上海市格致中学2020-2021学年高一下学期3月第一次测验数学试题 WORD版含答案.docx

1、格致中学二二学年度第二学期第一次测验高一年级数学试卷（共 4 页）（测试 90 分钟内完成，总分 100 分，试后交答题卷）一、填空题（本题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）.1.已知13sin,322，则 tan _；2.在与弧度数为 2021 角终边相同的角中，绝对值最小的角是_；3.方程 2cos210 x 的解集是_；4.已知角 的终边上的一点(4,3)(0)tt t，则2sincos _；5.若扇形的圆心角是3，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是_；6.将 3cossinxx化成cos()0,02AxA的形式为_；7.在 ABC 中，若52,124ABBC，则 BC _；8

2、.在 ABC 中，4cosbaCab，则cosC 取最小值时，C _；9.已知,R 10sin2cos2，则 tan2 的值是_；10.如果锐角 满足sin logtan 4cot,3 则tanlogcos 的值是_；11.已知(,)，满足 tan 是关于方程2210cosxx 的两个根中较小的根，则的值为_；12.在 ABC 中,90,CM是 BC 的中点，若1sin,3BAM则sinBAC _；二、选择题（本题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）.13 已知角 的终边经过 sin15,cos15P，则2sin A.0B.34C.1324D.132414.一台“傻瓜”计算器只会做以下

3、运算：1 减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去。若第一次输入的是2cos ，则第 2021 次输出的是（）22221.tan.cot.cos.sinABCD15.在ABC 中，已知 tansin2ABC，给出以下四个论断：tancot1AB；0sinsin2AB；22sincos1AB222coscossinABC其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、416.如果111A B C的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则()A、111A B C和222A B C都是锐角三角形B、111A B C和222A B

4、 C都是钝角三角形C、111A B C是锐角三角形和222A B C是钝角三角形D、111A B C是钝角三角形和222A B C是锐角三角形三、解答题（本大题共 4 小题，满分 48 分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分.17.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分。（1）已知3tan34，求23sinsincos()sinsin 22cos的值。（2）已知ABC 中，tantan33 tantanABAB，且3sincos4BB，判断ABC 的形状，并说明理由。18.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第

5、1 小题 4 分，第 2 小题 6 分。在 ABC 中，三条边对应分边长分别是,3,2 6,2.a b c abBA （1）求cos A的值（2）求c 的值.19.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分。在一个特定的时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内的海域被设为警戒水域。点 E 的正北 55 海里处王个雷达观测站 A。某时刻测得一艘勿速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距40 2 有海里的位置 B。经过 40 分钟又测得该肌已经行驶到点 A 北偏东 45（其中26sin26，090且与点 A 相距10 13 海里的位置C

6、；（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 8 分。对于任意(),yf x xD，若存在0 xD，使得001(1)f xf xf，则称()f x 具有性质 P 记()()Mf xf xP具有性质。（1）判断()lgf xx和2()2xg xx是否属于集合 M（2）设(),21xaf xM求实数 a 的取值范围（3）已知(0,1x时，2()882f xxx；且对任意(1,1x,都有(1)()(1)f xf xf，令(

7、)()1,h xf xkxkR，试讨论函数(),(1,1yh x x 的零点个数。格致中学二二学年度第二学期第一次测验高一年级数学试卷（共 4 页）（测试 90 分钟内完成，总分 100 分，试后交答题卷）一、填空题（本题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）.1.已知13sin,322，则 tan _；【答案】24【解析】13sin0,322,222 2cos1 sin3 sin2tancos4 综上所述，答案：242.在与弧度数为 2021 角终边相同的角中，绝对值最小的角是_；【答案】2021 644【解析】与弧度数为 2021 角终边相同的角为20212kkZ所以绝对值最小的角是

8、 2021 6443.方程 2cos210 x 的解集是_；【答案】6x xk或,6xkkZ【解析】由 2cos210 x 可得:1cos22x 所以 223xk或 22,(Z)3xkk即6xk或6xk故答案为:6x xk或,6xkkZ4.已知角 的终边上的一点(4,3)(0)tt t，则2sincos _；【答案】25【解析】已知角 的终边上有一点(4,3)(0)Ptt t，当0t 时，4,3,|5xt ytrOPt 34sin,cos,55yxrr 22sincos5 5.若扇形的圆心角是3，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是_；【答案】74 39【解析】设扇形半径为 R，内切圆半径为 r

9、，则()sin 3Rrr，即2 31.3Rr又222112|2233SRRR扇274 3,9r所以274 39Sr扇6.将 3cossinxx化成cos()0,02AxA的形式为_；【答案】2cos6x【解析】由已知得，0,02A所以3 cossin2cos6xxx7.在 ABC 中，若52,124ABBC，则 BC _；【答案】6【解析】51243ABC由正弦定理得 sinsinABBCCA，所以2sinsin36sinsin 4ABABCC，故答案为：68.在 ABC 中，4cosbaCab，则cosC 取最小值时，C _；【答案】3C【解析】由题意可得:224cosaCabb 22222

10、42ababcabab 22212cab2221121122cos2222ababcCababab当且仅当 ab时取等号，3C9.已知,R 10sin2cos2，则 tan2 的值是_；【答案】34【解析】已知等式两边平方得:222(sin2cos)sin4sincos4cos52变形得：2222sin4sincos4cossincos22tan4tan45tan12整理得：23tan8tan30 即(3tan1)(tan3)0解得：1tan3 或 tan3，当1tan3 时，22122tan33tan 21 tan4113 ；当 tan3 时，22tan2 33tan21 tan1 94；故

11、答案为：3410.如果锐角 满足sin logtan 4cot,3 则tanlogcos 的值是_；【答案】1logcos2tan【解析】锐角 满足(tancot)3logsin,4 34(tancot)sin,即431sin(tancot)所以431sinsincoscossin所以334sincossin，3cossin 是锐角，cos0,2sincostancos2tancoscos11logcoslogcoslogcos22，综上所述，结论是：1logcos.2tan 11.已知(,)，满足 tan 是关于方程2210cosxx 的两个根中较小的根，则的值为_；【答案】56【解析】ta

12、n 是方程2210cosxx 的较小根，且由根与系数的关系可知两根乘积为 1,方程的较大根是1tan12tan,tancos sincos2,cossincos 即12coscossin 1sin,226k 或72()6kkZ当72()6kkZ时，3tan3，13tan；当2()6kkZ时，3tan3 ，13tan ；则1tantan，不合题意.72()6kkZ 5(,),6 12.在 ABC 中,90,CM是 BC 的中点，若1sin,3BAM则sinBAC _；【答案】63【解析】在 AMB 中，2sinsinsin3BMABcAMBBAMAMBa，又由 Rt AMC 可得，2442222

13、sinsin440234bcAMCAMBaa bbabaab 其中222cab，所以sinBAC2633abcb.二、选择题（本题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）.13 已知角 的终边经过 sin15,cos15P，则2sin A.0 B.34C.1324D.1324【答案】D【解析】因角 的终边经过点sin15,cos15P,则cos15cos15tansin15sin15，故2222222222cos 15sintansin 15sincos 15sincostan11sin 152222cos 151 cos3013cos 15sin 15cos 15224.综上所述，答案选

14、择：D14.一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1 减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去。若第一次输入的是2cos ，则第 2021 次输出的是（）22221.tan.cot.cos.sinABCD【答案】A【解析】由已知可得第一次输出的是22111 cossin，第二次输出的是221tan11sin，第三次输出的是22o11 tanc s .于是，可知周期为 3，所以第 2021 次 输出的是2tan，答案为 A15.在ABC 中，已知 tansin2ABC，给出以下四个论断：tancot1AB；0sinsin2AB；22sincos

15、1AB222coscossinABC其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、4【答案】A【解析】tansin2ABC，所以sin22sincos22cos2ABABABAB整理求得2cos22AB，90AB由 tancotAB，可得：tantan1,tanABB不一定等于cotB，故不正确;由上可得：sinsinsincos2 sin45ABAAA由 4545135A，故有2sin4512A，1sinsin2,AB 所以不正确22222sincossinsin2sinABAAA，不一定等于 1，故不正确;222222coscoscossin1,sinsin 901ABABC所以222cosc

16、ossin,ABC所以正确。故选：A16.如果111A B C的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则()A、111A B C和222A B C都是锐角三角形B、111A B C和222A B C都是钝角三角形C、111A B C是锐角三角形和222A B C是钝角三角形D、111A B C是钝角三角形和222A B C是锐角三角形【答案】C【解析】因为222A B C的三个内角的正弦值大于0，所以111A B C的三个内角的余弦值大于 0，所 以111A B C是 锐 角 三 角 形，若222A B C是 锐 角 三 角 形，则211211211sincossin2s

17、incossin2sincossin2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么2222ABC，与三角形内角和为，若222A B C是直角三角形，可设2A 为直角，所以21sincosAA，即10A，不合题意，舍；显然222A B C只能钝角三角形，故选 C三、解答题（本大题共 4 小题，满分 48 分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分.17.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分。（1）已知3tan34，求23sinsincos()sinsin 22cos的值。（2）已知ABC 中，tantan33

18、tantanABAB，且3sincos4BB，判断ABC 的形状，并说明理由。【解析】（1）3tantan34tan3tan2341tantan4 原式2222223sinsincossincos2sincos51sincoscos5 化简（1 的代换)（2）tantan3(tantan1)tan()31 tantan1 tantanABABABABAB tan()3tan33CCC 3sin 22sincos2BBB且2(0,2)B，所以 23B或 2,3即6B或 3，当6B，则2A，此时 tan A 无意义，矛盾。当3B，则3A，满足题意，此时 ABC 是正三角形。18.（本题满分 10

19、分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分。在 ABC 中，三条边对应分边长分别是,3,2 6,2.a b c abBA （1）求cos A的值（2）求 c 的值.【解析】（1）由正弦定理得到32 62sincos2 66cossinsin 2sin33AAAAAA（2）26312 2cossin,coscos22cos1,sin3333AABAAB 所以在 ABC 中，5 3sinsin()sincoscossin9CABABAB所以sin5sinaCcA19.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分。在一个特定的时段内

20、，以点 E 为中心的 7 海里以内的海域被设为警戒水域。点 E 的正北 55 海里处王个雷达观测站 A。某时刻测得一艘勿速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距40 2 有海里的位置 B。经过 40 分钟又测得该肌已经行驶到点 A 北偏东 45（其中26sin26，090且与点 A 相距10 13 海里的位置C；（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。【解析（1）由己知可得5cos26，由余弦定理得500BC 所以该船的航行速度2500/15 53v(海里/小时)（2）由 sinsinBCACB 得到

21、1sin10B，则3cos10B，过 E 作 BC 延长线的衷线交于 F 点，BC 延长线交 x 轴与 D 点.则21sinsin(cossin)425ADBBBB由 sinsinADABBADB得到40AD.所以点 E 到直线 BD 的距离：1sin(5540)3 575dDEADB，所以船不改变行吏方向，它将进入警戒水域20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 8 分。对于任意(),yf x xD，若存在0 xD，使得001(1)f xf xf，则称()f x 具有性质 P 记()()Mf xf xP具有性质。（1）判断()

22、lgf xx和2()2xg xx是否属于集合 M（2）设(),21xaf xM求实数 a 的取值范围（3）已知(0,1x时，2()882f xxx；且对任意(1,1x,都有(1)()(1)f xf xf，令()()1,h xf xkxkR，试讨论函数(),(1,1yh x x 的零点个数。【解析】（1）若假设()f xM，则存在00 x 有000lg1lg000 xxx与00 x 矛盾.所以()f xM.假设存在0 xR，有00022120000213 222210.xxxxxxx 易知00 x 是其解，所以()g xM（2）因为()21xaf xM，所以存在 xR有12121 3xxaaa当

23、0a，式是参成立.当0,a 由式可以得到121321xxa有解。令21(1,)xt ，则11,1132122attt，所以3,32a综上所述，30,32a（3）任意(1,0),1(0,1)(1,0)xxx ，且有(1)()(1)f xf x f，则有22(1)8(1)8(1)2()441()2f xxxf xxxf x令0 x 得到(1)(0)(1)fff，又因为(1)20f，所以(0)1f所以22441(1,0)()10882(0,1xxxf xxxxx 令()()10h xf xkx 当0,(0)0 xh，所以0 x 是()h x 的零点 当0 x 时，44,(1,0)()1()188,(0,1xxf xkg xxxxx 易知，(,4 28),1k 个4 284,),2k 个(4 28,0(1,4),3k 个(0,1,4k 个