专题01 等腰三角形与直角三角形（解析版）-八年级数学下册压轴题专题精选汇编（北师大版）.docx

1、北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编专题01 等腰三角形与直角三角形一、选择题1（2022八下长兴开学考）如图，在ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，若A=40，则EDF等于（）A40B50C60D70【答案】D【完整解答】解：AB=AC，A=40，B=C=70，又BE=CD，BD=CF，BEDCFD（SAS），BED=CDF，BED+B=EDF+CDF，B=EDF=70，故答案为：D.【思路引导】利用等腰三角形性质和内角和定理求得B=C=70，结合BE=CD，BD=CF可证明BEDCFD，再由全等三角形性质和外角定理性质可得B=EDF即可解决问题.2（2021八上海曙期末）如图

2、，在 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 和 的延长线于 ， ，当点 在 延长线上时， ， ， 的关系为（） A = B = C = D = 【答案】A【完整解答】解：连接CD，RtABC中，AC=BC，点D为AB的中点，CD=DB，DBC=ACD=45，CDB=EDF=90，DCE=180-45=135，DBF=180-45=135，DCE=DBF，在CDE和BDF中，CDEBDF（ASA），.故答案为：A.【思路引导】连接CD，利用等腰直角三角形的性质可证得CD=DB，DBC=ACD=45，CDB=EDF=90，由此可推出CDE=BDF，再利用ASA证明CDEBD

3、F，利用全等三角形的面积相等，可得到，由此可证得结论.3（2021八上鄞州期末）如图，在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，将ABC绕点B顺时针旋转60，得到BDE，连接DC交AB于点F，则ACF与BDF的周长之和为（） A44B43C42D41【答案】C【完整解答】解：BDE由BCA旋转得出，BDBC12.CBD60，BCD为等边三角形，CDBC12.在RtABC中，ACB90，AC5，BC12，AB 13，CACF+CBDFAC+CF+AF+BF+DF+BDAC+AB+CD+BD5+13+12+1242.故答案为：C.【思路引导】根据旋转的性质可得BDBC12，推出BCD为等边三角

4、形，得到CDBC12，利用勾股定理求出AB，进而可将ACF与BDF的周长之和转化为AC+AB+CD+BD，据此计算.4（2021八上开化期末）如图，在ABC中，AB=AC，A=36，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则ABD等于（)A36B46C54D72【答案】A【完整解答】解：AB=AC，A=36，C=72，BC=BD，BDC=C=72，ABD=BDC-A=36.故答案为：A.【思路引导】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出C的度数，再根据等腰三角形的性质求出BDC，最后根据三角形外角的性质求ABD的度数即可.5（2022八下）如图，在四边形ABCD中，AD=B

5、C，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若DAC=20，ACB=84，则FEG等于（）A32B38C64D30【答案】A【完整解答】AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点， GF是ACD的中位线，GE是ACB的中位线，GF=AD，GFAD，GE=BC，GEBC.又AD=BC，GF=GE，EFG=FEG，FGC=DAC=20，AGE=ACB=84，FGE=FGC+EGC=20+（180-84）=116，FEG=（180-FGE）=32。故答案为：A.【思路引导】利用已知可证得 GF是ACD的中位线，GE是ACB的中位线，利用三角形的中位线定理去证明GF=GE，GFAD，GEBC；

6、再利用等边对等角可求出FGC，AGE的度数，同时可证得EFG=FEG；再求出FGE的度数，然后利用三角形的内角和定理求出FEG的度数.6（2021八上瓯海月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），在坐标轴上确定一点B，使AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）个A5B6C7D8【答案】D【完整解答】若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，B是以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，共有2个（除O点）；当O是顶角顶点时，B是以O为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点，有4个；若OA是底边时，B是OA的中垂线与坐标轴的交点，有2个.以上8个交点没有重合的，故符合条件的点有8个.故

7、答案为：D.【思路引导】利用“两圆一线”法，分三种情况确定B点的个数，以A为圆心，AO为半径画圆交坐标轴2个点（除O点）；以O为圆心，OA为半径画圆交坐标轴4个点；作AO的垂直平分线，垂直平分线交坐标轴2个点，所以一共有8个点.7（2021八上衢江月考）如图，在RtABC中，CBA60，斜边AB10，分别以ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5（）A50B50C100D100【答案】B【完整解答】解：在RtABC中，CBA60，斜边AB10，BCAB5，AC5，过D作DNBF于N，连接DI，在ACB和BND中

8、，ACBBND（AAS），同理，RtMNDRtOCB，MDOB，DMNBOC，EMDO，DNBCCI，DNCI，四边形DNCI是平行四边形，NCI90，四边形DNCI是矩形，DIC90，D、I、H三点共线，FDIO90，EMFDMNBOCDOI，FMEDOI（AAS），图中S2SRtDOI，SBOCSMND，S2+S4SRtABC，S3SABC，在RtAGE和RtABC中，RtAGERtACB（HL），同理，RtDNBRtBHD，S1+S2+S3+S4+S5S1+S3+（S2+S4）+S5RtABC的面积+RtABC的面积+RtABC的面积+RtABC的面积RtABC的面积4552450.故答

9、案为：B.【思路引导】过D作DNBF于N，连接DI，证明ACBBND，RtMNDRtOCB，FMEDOI，由于S2SRtDOI，SBOCSMND，得出S2+S4SRtABC，S3SABC，再证明RtAGERtACB，RtDNBRtBHD，由于S1+S2+S3+S4+S5S1+S3+（S2+S4）+S5RtABC的面积+RtABC的面积+RtABC的面积+RtABC的面积RtABC的面积4，据此即可求解.8（2021八上如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论： ； 为等边三角形； ； 其中正确的结论是（） ABCD【答案】C【完整解答】解：

10、如图，连接BP，ACBC，ABC30，点D是AB的中点，CABABC30，ADBD，CDAB，ACDBCD60，CD是AB的中垂线，APBP，而APPE，APPBPEPABPBA，PEBPBE，PBA+PBEPAB+PEB，ABCPAD+PEC30，故正确；PAPE，PAEPEA，ABCPAD+PEC30，PAE+PEA 而 PAE是等边三角形，故正确；如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P，连接PA，APAP，PADPAD，PAE是等边三角形，AEAP，AEAP，CADCAP+PAD30，2CAP+2PAD60，CAP+PAD+PAD60PAC，PACEAC，ACAC，PACEAC

11、（SAS），CPCE，CECPCP+PD+DPCP+2PD， .故错误；过点A作AFBC，在BC上截取CGCP，CGCP，BCD60，CPG是等边三角形，CGPPCG60，ECPPGB120，且EPPB，PEBPBE，PCEPGB（AAS），CEGB，ACBCBG+CGEC+CP，ABC30，AFBE，AF ABAD，SACB CBAF （EC+CP）AF ECAF+ CPADS四边形AECP，S四边形AECPSABC.故正确.所以其中正确的结论是.故答案为：C.【思路引导】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得CABABC30，ADBD，CDAB，ACDBCD60，进而推出APBP

12、PE，由等腰三角形的性质可得PABPBA，PEBPBE，然后根据角的和差关系可判断；易得PAE+PEA120，APE=60，据此判断；延长PD至P，使PD=PD，则点P关于AB的对称点为P，连接PA，由等边三角形的性质可得AEAP，则AEAP，推出PACEAC，证明PACEAC，得到CPCE=CP+2PD，据此判断；过点A作AFBC，在BC上截取CGCP，则CPG是等边三角形，则CGPPCG60，证明PCEPGB，得到CEGB，推出ACBCEC+CP，根据含30角的直角三角形的性质可得AFABAD，据此不难判断.9（2021八上盐湖期中）有一题目：“如图，ABC=40，BD平分ABC，过点D作

13、DEAB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求DFB的度数”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得DFB=DEB结合平行线的性质可求得DFB=140而小军说：“小贤考虑的不周全，DFB还应有另一个不同的值”下列判断正确的是（） A小军说的对，且DFB的另一个值是40B小军说的不对，DFB只有140一个值C小贤求的结果不对，DFB应该是20D两人都不对，DFB应有3个不同值【答案】A【完整解答】解：如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ， ， 平分 ，由图形的对称性可知： ， ， ， ， ，当点F位

14、于点 处时， ， 故答案为：A【思路引导】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求DFB=140，当点F位于点 处时，由DF=DF可求出DFB的度数.10（2021八上龙沙期中）如图，已知MON30，点A1、A2、A3在射线N上，点B1、B2、B3在射线OM上；A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形若OA11，则A2020B2020A2021的边长（） A22019B4040C4038D22020【答案】A【完整解答】解：A1B1A2为等边三角形，B1A1A2=60，OB1A1=B1A1A2-MON=30，OB1A1

15、=MON，A1B1=OA1=1，同理可得，A2B2=OA2=2，A3B3=OA3=4=22，A2020B2020A2021的边长=22019，故答案为：A【思路引导】根据等边三角形的性质得出B1A1A2=60，根据三角形的外角性质求出OB1A1，OB1A1=MON，根据等腰三角形的判定定理得出A1B1=OA1=1，总结规律，根据规律解答即可。二、填空题11等腰三角形的一边长是2cm，另一边长是4cm，则底边长为 cm.【答案】2【完整解答】解：当底边为2cm时，则腰长为4cm，4+42，符合三角形的三边关系；当底边为4cm时，则腰长为2cm，2+2=4，不符合三角形的三边关系，所以底边不能够为

16、4cm，综上，底边只能为2cm.故答案为：2.【思路引导】分情况讨论：当腰长为2，底边长为4时；当底边长为2，腰长为4时；利用三角形三边关系定理，可得到符合题意的底边长.12（2021八上鄞州期末）如图，ABC中，ABAC13，BC24，点D在BC上（BDCD），AED与ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DEBC时，ADE的度数为 ，CE的长为 .【答案】135；【完整解答】解：过A作AHBC于H，ABAC13，BC24，BHCH12，AH 5，AED与ACD关于直线AD轴对称，ADCADE，CDDE，DEBC，BDE90，ADE90+ADBAD

17、C，90+ADB180ADB，ADB45，AHC90，ADBHAD45，AHHD5，ADEADB+BDE135，BD12+517，CDDE24177，CE 7.故答案为：135，7 .【思路引导】过A作AHBC于H，根据等腰三角形的性质可得BHCH12，由勾股定理求出AH，根据轴对称的性质可得ADCADE，CDDE，易得BDE90，ADB45，ADBHAD45，则AHHD5，ADEADB+BDE，BD12+517，CDDE7，然后利用勾股定理就可求出CE.13（2022八下）在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，EBD=28，则A的度数为 。【答案】59或31【完整解答】解：如图1，B

18、E是AD边上的高，BED=90，BDE=90-EBD=90-28=62，AD=BD，A=ABD=（180-62）=59；如图2，同理可得BDE=62，AD=BD，A=ABD=62=31；A的度数为59或31.故答案为：59或31.【思路引导】分情况讨论：分别画出图形，利用高的定义可证得BED=90，利用三角形的内角和定理可求出BDE的度数；利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出A的度数；同理可证得BDE=62，利用三角形的外角的性质可求出A的度数.14（2022八下三角）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，PEF=18，则PFE的度数是

19、。【答案】18【完整解答】解：P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，PF是BDC的中位线，PE是ABD的中位线，PF=BC，PE=AD，AD=BC，PF=PE，PEF=PFE=18.故答案为：18.【思路引导】利用已知条件易证明PF是BDC的中位线，PE是ABD的中位线，再利用三角形的中位线定理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出PFE的度数.15（2022八下）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB=CD=2，BC=5，BAD的平分线交BC于点E，且AECD，则四边形AECD的面积为 。【答案】【完整解答】解：作AHBE，ADBC，AECD，四边形AECD为平

20、行四边形，AE=CD=2，ADBC，AEB=DAE，BAE=DAE，BAE=BEA，AB=BE，AB=BE=AE=2，ABE是等边三角形，EC=BC-BE=5-2=3，AH=AE=，四边形AECD的面积=ECAH=3=3.故答案为： 3.【思路引导】作AHBE，先证明四边形AECD为平行四边形，得出AE=CD=2，再根据平行线的性质和角平分线的定义求出AB=BE，从而求出ABE是等边三角形和EC的长，再根据等边三角形的性质求出AH长，最后计算平行四边形AECD的面积即可.16（2021八上衢江月考）如图，在长方形ABCD中，AB3，BC2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动点.（1）连接DF

21、，则DF+EF的最小值为 ；（2）以EF为斜边向斜上方作等腰RtEFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为 .【答案】（1）（2）【完整解答】解：（1）如图1，作点E关于AB的对称点E，连接DE于AB交于F（图中F），则DE+DF最小值是DE的长，在RtCDE中，CD3，CE3，DE3，故答案是：3；（2）如图，以EF为斜边向斜上方作等腰RtEFG，过点G分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，CD上取DP=1，连接PB，则PC=2=BC，PCB是等腰直角三角形是的角平分线GFE是等腰直角三角，又G点在线段PB上当AGPB时AG取得最小值ABG是等腰直角三角形故答案为：.【思路引导

22、】（1）作点E关于AB的对称点E，连接DE于AB交于F（图中F），则DE+DF最小值是DE的长，利用勾股定理求出DE即可；（2）以EF为斜边向斜上方作等腰RtEFG，过点G分别作AB、CD的垂线，垂足分别为M、N，CD上取DP=1，连接PB，则PC=2=BC，证明GFMGEN，可得GM=GN，得G点在线段PB上，从而得出当AGPB时AG取得最小值，求出此时AG的长.17（2021八上门头沟期末）如图，在AB1C1中，AC1B1C1，C120，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3B2C3，在B3C3上取一点C4

23、，延长AB3到点B4，使得B3B4B3C4，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角AB2C2 ；第n个三角形的内角ABnCn 【答案】40；【完整解答】解：AB1C1中，AC1B1C1，C120，C1B1A ，B1B2B1C2，C1B1A是B1B2C2的外角，B1B2C2 ；同理可得，C3B3B220，C4B3B210，ABnCn故答案为：40，【思路引导】先求出C1B1A80，再找出规律求解即可。18（2021八上建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论

24、： ；图中没有60的角；D、O、C三点共线请你直接写出其中正确的结论序号： 【答案】【完整解答】解：BAC=50，AO为BAC的平分线，BAO= BAC= 50=25又AB=AC，ABC=ACB=65DO是AB的垂直平分线，OA=OB，ABO=BAO=25，OBC=ABC-ABO=65-25=40AO为BAC的平分线，AB=AC，直线AO垂直平分BC，OB=OC，OCB=OBC=40，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，OE=CECOE=OCB=40；在OCE中，OEC=180-COE-OCB=180-40-40=100，OEF= CEO=50，符合题意；OCB=OB

25、C=COE=40，BOE=180-OBC-COE-OCB =180-40-40-40=60, 不符合题意；ABO=BAO=25，DO是AB的垂直平分线，DOB=90-ABO=75，OCB=OBC=40，BOC=180-OBC -OCB=180-40-40=100，DOC=DOB+BOC=75+100=175,即D、O、C三点不共线，不符合题意.故答案为：【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。19（2021八上铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB9，AD12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且DNMDBC，当DMN是等腰三

26、角形时，线段BN的长为 【答案】15或24或【完整解答】解：如图1中，当NM=ND时，NDM=NMD，MND=CBD，BDN=BND，BD=BN=15；如图2中，当DM=DN时，此时M与B重合，BC=CN=12，BN=24；如图3中，当MN=MD时，NDM=MND，MND=CBD，NDM=MND=CBD，BN=DN，设BN=DN=x，在RtDNC中，DN2=CN2+CD2，x2=（12-x）2+92，x=，综上，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或故答案为：15或24或【思路引导】分三种情况：当NM=ND时，当DM=DN时，当MN=MD时，根据等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即

27、可.三、解答题20（2021八上汉阴期末）如图，在 中，D为 的中点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， ，求证： 是等边三角形. 【答案】证明： ， ， BED=CFD=90，在RtBED和RtCFD中， ，RtBEDRtCFD，B=C，AB=AC， ，B=60， 是等边三角形.【思路引导】利用垂直的定义可证BED=CFD=90，利用HL证明RtBEDRtCFD，利用全等三角形的对应角相等，可证得B=C，再求出B=60，即可证得结论.21（2021八上南京期末）如图，已知线段 ，用两种不同的方法作一点 ，使得 . 要求：（1）尺规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.【答案】解：作法

28、一如下，说明：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，作NC=NB，可得CN=AN=NB，ANC=BNC=90，从而ANC和BNC为等腰直角三角形，CAN=BCN=45，所以可得ACB=90；作法二如下，说明：过点A向右上方作射线AM，过点B作AM的垂线与AM交于C，连接BC，则ACB=90.【思路引导】作法一：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，再作NC=NB，可得CN=AN=NB，利用等腰直角三角形的性质，可得到ACB=90；作法二：过点A向右上方作射线AM，利用尺规作图过点B作AM的垂线与AM交于C，连接BC，利用垂直的定义可知ACB=90.22（2021八上南京期末）如图，在 ABC中

29、，C90，按下列要求用直尺和圆规作图.（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；（2）如图，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离.【答案】（1）解：如图，点P即为所求作； （2）解：如图，点Q即为所求作. 【思路引导】（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P在CAB的角平分线上，利用尺规作图，作出CAB的角平分线，交BC于点P；（2）利用已知C=90，AP平分CAB，因此利用尺规作图作出PQBC，交AB于点Q，即可求解.23（2022八下）如图，ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等

30、腰ABM和等腰CAN，AM=AB AC=AN，MAB=CAN.D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF.求证：DE=EF。【答案】证明：如图，连结BN，CM. AM=AB，AC=AN， MAB=CAN，MAB+CAB=CAN+CAB，即MAC=BAN.MACBAN（SAS）.MC=BN.又D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，DE=MC，EF=BN，DE=EF.【思路引导】连结BN，CM，利用等腰三角形的性质及等边对等角可推出MAC=BAN，利用SAS可证得MACBAN，利用全等三角形的性质可证得MC=BN；再利用三角形的中位线定理及等量代换可证得结论.24（2021八上营口期

31、末）如图，在等腰ABC和等腰ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE且C、E、D三点共线，作AMCD于M若BD5，DE4，求CM【答案】解：BACDAE，BACBAEDAEBAE，BADCAE，在AEC和ADB中，AECADB（SAS），又BD5，CEBD5，ADAE，AMCD，DE4，CMCE+EM5+27【思路引导】根据SAS证出AECADB，再根据BD5，ADAE，AMCD，DE4，代入计算即可。25如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，ABBE于B，DEBE于E，且ABDE，BFCE.求证：（1）GFGC；（2）AFGDCG.【答案】（1）证明： ， ，即 ， ，

32、 ，在 和 中， ， ， ， 是等腰三角形， ；（2）证明： ， ，由（1）已证： ， ，即 ，在 和 中， ， .【思路引导】（1）由BF=CE得BC=EF，利用垂直的定义得B=E，再利用SAS证明ABCDEF，利用全等三角形的性质可知ACB=DFE，由此可证得GFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得ACB=DFE，进而根据等角对等边证得结论；（2）利用全等三角形的对应边相等可证得AC=DF，结合（1）的结论可得AG=DG，再利用SAS证明AFGDCG.26（2021八上海曙期末）如图所示， 中， ， 于点 ， ， （1）求 ， 的长（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 当

33、点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）【答案】（1）解: ， ， ， ， ， ， ，由勾股定理得： ，（2）解:分两种情况： )如图1所示，当 时，过 作 于 ， ， ， ， )当 时，如图2所示，在 和 中， ， ， ， ； 的长为 或 【完整解答】（2）分两种情况：）当 在线段 上时，如图3所示，过 作 于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，同理得 ， ， ，同理得： ， ， 中， ，综上， 的长

34、为 或 故直接写出答案为： 或 【思路引导】（1）利用垂直的定义可证得AOC=BOC=90，利用勾股定理求出CO，AC的长.（2）分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ONAC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ONDE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明CAODAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BGEF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BGAC，可推出GBF=ACB，利用平行线的性

35、质可证得A=DBG，利用等腰三角形的性质可推出DBF=GBF，BDG=BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BGDE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.27（2021八上汉阴期末）如图， 和 中， ， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 异侧， 、 的平分线相交于点I. （1）当 时，求 的长； （2）求证： ； （3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值. 【答案】（1）解： ， ABP为直角三角形，B=30，AB=6，AP=3，PD=AD-AP=3；（2）证明：在ABC和ADE

36、中， ，ABCADE（SAS），BAC=DAE，BAC-DAC=DAE-DAC，即BAD=CAE；（3）解：设BAP=，则PAC=90-， B=30，BAC=90，BCA=180-30-90=60，AI、CI分别平分PAC，PCA，IAC= PAC= （90-）=45- ，ICA= PCA=30，AIC=180-（IAC+ICA）=180-（45- +30）=105+ ，090，105 +105150，即105AIC150，m=105，n=150.【思路引导】（1）利用垂直的定义可推出ABP是直角三角形，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD

37、的长；（2）利用SAS证明ABCADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得BAC=DAE，由此可推出结论；（3）设BAP=，则PAC=90-， 利用三角形的内角和定理求出BCA=60，再利用角平分线的定义可得到IAC和ICA的度数；再根据AIC=180-（IAC+ICA），可表示出AIC的度数，然后根据090，可得到m，n的值.28（2021八上平凉期中）探究与发现：如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.（1）当BAD=60时，求CDE的度数；（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究BAD与CDE的数量关系；（3）深入探究：

38、若BAC90，试就图探究BAD与CDE的数量关系.【答案】（1）解：AB=AC，BAC=90， B=C=45，BAD=60，DAE=30，AD=AE，AED=75，CDE=AED-C=30；（2）设BAD=x， CAD=90x，AE=AD，AED=45+ ，CDE= ； CDE= BAD（3）设BAD=x，C=y， AB=AC，C=y，BAC=1802y，BAD=x，DAE=y+ ， . CDE= BAD【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质得 B=C=45，根据角的和差得 DAE=30， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 AED=75， 最后根据三角形外角的性质，由 CDE=A

39、ED-C 即可求解； （2）设BADx，于是得到CAD90x，根据等腰三角形的性质得 AED=45+ ， 进而根据三角形外角的性质由 CDE=AED-C 即可求解；（3）设BADx，Cy，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解29（2021八上遵义期末）小明遇到这样一个问题如图1，ABC中，ACB=90，点D在AB上，且BD=BC，求证：ABC=2ACD.小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BECD，垂足为点E.方法3：如图3，作CFAB，垂足为点F.根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明ABC=2ACD.【答案】证明：方法

40、1：如图，ACB=90， BCD=90-ACD，又BC=BD，BCD=BDC，BCD中，ABC=180-BDC -BCD =180-2BCD=180-2（90-ACD）=2ACD；方法2：如图，作BECD，垂足为点E.ACB=90，ACD+BCE=CBE+BCE=90，ACD=CBE，又BC=BD，BECD，ABC=2CBE，ABC=2ACD；方法3：如图，作CFAB，垂足为点F.ACB=90，BFC=90，A+ABC =BCF+ABC =90，A=BCF，BC=BD，BCD=BDC，即BCF+DCF=A+ACD，DCF=ACD，ACF=2ACD，又ABC +BCF=ACF+BCF=90，ABC =ACF，ABC =2ACD.【思路引导】【思路引导】 方法1：先利用直角三角形的性质求得BCD=90-ACD， 再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，推得ABC = 2ACD即可；方法2：作BECD，垂足为点E，利用等腰三角形的性质和余角的性质，即可得出ABC= 2ACD；方法3：作CFAB，垂足为点F，利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到ACF =2ACD，再根据余角的性质，求出B=ACF，即可得出B=2ACD.