【课后延时】小学数学专项《应用题》经典牛吃草问题基本知识-5星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、应用题-经典应用题-牛吃草问题基本知识-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率牛吃草问题基本知识C1.了解牛吃草问题的概念。2.能够准确理解牛吃草的解题原理。3.可以熟练运用牛吃草公式来解决牛吃草问题。少考知识提要牛吃草问题基本知识 概述牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的一书中提出的一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量 公式：设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数 吃的较多的天数-对应牛的头数 吃的较少天数）（吃的较多天数-吃的较少天数）（2）原有草量=牛的头数 吃的

2、天数-草的生长速度 吃的天数（3）吃的天数=原有草量 （牛的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量 吃的天数+草的生长速度。 牛吃草的变型“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题精选例题牛吃草问题基本知识 1. 一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排 4 台污水处理设备，36 天可将池中的污水处理完；若安排 5 台污水处理设备，27 天可将池中的污水处理完；若安排 7 台污水处理设备， 天可将池中的污水处理完【答案】18【分析】牛吃草问题变形不妨设一台污水处理设备一天处理一

3、份污水，每天新流入的污水：(436-527)(36-27)=1(份).原有的污水量：436-136=108(份).分牛法：1 台污水处理设备处理每天新流入的污水，剩下 6 台设备处理原有污水108(7-1)=18(天). 2. 解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝若 10 人需 45 分钟，20 人需 20 分钟，则 14 人修好大坝需 分钟【答案】30【分析】设每个人 1 分钟修好 1 份1045=450(份),2020=400(份),每分钟新冲毁：(450-400)(45-20)=2(份),原先冲毁：450-245=360(份),360(14-2)=30(分钟). 3. 小方用一

4、个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水第一个桶距水缸有 1 米，小方用 3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有 2 米，小方用 4 次恰好把桶装满第三个桶距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它装满？（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）【答案】6【分析】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了 24-135(米) 路，所以从杯中流出的速度是 150.2(杯/米)，于是 1 桶水原有水量等于 3-30.22.4(杯) 水，所以小方要 2.4(1-30.2)6(次) 才能把第三个桶装满 4. 如下图所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分已知草一

5、开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根也被吃掉了）老农先带着一群牛在 1 号草地上吃草，两天后把 1 号草地上的草全部吃完（这期间其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在 2 号草地上吃草，另一半在 3 号草地上吃草，结果又过了 6 天，这两个草地上的草也全部吃完最后，老农把 35 的牛放在阴影草地上吃草，而剩下的牛放在 4 号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？【答案】110【分析】设牛的头数为 2,5=10 头，设一头牛一天吃一份草，所以 1，2，3，4 号草地的生长速度为(56-

6、102)6=53,原有草量为210-532=503,阴影分配牛的头数是 4 的 1.5 倍，所以阴影草地的成长速度和原有草量都是 4 号的 1.5 倍，所以整块草地的生长速度为534+531.5=556,原有草量为5034+5031.5=2753,一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要275310-556=110(天).方法二：假设 1 至 4 号草地每块面积为 a，生长速度为 v，1 号草地 2 天吃完，草总量为 a+2v；2 号和 3 号草地，接着 6 天吃完，草总量为 2a+16v；6 天吃完的草总量应为 2 天吃完草总量的 3 倍，即：3(a+2v)2a+16v,可得 a

7、10v，牛群每天吃草 6v；又 35 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 25 的牛放在 4 号草地吃草，它们同时把草场上的草吃完，说明阴影部分为 4 号草地的 1.5 倍；相当于整个草地面积为 5.5a，即 55v，每天长草 5.5v，于是，草可吃55v6v-5.5v=110(天). 5. 有一牧场，草均匀生长，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头牛吃草？【答案】40 头【分析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为：(1730-1924)(30-24)=9,

8、原有草量为：(17-9)30=240.现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这 4 头牛，那么原有草量需增加 42=8 才能恰好供这些牛吃 8 天，所以这些牛的头数为：(240+8)8+9=40(头). 6. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20 天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量，现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【答案】12 天【分析】根据题意可得：15天马和牛吃草量=原有草量+15天新生长草量20天马和羊吃草量=原有草量+20天

9、新长的草量30天牛和羊(等于马)吃草量=原有草量+30天新生长草量由 2- 可得：30天牛吃草量=原有草量,所以：牛每天吃草量=原有草量30;由 可知，30天羊吃草量=30天新生长草量,所以：羊每天吃草量=每天新生长草量;设马每天吃的草为 3 份，将上述结果带入 得：原有草量=203=60(份),所以：牛每天吃草量=6030=2(份).这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：60(2+3)=12(天). 7. 早晨 6 点，某火车进口处已有一些名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站这样，如果设立 4 个检票口，15 分钟可以放完旅客，

10、如果设立 8 个检票口，7 分钟可以放完旅客现要求 5 分钟放完，需设立几个检票口？【答案】11【分析】设 1 个检票口 1 分钟放进 1 个单位的旅客（1）1 分钟新来多少个单位的旅客：(415-87)(15-7)=12(个)；（2）检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候：415-1215=5212(个)；（3）5 分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客：5212+(125=55(个)；（4）设立几个检票口：55511(个) 8. 一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空，如果打开 8 个水龙头，1 小时半就把水池水放空现在打开 13 个水龙头，问

11、要多少时间才能把水放空？【答案】54 分钟【分析】先计算 1 个水龙头每分钟放出水量2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 460=240(立方米)时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240(5150-890)=8(立方米)，8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8890，其中 90 分钟内流入水量是 490，因此原来水池中存有水 8890-490=5400(立方米)打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 813，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400(813-4)=54(分钟)所以打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟本题实际上

12、是牛吃草问题的变形，水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水这在题目中却是隐含着的 9. 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行 15 千米，3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35 千米，1 小时可以追上；若开汽车，每小时行 45 千米，多少分钟能追上【答案】45【分析】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在 3-12(小时) 内走了 153-35110(千米)，那么小明的速度为 1025(千米/时)，追及距离为(15-5)330(千米)汽车去追的话需要：30(45-5)34(小时)4

13、5(分钟)10. 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面从站台到地面有几级台阶【答案】60【分析】每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；20120(秒)（他走了 20 秒，自动下滑也为 20 秒）；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面；30215(秒)（他走了 15 秒，自动下滑也为 15 秒）；本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台

14、阶，那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯 20-155(秒) 内所走的阶数等于小强多走的阶数：215-12010(阶)，电梯的速度为 1052(阶/秒)，扶梯长度为 20(1+2)60(阶)11. 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车，5 小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车，3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？【答案】15【分析】分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”

15、，乙车相当于“新生长的草”设甲车现在的速度为“1”，那么乙车 5-32 小时走的路程为 25-331，所以乙的速度为 120.5，追及路程为：(2-0.5)57.5如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.5(1-0.5)15(小时)12. 快、中、慢三车同时从 A 地出发沿同一公路开往 B 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用 7 分钟、8 分钟、14 分钟追上骑车人已知快车每分钟行 800 米，慢车每分钟行 600 米，中速车的速度是多少？【答案】750 米/分【分析】可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(60014-8007)(14-7)400(米/分)，开始相差的路程为：(600-400)142800(米)，所以中速车速度为：28008+400750(米/分)