【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第9章 第7节 用向量方法证明平行与垂直 理（含解析）新人教B版.docx

1、【走向高考】2022届 高三数学一轮基础巩固 第9章 第7节 用向量方法证明平行与垂直(理) 新人教B版一、解答题1.(2022长春模拟)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.(1)求证：平面PAC平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由解析(1)证明：PA平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为PBA45.AB1，由ABCBAD90，易得CDAC，ACCD.又PACD，PAACA，CD平面PAC，又CD平面PCD，平面PAC平面PCD

2、.(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0(0,2,0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，CE平面PAB.(1，y1，z)(0,2,0)0，y1.将y1代入，得z.E是PD的中点，存在E点使CE平面PAB，此时E为PD的中点2.(2022辽宁六校联考)在三棱锥PABC中，PAC和PBC是边长为的等边三角形，AB2，O是AB的中点(1)在棱PA上求一点M，使得OM平面PBC；(2)求证：平面PAB平面ABC.解析解法一：(1)当M为棱P

3、A的中点时，OM平面PBC.证明如下：M，O分别为PA，AB的中点，OMPB.又PB平面PBC，OM平面PBC，OM平面PBC.(2)连接OC，OP.ACCB，O为AB的中点，AB2，OCAB，OC1.同理，POAB，PO1.又PC，PC2OC2PO22，POC90，POOC.ABOCO，PO平面ABC.PO平面PAB，平面PAB平面ABC.解法二：设a，b，c，则由条件知|a|b|c|，acbc1，在PAB中，PAPB，AB2，PAPB，ab0.(1)设a，则a(ab)()ab，OM平面PBC，存在实数s，k，使sbkc，sbkc()ab，由平面向量基本定理知，s，k0，M为PA的中点(2)

4、(ab)，(ab)(ca)(acbc|a|2ab)0，(ab)(ba)(|b|2|a|2)0，是平面ABC的法向量，又PO平面PAB，平面PAB平面ABC.3(2022北京)如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长解析(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.

5、(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，(1,1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，所以n(0，1,1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin|cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设(01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22，因为n是平面ABF的法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0，解得，所以点H的坐标为(，)所以PH2.

6、4.(2022安徽淮南二模)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF2.(1)求证：B1F平面ADF；(2)若，求证：PF平面ADB1.解析取BC的中点D，ABAC，ADBC，取B1C1的中点D1，则DD1平面ABC，分别以CB、AD、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，ABACAA13，BC2，A(0，2，0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，A1(0，2，3)，B1(1,0,3)，C1(1,0,3)，CF2，F(1,0,2)(1)(2,0，1)，(0，2，0)，(1,0,2)，0，0，平面ADF，B1F平面ADF.(2)

7、(1，2，0)(，0)，P(，3)，(，1)设平面ADB1的法向量为n(x0，y0，z0)，则设z01，则n(3,0,1)n0，PF平面ADB1，PF平面ADB1.一、解答题5(2022山东青岛模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C.(2)AB1平面A1C1C.证明二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，AA1平面BAC.又ABAC，BCAB，CAB90，即CAAB，AB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则A(0,0,0)

8、，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)(1)(0,2,0)，(0,0，2)，(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0,1,0)2n，即n.A1B1平面AA1C.(2)易知(0,2,2)，(1,1,0)，(2,0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1,1)m012(1)210，m.又AB1平面A1C1C，AB1平面A1C1C.6在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(

9、2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论解析(1)证明：PD底面ABCD，四边形ABCD是正方形，AD、DC、PD两两垂直，如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，0)、P(0,0，a)、F(，).(，0，)，(0，a,0)0，即EFCD.(2)设G(x,0，z)，则(x，z)，若使GF平面PCB，则由(x，z)(a,0,0)a(x)0，得x；由(x，z)(0，a，a)a(z)0，得z0.G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点7(2022北京朝阳

10、期末)如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC.(1)求证：ACPB；(2)设O，D分别为AC，AP的中点，点G为OAB内一点，且满足()，求证：DG平面PBC；(3)若ABAC2，PA4，求二面角APBC的余弦值解析(1)因为PA平面ABC，AC平面ABC，所以PAAC.又因为ABAC，且PAABA，所以AC平面PAB.又因为PB平面PAB，所以ACPB.(2)证法一：因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC.又因为ABAC，所以建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AC2a，ABb，PA2c，则A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(2a,0,0)，P(0,0,2c)，D(0

11、,0，c)，O(a,0,0)，又因为()，所以G(，0)于是(，c)，(2a，b,0)，(0，b，2c)设平面PBC的一个法向量n(x0，y0，z0)，则有即不妨设z01，则有y0，x0，所以n(，1)因为n(，1)(，c)1(c)0，所以n.又因为DG平面PBC，所以DG平面PBC.证法二：取AB中点E，连接OE，则()由已知()可得，则点G在OE上连接AG并延长交CB于点F，连接PF.因为O，E分别为AC，AB的中点，所以OEBC，即G为AF的中点又因为D为线段PA的中点，所以DGPF.又DG平面PBC，PF平面PBC，所以DG平面PBC.(3)由(2)可知平面PBC的一个法向量n(，1)

12、(2,2,1)又因为AC平面PAB，所以平面PAB的一个法向量是(2,0,0)又cosn，由图可知，二面角APBC为锐角，所以二面角ABPC的余弦值为.8在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，E是AD的中点，F是PC的中点(1)求证：BE平面PAD；(2)求证：EF平面PAB；(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值解析解法一：(1)E是AD中点，连接PE，AB2，AE1.BE2AB2AE22ABAEcosBAD41221cos603.AE2BE2134AB2，BEAE.又平面PAD平面ABCD，交线为AD，BE平面PAD

13、.(2)取PB中点为H，连接FH，AH，AE綊BC，又HF是PBC的中位线，HF綊BC，AE綊HF，四边形AHFE是平行四边形，EFAH，又EF平面PAB，AH平面PAB，EF平面PAB.(3)由(1)知，BCBE，PEBC，又PE，BE是平面PBE内两相交直线，BC平面PBE，又由(2)知，HFBC，HF平面PBE，FEH是直线EF与平面PBE所成的角，易知BEPE，在RtPEB中，EH，tanFEH，cosFEH.故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.解法二：容易证明EP，EA，EB两两垂直，建立空间直角坐标系Exyz如图易求BEPE，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，因为F是PC的中点，则F(1，)(1)010000，即EBEA，00000，即EBEP，EA，EP是平面PAD内的两相交直线，EB平面PAD.(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，)，(1，)，(0，)(1,0,0)(1，)，又EF平面PAB，AH平面PAB，EF平面PAB.(3)y轴平面PBE，z轴平面PBE，平面PBE的法向量为n(1,0,0)，(1，)，设直线EF与平面PBE所成角为，sin，cos，故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.