【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第六讲 抽屉原理（一）人教版（含答案）.docx

1、第六讲 抽屉原理（一）第一部分：趣味数学二桃杀三士“二桃杀三士”是中国古代的一个历史故事,最早记载于晏子春秋,后来变成成语,比喻用阴谋杀人。这是怎样的一个故事呢?你肯定很好奇吧?故事是这样的:在春秋时期齐景公的手下有三员大将,他们分别是田开疆、公孙接和古冶子。他们力大无比,武功超群,为齐景公立下过汗马功劳,但也因此恃功而骄,极其自负,不把别的官员放在眼里,为此得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便私下劝齐景公杀掉他们,并献上一计:先以齐景公的名义赏赐三名男士两个桃子,让他们自己评功,按功劳的大小来分桃吃。三勇士都认定自己的功劳最大,应该单独吃个桃。公孙接抢得先机先讲了自己的打虎功,拿了一个桃;田开疆紧接

2、着讲了自己的杀敌功,拿起了剩下的另一桃。两人正准备吃桃子,古冶子说出了更大的功劳。另二人都觉得自己的功劳确实没有古冶子的功劳大,一时羞愧难当,赶忙让出桃子并且觉得自已功劳不如人家,却抢着要吃桃子,暴露了自己的贪婪无耻,实在没有脸再活下去,于是都拔剑自刎了。古冶子见了,后悔不迭,仰天长叹道:“我们本是朋友,可为了一个桃子,我竟然吹捧自己羞辱朋友,真是太不讲义气了!如今他们都为此而死了,我独自活着,算什么勇士!”说罢,古冶子也拔剑自杀了。区区两个桃子,顷刻间让三位猛将都倒在血泊之中。晏子采用借“桃”杀人的办法,不费吹灰之力便达到了事先的目的,汉朝的一位无名氏在一首诗中曾讽刺的写道:“一朝被谗言,二

3、桃杀三士。谁能为此谋,相国齐晏子!在晏子的权谋之中,包含了一个重要的数学原理抽屉原理。你知道是怎么回事吗?第二部分：习题精讲如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把mxk（xk1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个

4、元素。利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。例题1：某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。练习1：

5、1.某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？2.某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？3.15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？例题2： 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。买书的

6、类型有：买一本的：有语文、数学、外语3种。买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。买三本的：有语文、数学和外语1种。3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去8位学生。练习2：1.某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？2.学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？3.一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、

7、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？例题3：一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副

8、手套是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。练习3：1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的？3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子？例题4：任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么？一个自然数除以4的余数只能是0，1，2，3。如果有

9、2个自然数除以4的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。一个自然数除以4的余数可能是0，1，2，3，所以，把这4种情况看做时个抽屉，把任意5个不相同的自然数看做5个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。所以，任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。练习4：1、任意6个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为什么？2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数？3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。例题5：能否在如下图的5行5列方格表的每个空格中，

10、分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同？由图可知：所有空格中只能填写1或2或3。因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是15=5，最大是35=15。从5到15共有11个互不相同的整数值，把这11个值看承11个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5，最大是15，从5到15共有11个互不相同的整数值。而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个，所以，这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。练习5：1、能否在6行6列方格

11、表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？2、证明在88的方格表的每个空格中，分别填上3，4，5这三个数中的任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。3、在39的方格图中（如图29-2所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？第三部分：数学史走进“抽屉原理” “抽屉原理”在生活中应用很广泛,比如:桌上有10个苹果,要把这10个;苹果放到9个抽屉里,无论怎样放,我们会发现肯定会有一个抽屉里面至少放两个苹果。如果把4封信投到3个信箱中,那么肯定有一个信箱中

12、至少有两封信。如果把3本书分给两名同学,那么肯定其中有一名同学至少分到两本书这些实例中都蕴含着数学中的“抽屉原理”。抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狄利克雷(1805-1859)明确提出来的, 因此,也称为狄利克雷原理。原理1:如果把x+k(k1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。原理2:如果把mx+k(xk1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有(m+1)个或(m+1)个以上的元素。参考答案：练习1：1.1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此

13、其中至少有2个学生的生日是同一天的。2.2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。3. 一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。练习2：1.买书的类型中买一本的有4种，买二本的有6种，买三本的有4种，买4本的有一种，共有4+6+4+115种情况。把种15种情况看出15个抽屉，要保证有两位同学买到相同的书，至少要去16位学生。2.从三周图书种任意借2本，只有6种情况。要保证有两个所借的图书属于同

14、一种，至少要7个学生。3.玻璃珠子的颜色有三种，要保证有2个同色，最少应取出4只珠子。练习3：1.思路同例3，最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。2.把三种颜色看作3个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出4只袜子，这时拿出1双同色的后，3个抽屉中还剩2只袜子。以后，只要再摸出2只袜子就可保证有一双同色的。因此，要保证有3双同色的，最少要摸4+2+28只袜子。3.袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出8只都是同一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取3只。因此，最少要拿出8+311只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。练习4：1.一个自然数除以5的余数可能是0、1

15、、2、3、4，把这5种情况看做5个抽屉，6个不同的自然数放入这5个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，这两数的余数是相同的，所以它们的差一定是5的倍数。2.一个自然数除以8的余数可能是0、1、2、3、4、6、7，把这8种情况看做8个抽屉，要保证至少有两个数的差是8的倍数，就要保证至少有1个抽屉里有两个数，根据抽屉原理，要取9个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数。3.一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、.n1，把这n种情况看作n个抽屉，把（n+1）个自然数反复如n个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被n整除，也就是n的倍数。练习5：1.不可能。因为每行、每列、每条对角线上的6个数的和最小是6，最大是18。从6到18共有13个不同的整数值，而6行、6列及两条对角线上的各个数的和共有14个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。2.因为每行、每列、每条对角线上的8个数的和最小是24，最大是40。从24到40共有17个互不相同的整数值，而8行、8列及两条对角线上的各个数的和共有18个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。3.每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色，每列3个方格的土色就有2228种不同情况，把这8种情况看做8个抽屉，根据抽屉原理，9列中至少有两列的土色方式是相同的。