+2+11+2+3+100=1.24. 计算：123456.62-123456.5123456.7= 【答案】0.01【分析】原式=123456.62-(123456.6-0.1)(123456.6+0.1)=0.12=0.0125. 计算：2020-1919+1818-1717+22-11 = 【答案】210【分析】利用平方差公式：2020-1919=(20+19)(20-19)=20+19，1818-1717=18+17，22-11=2+1于是，原式=20+1

14、9+18+17+2+1=(20+1)202=210.26. 计算：1002-992+982-972+22-12= 【答案】5050【分析】原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+2+1=5050.27. 计算：2008+2007200920082009-1+2009+2008201020092010-1= 【答案】2【分析】原式=2008+(2008-1)(2008+1)2008(2008+1)-1+2009+(2009-1)(2009+1)2009(2009+1)-1=2008+20082-12008+20082-

15、1+2009+20092-12009+20092-1=228. 计算：20092009-20082008= 【答案】4017【分析】方法一：原式=20092008+1-2009-12008=20092008+2009-20092008+2008=2009+2008=4017;方法二：原式=20092-20082=2009+20082009-2008=40171=4017.29. 算式 (63-163)(1-163) 的计算结果是 【答案】64【分析】原式=(632-1)(63-1)=(63-1)(63+1)(63-1)=6430. 计算：(205195+202198)-(207193+2031

16、97)= 【答案】29【分析】原式=(2002-52+2002-22)-(2002-72+2002-32)=72+32-52-22=49+9-25-4=29.31. 计算：12+32+52+992+1012-22+42+62+1002= 【答案】5151【分析】原式=12+32-22+52-42+1012-1002=1+2+3+4+100+101=515132. 计算：3.1415252-3.1415152= 【答案】1256.6【分析】原式=3.1415(25+15)(25-15)=1256.633. 算式 6767-3434+67+34 的计算结果是 【答案】3434【分析】原式=(67+

17、34)(67-34)+101=10133+101=10134=343434. 计算：(22+42+62+1002)-(12+32+52+992)1+2+3+10+9+2+1= 【答案】50.5【分析】原式=22-12+42-32+62-52+1002-9921+2+3+10+9+2+1=2+1+4+3+6+5+100+99102=50.535. 能不能找到一个自然数，它加上 10，减去 10 之后都是完全平方数？【答案】26【分析】设加上 10 后的数是 A2，减去 10 后的数是 B2；那么根据平方差公式A2-B2=A+BA-B=20.因为 A+B 和 A-B 是同奇偶的所以 20 也应该拆

18、成 2 个同奇偶性的数的乘积因此A+BA-B=102A+B=10A-B=2A=6B=4.所以这个数是 36-10=2636. 两个完全平方数的差为 51，且这两个完全平方数之间没有其他的完全平方数，求这两个数？【答案】676，625【分析】设较大的平方数为 B2，较小的平方数为 A2，B2-A2=51，因为两个完全平方数之间无其他完全平方数，所以 B-A=1，则 51 只能分解为 151；B+A=51B-A=1;解得B=26A=25.这两个数分别为 262=676；252=62537. 计算：2+122+124+1232+1+1【答案】264【分析】原式=2-12+122+124+1232+1

19、+1=264.38. 计算：（1）552-452；（2）632-372【答案】（1）1000；（2）2600【分析】（1）原式=(55+45)(55-45)=10010=1000；（2）原式=(63+37)(63-37)=10026=260039. 计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)【答案】364-12【分析】设 S=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)，两边乘以 (3-1)，得(3-1)S=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)=(32-1)(32+1)(34+1

20、)(38+1)(316+1)(332+1)=364-1.所以 S=12(364-1)，即 (3+1)(32+1)(332+1)=364-1240. 已知 a2-b2=27，a、b 是正整数，求 a、b 的值【答案】14、13 或 6、3【分析】(a+b)(a-b)=127=39.a+b=27a-b=1,所以a=(27+1)2=14,b=27-14=13.或者a+b=9a-b=3,所以a=(9+3)2=6,b=9-6=3.41. 求积 A 的个位数字：A=2+122+124+128+1216+1232+1264+1【答案】5【分析】A=2-12+122+1264+1=264-1264+1=212

21、8-1. 2n 各位数字的循环 4 个一周期，周期为：2、4、8、6，1284=32，所以 2128 个位为 6，故 2128-1 个位为 5（另解：5 的奇数倍个位一定是 5）42. 一个数减去 100 是一个完全平方数，减去 63 也是一个完全平方数，问这个数是多少？【答案】424【分析】设这个数减去 63 为 A2，减去 100 为 B2，则A2-B2=(A+B)(A-B)=100-63=37=371,可知 A+B=37，且 A-B=1，所以 A=19，B=18，这样这个数为 182+100=42443. 计算： (x+3)(x-3)(x2+9)； (2a+3b)(4a+5b)(2a-3

22、b)(5b-4a)；【答案】见解析【分析】 (x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81；原式=(4a2-9b2)(25b2-16a2)=100a2b2-64a4-225b4+144a2b2=-64a4+244a2b2-225b4.44. 计算：(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)【答案】a8-b8【分析】原式=(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)=(a4-b4)(a4+b4)=a8-b8.45. 运用平方差公式计算： (x2y-12)(x2y+12)； (-4a-1)(-4a+1)； (am+bn)(am-bn)【答案】见解析【分析】 x2y-12

23、x2y+12=(x2y)2-122=x4y2-14； (-4a-1)(-4a+1)=(-4a)2-12=16a2-1； (am+bn)(am-bn)=(am)2-(bn)2=a2m-b2n46. 一个正整数加上 132 和 231 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【答案】2269 或 93【分析】设该正整数为 a，根据题意得 a+132=m2,a+231=n2 两式相减得 (n+m)(n-m)=99 因为 99=991=333=119 所以 n+m=99,n-m=1 或 n+m=33,n-m=3 或 n+m=11,n-m=9 解得 n=50,m=49 或 n=18,m=15 或 n=1

24、0,m=1，但是 n=10,m=1 不符合正整数的条件，因此 a=492-132=2269，或者 152-132=93，所以这个正整数为 2269 或 9347. 计算：（1）(-2x+3y)2；（2）(a-2b)(2b-a)；（3）(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)；（4）(2x-y+2)(y-2x+2)【答案】（1）4x2-12xy+9y2；（2）-a2+4ab-4b2；（3）a4+a2b2+b4；（4）4-4x2+4xy-y2【分析】（1）原式=(2x-3y)2=4x2-12xy+9y2；（2）原式=-(a-2b)2=-(a2-4ab+4b2)=-a2+4ab-4b2;（3）原式=

25、(a2+b2)+ab(a2+b2)-ab=a4+a2b2+b4;（4）原式=2+(2x-y)2-(2x-y)=4-(2x-y)2=4-4x2+4xy-y2.48. 已知 a=200520072006，b=200620082007，c=200720092008，比较三者大小【答案】abc【分析】a=200520072006=(2006-1)(2006+1)2006=2006-12006；b=200620082007=2007-12007；c=200720092008=2008-12008；易得 ab19932-19922即 19972+1992219962+19932，两个白色正方形的面积大62

26、. 利用平方差公式简化计算： 59.860.2； 10298； 123462-1234512347； 11151415【答案】 3599.96； 9996； 1； 124125【分析】 59.860.2=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.22=3599.96； 10298=(100+2)(100-2)=1002-22=9996； 123462-1234512347=123462-(12346-1)(12346+1)=123462-(123462-12)=1; 11151415=1+1151-115=1-1125=12412563. 能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所

27、得的两个数都是完全平方数？【答案】不能【分析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为 A2、B2，那么这两个完全平方数的差为 54=A+BA-B，由于 A+B 和 A-B 的奇偶性质相同，所以 A+BA-B 不是 4 的倍数，就是奇数，不可能是像 54 这样是偶数但不是 4 的倍数所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的64. 计算： (x-y)2-(x+y)(x-y)； 2x-35y-13z35y-13z+2x； (a2+ab+b2)(a2-ab+b2)【答案】 2y2-2xy； 4x2-43xz+19z2-925y2； a4+a2b2+b4【分析】(x-y)2-(x+

28、y)(x-y)=x2-2xy+y2-(x2-y2)=2y2-2xy;2x-35y-13z35y-13z+2x=2x-13z2-35y2=4x2-43xz+19z2-925y2;原式=(a2+b2)+ab(a2+b2)-ab=a4+a2b2+b4.65. 计算：（1）332-322；692-672；20092-20082；（2）3129；1921；302298；【答案】（1）65；272；4017；（2）899；399；89996【分析】（1）332-322=(33+32)(33-32)=65;692-672=(69+67)(69-67)=272;20092-20082=(2009+2008)(

29、2009-2008)=4017;（2）3129=(30-1)(30+1)=302-12=899;1921=(20-1)(20+1)=202-1=399.（2）302298=(300+2)(300-2)=3002-22=89996.66. 计算：112-102+92-82+72-62+52-42+32-22+12【答案】66【分析】原式=(11+10)(11-10)+(9+8)(9-8)+(3+2)(3-2)+1=11+10+9+8+2+1=6667. 有一个正整数，它加上 100 后是一个完全平方数，加上 168 后也是一个完全平方数请问：这个正整数是多少？【答案】156【分析】设这个正整数为

30、 n，则n+100=b2,n+168=a2,两式相减得a2-b2=68,而a2-b2=(a+b)(a-b),由于 68=168=234=417, 由此可得a+b=34,a-b=2,解得a=18,b=16,所以 n 为 15668. 计算：（1）202-192+182-172+162-152+22-1；（2）12-22+32-42+52-62+992-1002+1012【答案】（1）210；（2）5151【分析】观察算式发现 202-192 这是平方差公式，可以用 a2-b2=(a+b)(a-b) 公式计算，这样比较简便原式=(202-192)+(182-172)+(162-152)+(22-1

31、)=(20+19)(20-19)+(18+17)(18-17)+(2+1)(2-1)=20+19+18+17+2+1=(1+20)202=2110=210;（2）观察算式发现该题与上一题的区别是 12-22 减不开，仔细观察 1012-1002 所以用上加法结合律重新组合一下就可以原式=(1012-1002)+(992-982)+(972-962)+(32-22)+12=(101+100)(101-100)+(99+98)(99-98)+(3+2)(3-2)+1=101+100+99+98+3+2+1=(1+101)1012=51101=5151.69. 计算：（1）332-302;672-6

32、52;1212-1202;（2）99101;5644;307293【答案】（1）189;264;241；（2）9999;2464;89951【分析】（1）观察算式发现都属于平方差公式原式=(33+30)(33-30)=633=189;原式=(67+65)(67-65)=1322=264;原式=(121+120)(121-120)=2411=241;（2）观察算式发现 99=100-1，101=100+1，56=50+6，44=50-6，307=300+7，293=300-7，所以可以运用平方差的逆运算原式=(100-1)(100+1)=1002-12=10000-1=9999;原式=(50-6

33、)(50+6)=502-62=2500-36=2464;原式=(300-7)(300+7)=3002-72=90000-49=89951.70. 计算：1002-992+982-972+962-952+22-12【答案】5050【分析】平方差公式，原式=100+99+98+97+3+2+1=505071. 学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目现在的人数刚好排成一个方阵（每一行人数和每一列人数相等）后来又加入了 23 个女生，恰好还可以组成一个方阵那么你能算出加入 23 人之前，方阵共有多少人吗？【答案】121 人【分析】依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数不妨设前者人数是 B2，后者人数是 A2. 那么根据平方差式，A2-B2=A+BA-B=23因为 A+B 和 A-B 是同奇偶的，所以 23 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积因此A+BA-B=231A+B=23A-B=1A=12B=11则加入 23 人之前，方阵有 1111=121 人