上海外国语大学附属外国语学校直升考复习讲义1整式和实数 .docx

1、学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目：数学主 题 上外直升考讲义之实数和整式教学内容一、数的整除知识梳理本章知识结构：数的整除一个整数奇数偶数素数合数分解素因数能被2整除的数的特征能被5整除的数的特征整数间的关系整除因数倍数互素公因数最大公因数公倍数最小公倍数正整数零负整数（1）整数：自然数整数“零”既不是正整数，也不是负整数（2）整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。条件：除数、被除数都是整数被除数除以除数，商是整数而且余数为零 （3）因数和倍数：一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身定义：整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就

2、叫做a因数（也称为约数）一个整数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身因数倍数 归纳：一个数的因数是有限的。一个数的倍数的个数是无限的。一个数的因数通常是成对出现的。最小的因数是1，最大的因数是它本身。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（4）偶数与奇数如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。 如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。整数的分类 奇、偶数经过运算后的变化情况：奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇奇奇=奇 偶偶=偶 奇偶=偶注：相邻两个整数之和（之差）为奇数，之积为偶数。整除不同处余数都是 0除尽相同处不必要求被除数,除数和商都是整数要求三者都必须是整数,并且只有在整

3、除的条件下,才有因数和倍数的概念.（5）区别除尽和整除：（6）能被2、3、5整除的数的特征：能被“2”整除的数的特征：个位数字是偶数,即各位数字是0、2、4、6、8的整数能被“5”整除的数的特征：个位数字是“5”或“0”能被“2、5”整除的数的特征：个位数字是“0”能被“3”整除的数的特征：各位数字之和能被“3”整除.（7）素数、合数：我们把只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。分解素因数的方法：（8）公因数与最大公因数几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互

4、素（9）公倍数和最小公倍数：几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.（一） 、概念判断1、整除一定能除的尽，除尽不一定是整除（ ）2、两个连续的正整数之积一定是合数（ ）3、两个数的乘积等于它的最小公倍数乘以最大公因数（ ）4、甲数能除以乙数，甲数就能除以乙数的因数（ ）5、两个数都能被6整除，那么两个数的和或差也能被6整除（ ）6、一个非0 整数的倍数一定是这个整数因数的倍数（ ）7、能同时被3、9整除的数定能被27整除；同时能被3、8整除的数定能被24整除（ ）8、互素的两个数一定都是素数（ ）9、任何正整数的因数至少有两个（ ）10、一个整数的因数有有限

5、个，倍数有无限个，其最大因数和最小倍数都为其本身（ ）（二） 填空1、 已知，且均为正整数，则的最小值为_.2、甲乙当 时，甲、乙两数的最小公倍数为14700.3、有两个数，它们的最小公倍数是420，最大公因数是12，其中一个数是84，则另一个数是 .4、60的因数有 个，两个正整数的最大公因数是120，则这两个正整数共有 个公因数.5、 已知一个正整数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，则满足条件的数最小等于 .6、有一个四位数.若它能被2整除，则可以是 ；若它能被3整除，则可以是 ；若它能被6整除，则可以是 ；若它能被8整除，则可以是 ；若它能被18整除，则可以是 ；若它能被1

6、1整除，则可以是 ；7、 两个数的最小公倍数是120，最大公因数是4，则这两个数的和是 .8、 已知可被在60到70之间的两个整数整除，则这两个整数是_.9、若四位数能被15整除，则a代表的数字是_.10、四位数能被6整除，要使这个四位数尽可能的小，则a ，b .11、一个三位数加上4后能被3整除，减去2后能被5整除，求满足条件的最大数是_.12、12的因数有 ，其中奇数有 ，偶数有 ，素数有 ，合数有 .13、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、C.14、两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_15、已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数

7、与最大公约数之差为142，则这两个自然数是_16 、一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是_17、一个质数的倍与另一个质数的倍之和等于，那么这两个质数的和是 18、将900分解素因数是_,全部因数的和是_,其中偶因数有_个，素因数有_个，合因数有_个，因数中能被3整除的有_个，因数中不能被整除的有_个19、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，这个最小自然数是_20、在1000到2019之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有_个二、实数知识点 补充：有理数的两种分类方式：； 2、数轴：规定了原点、正

8、方向和单位长度的直线叫做数轴（一）填空1、下列说法中;无限小数是无理数、无理数是无限小数、无理数的平方一定是无理数、数轴上的点于有理数一一对应、有理数和无理数的和差积商一定是无理数、除了之外不带根号的数都是有理数，正确的有_2、判断下列说法：有限小数都是有理数，无限小数都是无理数，一个有理数，不是正数就是负数，一个无理数，不是正数就是负数，一个实数，不是正数就是负数，带根号的实数都是无理数，正确的是_3、设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a-b+c的值为_4、 数轴上表示整数的点称为整点某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2019厘米的线段AB

9、，则线段AB盖住的整点的个数是_5、2019年3月，国家局公布的我国大陆人口为129533万人，如果以亿作为单位，保留两位有效数字，可以写成 亿人，如果精确到百万用科学记数法表示为 人6、近似数9.60105有 个有效数字，精确到 位7、设的小数部分为，的小数部分是。则的值为_8、已知在等式中，a,b,c,d，都是有理数，x是无理数，当a,b,c,d,满足_时，s为有理数，当a,b,c,d，满足_时，s是无理数9、 已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于 10、当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 11、已知是有理数

10、，且，那以的值是_12、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 13、若与互为相反数，则= 14、计算：= 15、若，则使成立的的取值范围是 16、若是一个正整数，则最小的自然数a是_；最大的三位数a是_(二)、计算解答题1、2、 3、4、5、6、若，求的值7、已知的最小值是，的最大值为，求的值8、求的最小值10、已知是非零有理数，且，求的值11、已知是有理数，且，求的值 12、已知a、b、c是实数，且，求的值13、阅读教材中“证明是无理数”的证明方法。试证明也是一个无理数 三、 整式一、 整式的概念：（一）用字母表示数1、用字母表示运算律 例：乘法分配律 2、用字母表示公式 例：三角形

11、面积 3、用字母表示方程里的未知量 例：长方形的长比宽多12米，周长为96米，求长和宽 设宽是米，则长是(+12)米 2(+12)=96 4、用字母表示问题间的数量关系 例：设某数为 ，用表示下列各数:(1) 某数减去3的差与5的积； (2) 某数与3的和除以某数所得的商（二）代数式1、概念：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子 例：2、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算出的结果 例：当=2时，代数式3+8的值（三）整式1、单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式 系数：单项式中的数字因数 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和 例：2,

12、2的系数是2 的次数是2次2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式 项：在多项式中的每个单项式 常数项：不含字母的项 次数：多项式中每个单项式中的最高次数 例：是单项式，1三项的和， 共三项，次数是23、 整式：单项式和多项式统称为整式一、选择：1、下列各式中，分式的数是（ ）个A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、满足等式的a的值是（ ）A、2 B、-2 C、 D、不存在3、下列各式中是的因数有（ ）个 A、7 B、17 C、65 D、91（二）、填空1、如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是_2、若代数式的值为6，则代数式的值为 3、已知实数、满足，则的值为 4、的积有_个0，是

13、_位数5、比较的大小，并从大到小排列：_.6、当代数式取最小值时，求的值为_7、若多项式能被多项式整除，则8、已知除式，商式，余式，则被除式9、多项式因式分解的结果是_10、当 时，是一个完全平方式11、已知当时，代数式的值为5，那么时，代数式的值是 12、要使二元三项式能在实数范围内分解因式，则可取的整数为 13、若、均为实数，且，求的值为_14、已知，求、的值为_15、已知，求的值为_16、已知实数满足则的值为_17、设均为不小于3的实数，则的最小值是_18、若，则的最大值为_,最小值为_19、，求的值为_20、若，求的值为_21、计算的值为_22、计算_23、已知，则_24、已知 满足，

14、则_ （三）计算解答题1、 （m为正整数）2、 当代数式取最小值时，求的值 3、 计算： 5、已知多项式：是关于的一个五次三项式，求的值 6、已知a=2019x+2019,b=2019x+2019,c=2019x+2019,则多项式7、已知a,b,c满足，求的最大值8设，且展开后得到的形式（1）求的值；（2）不展开，求的值；（3）不展开，求的值9、一个正整数，当它加上100时是一个完全平方数；当它加上129时，则是另一个完全平方数，求这个正整数10、已知，求的值11、如果，求的值四、因式分解1、分解因式_2、计算：=_3、已知：（b、c为整数）是及的公因式，则bc的值为_4、分解因式：=_5、

15、已知：，则的值为_ 6、分解因式：=_7、在实数范围内因式分解： 8、分解因式：=_9、分解因式：=_10、分解因式：=_11、分解因式：=_12、分解因式：=_13、分解因式：=_14、分解因式: =_ 15、分解因式=_16、分解因式：=_17、分解因式：=_18、分解因式：=_19分解因式：=_20、分解因式：=_21、分解因式：=_22、分解因式：_23、分解因式：=_24、分解因式：=_25、分解因式：=_五、有关因式和分解的证明和计算1、证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数 2、 若，是整数，求证：是一个完全平方数3、已知可分解为一次因式和二次因式之积，求k的值4、已知是不全相等的实数，且，试求 （1）的值；（2）的值5、一个关于的二次多项式，其被除余3，被除余，被除余2，求关于的二次多项式6、已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值7、 已知是一个完全平方式，求常数k的值8、已知是一个完全平方式，求常数k的值