专题 直角三角形斜边上的中线的运用（解析版）.docx

1、八年级下册数学第十八章 平行四边形专题 直角三角形斜边上的中线的运用题型一 利用直角三角形斜边上的中线求线段长【例题1】（2022春镇江期末）如图，在RtABC中，ACB90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点若CD5，则EF的长为 【分析】已知CD是RtABC斜边AB的中线，那么AB2CD；EF是ABC的中位线，则EF应等于AB的一半【解答】解：ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，CD=12AB，又EF是ABC的中位线，AB2CD2510cm，EF=12105cm故答案为：5【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的

2、中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半【变式1-1】如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，E是AC的中点若DE3，则AB的长为 【分析】根据垂线的性质推知ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC6；最后由等腰三角形ABC的两腰ABAC，求得AB6【解答】解：在ABC中，ADBC，垂足为D，ADC是直角三角形；E是AC的中点DE=12AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），又DE3，ABAC，AB6，故答案为：6【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边

3、的一半是解题的关键【变式1-2】（2022秋海口期末）如图，在ABC中，AD平分BAC，BDAD于点D，过点D作DEAC，交AB于点E，若AB6，则DE的长为（）A2.5B3C3.5D4【分析】求出CADBADEDA，推出AEDE，求出ABDEDB，推出BEDE，求出AEBE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可【解答】解：AD平分BAC，BADCAD，DEAC，CADADE，BADADE，AEDE，ADDB，ADB90，EAD+ABD90，ADE+BDEADB90ABDBDEDEBEAB6，DEBEAE=12AB3，故选：B【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行

4、线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键【变式1-3】如图，在RtABC中，ACB90，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD2，CE5，则CD（）A2B3C4D23【分析】根据直角三角形的性质得出AECE5，进而得出DE3，利用勾股定理解答即可【解答】解：在RtABC中，ACB90，CE为AB边上的中线，CE5，AECE5，AD2，DE3，CD为AB边上的高，在RtCDE中，CD=CE2DE2=5232=4，故选：C【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AECE5【变式1-4】如图，在ABC中，D是BC上一点，ABAD，E、F

5、分别是AC、BD的中点，EF2，则AC的长是（）A3B4C5D6【分析】连接AF由ABAD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AFBD再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC2EF4【解答】解：如图，连接AFABAD，F是BD的中点，AFBD在RtACF中，AFC90，E是AC的中点，EF2，AC2EF4故选：B【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半利用等腰三角形三线合一的性质得出AFBD是解题的关键【变式1-5】（2022秋工业园区校级期中）如图ADBACB90，E、F分别是AB、CD的中点，若AB26，CD24，则

6、DEF的周长为（）A12B30C27D32【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论【解答】解：ADBACB90，F是AB的中点，AB26，DFCF=12AB=122613，CDF是等腰三角形点E是CD的中点，CD24，EFCD，DE=12CD12在RtDEF中，DE=DF2DE2=132122=5，DEF的周长为：DF+DE+EF13+12+530故选：B【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键【变式1-6】（2022春南岗区校级期中）如图，ABC中

7、，ACB90，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD4，AE5，则AC（）A3B245C5D247【分析】由直角三角形斜边上的中线可求AB8，根据线段垂直平分线的性质可得BEAE5，再利用勾股定理求得CE的长，进而可求解AC的长【解答】解：ACB90，D是AB的中点，CD4，AB2CD8，EDAB，DE垂直平分AB，BEAE5，AC2AE2CE2AB2BC2，52CE282（5+CE）2，解得CE1.4，AC=52142=245故选：B【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键【变式1-7】（2021

8、饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，ABAC，BC6，三角形DEF的周长是7，AFBC于F，BEAC于E，且点D是AB的中点，则AF（）A5B7C3D7【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DEDF=12AB，EF=12BC，然后代入数据计算即可得解【解答】解：AFBC，BEAC，D是AB的中点，DEDF=12AB，ABAC，AFBC，点F是BC的中点，BFFC3，BEAC，EF=12BC3，DEF的周长DE+DF+EFAB+37，AB4，由勾股定理知 AF=AB2BF2=7，故选：B【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记

9、各性质是解题的关键【变式1-8】如图，在ABC中，CFAB于F，BEAC于E，M为BC的中点，EF7，BC10，则EFM的周长是（）A17B21C24D27【分析】根据CFAB于F，BEAC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解【解答】解：CFAB，M为BC的中点，MF是RtBFC斜边上的中线，FM=12BC=12105，同理可得，ME=12BC=12105，又EF7，EFM的周长EF+ME+FM7+5+517故选：A【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的

10、一半，求出FM和ME的长题型二 利用直角三角形斜边上的中线求角度【例题2】（2022秋莲湖区期中）如图所示，在RtABC中，ACB90，A62，CDAB，垂足为D，点E是BC的中点，连接ED，则EDB的度数是 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得B28，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得EDEB，从而利用等腰三角形的性质即可解答【解答】解：ACB90，A62，B90A28，CDAB，CDB90，点E是BC的中点，EDEB=12BC，EDBB28，故答案为：28【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键【变式2-1】如图，在RtABC中，B

11、AC90，AD是BC边上的中线，EDBC于D，交BA延长线于点E，若E35，则BDA的度数是 【分析】根据直角三角形的性质得到DADB，根据三角形内角和定理计算即可【解答】解：E35，EDBC，B55BAC90，AD是BC边上的中线，DADB，BDAB55，BDA180555570故答案为：70【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键【变式2-2】（2022秋仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若BAD52，则EBD 【分析】根据已知条件可以判断EAEBECDE，根据三角

12、形外角定理可得到：DECDAE+ADE2DAE，同理BEC2BAE，DEB2DAE+2BAE2DAB104，在等腰三角形BED中，已知顶角，即可求出底角EBD的度数【解答】解：ABCADC90，EAEBECDE，DAEEDA，BAEEBA，在AED中，DECDAE+ADE2DAE，同理可得到：BEC2BAE，DEBDEC+BEC2DAE+2BAE2（DAE+BAE）252104，在等腰三角形BED中，EBD=12(180104)=38；故答案是：38【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键【变式2-3】（2022碑林区校级模拟）如图，ABC中，C

13、DAB，垂足为D，E为BC边的中点，AB4，AC2，DE=3，则ACD（）A15B30C22.5D45【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC2DE23，再利用勾股定理的逆定理得出ACB90，由AB2AC可求解ABC30，然后根据同角的余角相等即可得出ACDABC即可求解【解答】解：CDAB，E为BC边的中点，DE=3，BC2DE23，AB4，AC2，AC2+BC24+1216AB2，ABC是直角三角形，且ACB90，且ABC30，ACD+BCD90，ABC+BCD90，ACDABC30故选：B【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余

14、角的性质，证明ABC是直角三角形是解题的关键【变式2-4】（2021秋潍坊期末）如图，四边形ABCD中，ADCABC90，E为对角线AC的中点，DAC30，CAB40，连结BE，DE，BD，则BDE 度【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AEBEDE=12AC，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得BEC80，CED60，那么BED140，然后在等腰BDE中即可求出底角BDE的度数【解答】解：ADCABC90，E为对角线AC的中点，AEBEDE=12AC，ABECAB40，ADEDAC30，BECABE+CAB80，CEDADE+DAC60，BEDBEC+CED140BE

15、DE，BDEDBE=180BED2=20故答案为：20【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键【变式2-5】如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，ACD3BCD，E是斜边AB的中点，ECD是 度【分析】先求出BCD和ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CEBE，根据等边对等角可得BCEB，再求出ECD45【解答】解：ACB90，ACD3BCD，BCD9011+3=22.5，ACD9031+3=67.5，CDAB，B9022.5

16、67.5，E是AB的中点，ACB90，CEBE，BCEB67.5，ECDBCEBCD67.522.545，故答案为：45【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键【变式2-6】（2021秋温州期中）如图，在ABC中，ACB90，CAB30以AB长为一边作ABD，且ADBD，ADB90，取AB中点E，连DE、CE、CD则EDC 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到ECEAEB=12AB，根据三角形的外角的性质求出CEB60，根据直角三角形的性质得到EDEC，根据三角形内角和定理计算

17、即可【解答】解：ACB90，点E是AB中点，ECEAEB=12AB，ECACAB30，CEB60，ADBD，点E是AB中点，DEAB，即AED90，DEC180906030，ADB90，点E是AB中点，DE=12AB，EDEC，EDC75，故答案为：75【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键【变式2-7】如图，在四边形ABCD中，BCDBAD90，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若BEC80，那么GHE等于（）A5B10C20D30【分析】连接AH，CH，根据在四边形ABCD

18、中，BCDBAD90，H是BD的中点可知AHCH=12BD，再由点G时AC的中点可知HG是线段AC的垂直平分线，故EGH90，再由对顶角相等可知GEHBEC80，由直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：连接AH，CH，在四边形ABCD中，BCDBAD90，H是BD的中点，AHCH=12BD点G时AC的中点，HG是线段AC的垂直平分线，EGH90BEC80，GEHBEC80，GHE908010故选：B【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键【变式2-8】（2022秋市中区校级月考）如图，已知ABC中，ACB90，O为AB的中点，

19、点E在BC上，且CEAC，BAE15，求COE的度数【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CAEAEC45，求得CAB60，得到B30，根据直角三角形的性质得到COBOAO=12AB，得到AOC是等边三角形，OCBB30，于是得到结论【解答】解：ACB90，CEAC，CAEAEC45，BAE15，CAB60，B30，ACB90，O为AB的中点，COBOAO=12AB，AOC是等边三角形，OCBB30，ACOCCE，COECEO=12（18030）75【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键题型三 利用直角三角形斜边上的中线性质

20、证明【例题3】如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MDMB；（2）MNBD【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明；（2）根据等腰三角形的三线合一证明【解答】证明：（1）ABCADC90，M是AC的中点，BM=12AC，DM=12AC，DMBM；（2）由（1）可知DMBM，N是BD的中点，MNBD【点评】此题主要是运用了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，题目难度不大【变式3-1】（2022春零陵区校级期中）如图，ABC中，BE平分ABC，BEAF于F，D为AB中点，请说明DFBC的理由【分析】根

21、据在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半得，BDDF，DFBDBF，根据角的平分线的定义知FBCFBD，DFBFBC，再根据内错角相等两直线平行得DFBC【解答】解：在直角AFB中，点D是斜边上的中点，DFBD=12AB，DFBDBF，BE平分ABC，FBCFBD，DFBFBC，DFBC【点评】本题的关键是明白在直角三角形的性质中斜边上的中线是斜边的一半，角的平分线的定义，平行线的判定中内错角相等，两直线平行注意等边对等角的运用【变式3-2】（2021秋虹口区校级期末）如图，已知ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE【分析】连接EN、DN、EM、D

22、M，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得AECADBBECBDC90，根据M，N为BC，AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得ENDN，EMDM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上，得证【解答】证明：连接EN、DN、EM、DM，BDAC，CEAB，AECADBBECBDC90，M、N是BC、AO的中点，EN=12AO，DN=12AO，EM=12BC，DM=12BC，ENDN，EMDM，M、N在线段DE的垂直平分线上，MN垂直平分DE【点评】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题

23、的关键【变式3-3】如图，ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DCBF，点E是CF的中点（1）求证：DECF；（2）求证：B2BCF【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF=12ABBF，进而证明DCDF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到FDB2DFC，根据等腰三角形的性质证明结论【解答】证明：（1）连接DF，AD是边BC上的高，ADB90，点F是AB的中点，DF=12ABBF，DCBF，DCDF，点E是CF的中点DECF；（2）DCDF，DFCDCF，FDBDFC+DCF2DFC，DFBF，FDBB，B2BCF【点评】本题考查的是直

24、角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键【变式3-4】如图，在ABC中，BAC90，AD是中线，E是AD中点，过A作AFBC交BE的延长线于点F，连接CF（1）求证：ADAF；（2）如果ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论【分析】（1）由E是AD的中点，AFBC，易证得AEFDEB，即可得AFBD，又由在ABC中，BAC90，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得ADBDCD=12BC，即可证得：ADAF；（2）当ABAC时，四边形ADCF是矩形由AFBDDC，AFBC，可证得：四边形ADCF是平行四边形

25、，又由ABAC，根据三线合一的性质，可得ADBC，ADDC，继而可得四边形ADCF是正方形【解答】（1）证明：AFBC，EAFEDB，E是AD的中点，AEDE，在AEF和DEB中，EAF=EDBAE=DEAEF=DEB，AEFDEB（ASA），AFBD，在ABC中，BAC90，AD是中线，ADBDDC=12BC，ADAF；（2）当ABAC时，四边形ADCF是正方形AFBDDC，AFBC，四边形ADCF是平行四边形，ABAC，AD是中线，ADBC，ADAF，四边形ADCF是正方形【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中【变式3-5】在RtABC

26、中，ABC90，BD为ABC的角平分线，F为AC的中点，AEBC交BD的延长线于点E，其中FBC2FBD（1）求EDC的度数（2）求证：BFAE【分析】（1）由角平分线的性质可得ABDDBC45，可求FBD15，FBC30，由直角三角形的性质可得CFBC30，即可求解；（2）由直角三角形的性质可得BFAB，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得ABAE，可证BFAE【解答】解：（1）ABC90，BD为ABC的角平分线，ABDDBC45，FBC2FBDFBD15，FBC30，ABC90，点F是AC中点，AFBFCF，CFBC30，EDCC+DBC75；（2）C30，ABC90，AC2AB，ABAF

27、BF，AEBC，EDBC45ABD，ABAE，AEBF【点评】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键【变式3-6】已知，如图，在RtABC中，C90，点E在AC上，AB=12DE，ADBC求证：CBA3CBE【分析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出AFDFFE=12DE，推出DFAFAB，根据等腰三角形的性质求出DDAF，AFBABF，求出ABF2D，CBED，即可得出答案【解答】证明：取DE的中点F，连接AF，ADBC，ACB90，DAEACB90，AFDFEF=12DE，AB=12DE，DFAFAB，DDAF，AFBABF，

28、AFBD+DAF2D，ABF2D，ADBC，CBED，CBACBE+ABF3CBE【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中【变式3-7】如图，已知四边形ABCD中，ABCADC90，点E是AC中点，点F是BD中点（1）求证：EFBD；（2）过点D作DHAC于H点，如果BD平分HDE，求证：BABC【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）设AC，BD交于点O，根据垂直的定义得到DHOEFO90，根据等腰三角形的性质得到EDOEBO，由角平分线的定义得到HDFBDE，根据等腰三角形

29、的判定定理即可得到结论【解答】（1）证明：ABCADC90，点E是AC中点，DE=12AC，BE=12AC，DEBE，点F是BD中点，EFBD；（2）证明：设AC，BD交于点O，DHAC，EFBD，DHOEFO90，DOHBOE，HDFOEF，DEBE，EDOEBO，BD平分HDE，HDFBDE，OEFOBE，OEF+EOF90，EOF+EBO90，BEO90，BEAC，BABC【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键【变式3-8】（2021安顺模拟）如图，在ABC中，点D在AB上，且CDCB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于

30、点M，连接AM（1）求证：EF=12AC；（2）若EFAC，求证：AM+DMCB【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CEBD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=12AC；（2）根据“SAS”证明AFMCFM，可得AMCM，进而可得结论【解答】（1）证明：连接CE，如图，CDCB，E为BD的中点，CEBD，F为AC的中点，EF=12AC；（2）证明：EFAC，AFMCFM，F为AC的中点，AFCF，MFMF，AFMCFM（SAS），AMCM，CDDM+MC，CDDM+AM，BCDC，AM+DMCB【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与

31、性质，灵活应用定理是解决本题的关键【变式3-9】（2022秋宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点（1）求证：MNDE（2）连接DM，ME，猜想A与DME之间的关系，并证明你的猜想（3）当BAC变为钝角时，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM=12BC，ME=12BC，得到DMME，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论；（3）仿照（2）的计算过程解答即可

32、得到结论【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，DM=12BC，ME=12BC，DMME，又N为DE中点，MNDE；（2）在ABC中，ABC+ACB180A，DMMEBMMC，BMD+CME（1802ABC）+（1802ACB）3602（ABC+ACB）3602（180A）2A，DME1802A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在ABC中，ABC+ACB180BAC，DMMEBMMC，BME+CMD2ACB+2ABC2（180BAC）3602BAC，DME180（3602BAC）2BAC180【点评】

33、本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键题型四 三角形中位线与直角三角形斜边上的中线综合应用证明角关系【例题4】（2022秋平昌县期末）如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AFCF，若AC3，BC6，则DF的长为（）A1.5B1C0.5D2【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可【解答】解：D、E分别为AB、AC的中点，BC6，DE=12BC3，AFCF，AFC90，E为AC的中点，AC3，FE=12AC1.5，DFDEFE1.5，故选：A【点评】本题考查的是三角形中

34、位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键【变式4-1】（2022春南岗区校级期中）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接AF、CF，若AFC90，DF1，AC6，则BC的长度为（）A2B3C4D5【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案【解答】解：在RtAFC中，AFC90，E是AC的中点，AC6，则EF=12AC3，DF1，DE312，D，E分别是AB，AC的中点，DE是ABC的中位线，BC2DE4，故选：C【点评】本题考查的是三角形中位

35、线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键【变式4-2】（2022金乡县三模）如图，在ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB8，AC6，则DEF的周长为 【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得：BC=AB2+AC2=82+62=10，ADBC，ADBADC90，E、F分别是AB、AC边的中点，AB8，AC6，BC10，DE=12AB4，DF=12AC3，EF=12BC5，DEF的周长EF+D

36、E+DF5+4+312，故答案为：12【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键【变式4-3】如图，ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作RtADB和RtAEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（）A6B7C8D9【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=12AB，EH=12AC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=12BC，然后求出DG+GH+EH的值为ABC的一半【解答】解：G、H分别为AB、AC的中点，

37、ADB和AEC为直角三角形，DG=12AB，EH=12AC，GH为ABC的中位线，GH=12BC，DG+GH+EH=12（AB+AC+BC）=12168故选：C【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键【变式4-4】（2022春大足区期末）如图，在RtABC中ACB90，A30，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=12BC，若EF2，则DE的长为（）A2B1C3D3+1【分析】连接CD，根据三角形中位线定理得到DEBC，DE=12BC，根据平行四边形的性质求出CD，根据直角三角形

38、斜边上的中线的性质求出AB，根据含30角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DE【解答】解：连接CD，点D，E分别是边AB，AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，DE=12BC，CF=12BC，DECF，四边形DEFC为平行四边形，CDEF2，在RtACB中，ACB90，点D是边AB的中点，则AB2CD4，在RtACB中，ACB90，A30，则BC=12AB2，DE=12BC1，故选：B【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键【变式4-5】（2021春赣榆区期中）如图，在ABC中，

39、E、F分别是AB、AC的中点，延长EF交ABC的外角ACD的平分线于点GAG与CG有怎样的位置关系？证明你的结论【分析】利用三角形中位线定理推知EFBC所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得FGFC又由AFCF，则FG是ACG中AC边上的中线，且FG=12AC，则AGC是直角三角形【解答】解：AGCG，理由：E、F分别是AB、AC的中点，EF是ABC的中位线，AFCF，EFBC，FGCGCDCG平分ACD，FCGGCD，FCGFGC，FGFC又AFCF，FG是ACG中AC边上的中线，且FG=12AC，AGC是直角三角形，AGCG【点评】本题考查了三角形中位线定理、直

40、角三角形斜边上的中线定理一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形该定理可以用来判定直角三角形【变式4-6】（2022春海淀区校级期中）如图，在ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF5，BF12，AB13，BC19，求DF的长度【分析】由三角形中位线定理求出DE，由勾股定理逆定理证得ABF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线定理求出EF，即可求出DF的长度【解答】解：点D，点E分别是边AC，AB的中点，DE是ABC的中位线，DE=12BC=1219=192，在ABF中，AF2+BF252+122169132，AB213

41、2，AF2+BF2AB2，AFB90，EF=12AB=1213=132，DFDEEF=192132=3【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，勾股定理逆定理，灵活运用这三个定理是解决问题的关键【变式4-7】（2022春徐州期中）已知：如图，在ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高（1）求证：DHEF；（2）求证：DHFDEF【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF=12AB，根据直角三角形的性质得到DH=12AB，证明结论；（2）连接DF，证明DHFDEF，证明结论【解答】证明：（1）E、F分别是边BC、AC的中点，EF=12AB，AHBC，D是AB的中点，D

42、H=12AB，DHEF；（2）连接DF，由（1）得，DHEF，同理DEHF，在DHF和DEF中，DH=FEHF=EDDF=FD，DHFDEF，DHFDEF【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键【变式4-8】（2021春罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，ABC90，ACAD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN（1）求证：BMMN；（2）若BAD60，AC平分BAD，AC2，写出求BN长的思路【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BM=12AC，根据三角形中位线定理得到MN=12AD，根据题意证明；（2）证明NMB是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可【解答】（1）证明：ABC90，M为AC中点，BM=12AC，M为AC中点，N为DC中点，MN=12AD，ADAC，BMMN；（2）解：BAD60，AC平分BAD，DACCAB30，BMAM=12AC1，MABMBA30，CMB60根据三角形中位线定理得，MNAD，MN=12AD1，DACNMC30，NMB是等腰直角三角形，由勾股定理得，BN=12+12=2.【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键