专题01几何证明重难点专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年八年级数学专题训练（沪教版）.docx

1、专题01几何证明重难点专练（解析版）学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A全等三角形的面积相等；B等腰三角形两个底角相等；C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等.【答案】A【分析】先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答.【详解】A.逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；B.逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；C.逆命题为：一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；D.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的

2、平分线上，是真命题，不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键.2设D为等腰底边BC上一点，DEAB，DFAC，则四边形AFDE的周长是（ ）A2ABB2AB+BCC2BCDAB+BC【答案】A【分析】先证明四边形AFDE是平行四边形，得到DE=AF，AE=DF，再证明BF=DF=AE,问题得解【详解】解：DEAB，DFAC，四边形AFDE是平行四边形，DE=AF，AE=DF，DFAC，C=FDB，AB=AC，B=CFDB=，BF=DF，BF=DF=AE,四边形AFDE的周长等于AE+DE+DF+AF=BF+AF+

3、BF+AF=2AB故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟知相关定理是解题关键3下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（ ）A4、8、B4、8、C7、24、25D7、14、15【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可【详解】解：A、42+（）2=64=82,能够成直角三角形,故本选项可构成直角三形；B、42+82=80=（）2,能够成直角三角形,故本选项错误；C、72+242=625=252,能够成直角三角形,故本选项错误；D、72+142=245152,不能够成直角三角形,故本选项正确故选：D【点睛】本题考查的是如果三角形的三边长a

4、,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形4如图，中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，的周长为9cm，则的周长是（ ）A12cmB15cmC21cmD18cm【答案】B【分析】由DE是ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得ABC的周长【详解】解：由DE是边AB的垂直平分线，AD=BD，AE=BE， 由ADC的周长为9cm，AC+BC=9，AE=3，AB=6，ABC的周长是15cm，故选：B【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质此题难度适中，解题的

5、关键是注意等量代换与整体思想的应用5下列命题中，假命题是（ ）A对顶角相等B同角的余角相等C面积相等的两个三角形全等D平行于同一条直线的两直线平行【答案】C【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据余角的性质对B进行判断；根据三角形全等的判断对C进行判断；根据平行线的传递性对D进行判断【详解】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；B、同角的余角相等，所以B选项为真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，所以C选项为假命题；D、平行于同一条直线的两条直线平行，所以D选项为真命题故选：C【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性

6、，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可6下列命题中，是真命题的是（ ）A对顶角相等B两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等C等腰直角三角形都全等D如果，那么【答案】A【分析】分别利用对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项【详解】解：A.对顶角相等，正确，是真命题；B.两直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，是假命题；C.等腰直角三角形不一定都全等，是假命题；D.如果0ab，那么a2b2，是假命题【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及不等式的性质，难度不大7下列命题是真命题的是（）A相等的两个

7、角是对顶角B好好学习，天天向上C周长和面积相等的两个三角形全等D两点之间线段最短【答案】D【分析】根据命题的定义以及几何知识逐一判断即可【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、好好学习，天天向上，不是命题；C、周长和面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；D、两点之间线段最短，是真命题；故选：D【点睛】本题考查命题，掌握命题的定义以及对顶角的性质、全等三角形的判定、两点之间线段最短的基本事实是解题的关键8下列各命题中，假命题是（ ）A有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C有两角及其中一角的平分线对应相等的两

8、三角形全等D有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等【答案】B【分析】根据全等三角形的判定定理进行证明并依次判断【详解】解：、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；故选：【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，灵活判定命题真假，熟记定理并灵活应用解决问题是

9、解题的关键9如图，已知正方形的边长为8，点，分别在边、上，当时，的面积是（ ）A8B16C24D32【答案】D【分析】如图：ADF绕点A顺时针旋转90，得到ABH，可得AH=AF，BAH=DAF，进一步求出EAH=EAF=45，再利用边角边证明AEF和AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.【详解】解：如图，将ADF绕点A顺时针旋转90，得到ABH，根据旋转的性质可得：AH=AF，BAH=DAF，EAF=45，BAD=90EAH=EAF=45在AEF和AEH中AF=AEAH=EAF=45，AE=AEAEFAEH（SAS），EH=EF=8，SAFE=SAEH=-88=32.故选：D.【

10、点睛】本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.二、填空题10将命题关于某直线对称的两个三角形全等”，改写成“如果，那么”的形式：如果_，那么_【答案】两个三角形关于某直线对称； 这两个三角形全等 【分析】任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式，如果是条件，那么是结论【详解】解：关于某直线对称的两个三角形全等，改写成“如果，那么”的形式：如果两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等故答案为：两个三角形关于某直线对称；这两个三角形全等【点睛】本题考查了命题与定理，命题是有题设和结论构成命题都能写成“如果，那么”的形

11、式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论11将“对顶角相等”改写为“如果那么”的形式，可写为_【答案】如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等【分析】根据命题的形式解答即可.【详解】将“对顶角相等”改写为“如果那么”的形式，可写为如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等.【点睛】此题考查命题的形式，可写成用关联词“如果那么”连接的形式，准确确定命题中的题设和结论是解题的关键.12在Rt中，若C=90，D是BC边上一点，且AD=2CD，则ADB=_【答案】120【分析】如图，延长DC到E，使EC=CD，连接AE，先证明AC为线段DE的垂直平分线，进

12、而证明ADE是等边三角形，得到ADE=60，问题得解【详解】解：如图，延长DC到E，使EC=CD，连接AE，ACD=90，ACDE，AC为线段DE的垂直平分线，AD=AE，又AD=2CD，CD=CE，AD=DE，AD=DE=AE，ADE是等边三角形，ADE=60，ADB=180-ADC=120故答案为：120【点睛】本题考查了线段垂直平分线，等边三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线，构造等边三角形是解题关键13在Rt中,C=90,A的平分线交BC于点D,且BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是_【答案】3【分析】作DEAB于E点,根据角平分线的性质,即可证得DE=CD,即可求解【详解】解

13、：如图,作DEAB于E点A的平分线交BC于点D, C=90, DEAB,DE=CD=3即点D到AB的距离等于3故答案为：3【点睛】本题考查了角平分线的性质定理,正确证得DE=CD以及找到点D到AB的距离是关键14等腰直角中，则_【答案】8【分析】先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差即可得【详解】是等腰直角三角形，且，在和中，故答案为：8【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键15把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写

14、成“如果那么”的形式是_，这个命题是_（填“真”或“假”）命题【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角 真 【分析】找出命题中的题设与结论即可得，根据直角三角形的性质即可得判断真假【详解】命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互为余角，则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角，由直角三角形的性质得：这个命题是真命题，故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角；真【点睛】本题考查了命题、直角三角形的性质，掌握理解命题的概念是解题关键16已知“若 ab，则 acbc”是假命题，请写出一个满足

15、条件的 c 的值是_【答案】0(答案不唯一)【分析】举出一个能使得ac=bc或acbc的一个c的值即可【详解】若ab，当c=0时ac=bc=0，故答案为：0(答案不唯一)【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可17把命题“等角的余角相等”改写成“如果，那么”的形式为_【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果，那么”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等故答案为：如果两个角是相等角的余角

16、，那么这两个角相等【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理三、解答题18已知：如图，AB=DE，BC=DF，AF=CE求证：BCDF【答案】见解析【分析】由AF=CE，得到AC=EF，然后得到ABCDEF，则ACB=EFD，然后即可证明结论成立【详解】证明：AF=CE，AC=EF，在ABC和DEF中AC=EF，AB=DE，BC=DF，ABCDEFACB=EFD，BCF=DFC，BCDF；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型19已知

17、：如图，在中，AB=AC，AE是外角CAD的平分线求证：AEBC【答案】见解析【分析】首先根据角平分线的性质可得DAC2DAE，再由ABAC可得BACB，然后根据内角与外角的关系可得DACBACB2B，进而可证明DAEB，再根据同位角相等，两直线平行可得AEBC【详解】证明：AE是CAD的平分线，DAC2DAE，ABAC，BACB，又DACBACB2B，DAEB，AEBC【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行20已知：如图，AC=BD，1=2求证：ADBC【答案】见解析【分析】根据等角对等边求出OB=OC,再利用已知条件求得AO=OD,进一步利用

18、等腰三角形性质得：OAD=ODA,再利用内角和定理可得:1=ODA,即可得到平行.【详解】证明:因为1=2所以OB=OC因为AC=BD所以OA=OD所以OAD=ODA因为1+2+BOC=180OAD+ODA+AOD=180BOC=AOD所以1+2=OAD+ODA所以21=2ODA即1=ODA所以ADBC【点睛】本题利用等腰三角形的性质与判定得到边与角的关系,本题关键找到角与角的关系21已知：如图，在ABC中，AABCACB=345，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求BHC的度数【答案】135【分析】先设A=3x，ABC=4x，ACB=5x，再结合三角形内角和等于180，

19、可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出A，ABC，ACB，在ABD中，利用三角形内角和定理，可求ABD，再利用三角形外角性质，可求出BHC【详解】解：在ABC中，A：ABC：ACB=3：4：5，故设A=3x，ABC=4x，ACB=5x在ABC中，A+ABC+ACB=180，3x+4x+5x=180，解得x=15，A=3x=45BD，CE分别是边AC，AB上的高，ADB=90，BEC=90，在ABD中，ABD=180-ADB-A=180-90-45=45，BHC=ABD+BEC=45+90=135【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和

20、等于180，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和22已知：如图所示，BE，CD相交于O，AB=AC，AD=AE（1）求证：OD=OE（2）联结DE，求证：DE/BC【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据SAS证明，再由全等三角形对应边、对应角相等解题即可；（2）先根据AB=AC，整理出BD、EC的数量关系，再由AAS证明,最后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可【详解】（1）证明：在和中AB=AC；A=A；AD=AE，所以所以ABE=ACD，又因为AD=AE，所以BD=CE，在和中BD=ECABE=ACDDOB=EOC所以所以OD=OE（2）证明：【点睛】本题考查全等三角形

21、的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键23已知：如图，AB=DE，A=D，AC=DF求证：ACDF【答案】见解析【分析】由边角边证得ABCDEF，得到ACB=DFE，由同位角相等两直线平行即可得证.【详解】证明：在ABC和DEF中，所以ABCDEF（SAS），所以ACB=DFE，所以ACDF.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，要牢固掌握并灵活运用这些知识24如图：已知 BAC=30，AT平分BAC，TEAC（1）求证：是等腰三角形；（2）若，垂足为点D，AE=4cm，求TD的长【答案】（1）见解析；（2）2cm【分析】（1）根据角平分线可得

22、EAT=TAD,利用平行可得TAD=ETA,再利用等量代换即可得到EAT=ETA,进而证得是等腰三角形（2）AT平分BAC,依据角平分线定理可得DT=TF在RTTFE中,ET=4cm,FET=30,则TF=2cm,则TD=2cm【详解】解：（1）AT平分BACEAT=TADTEACTAD=ETAEAT=ETA是等腰三角形（2）过点T作TFAB，垂足点F,AT平分BAC，TFAB，据角平分线定理可得DT=TF在RTTFE中，ET=4cm，FET=30，则TF=2cm,TD=2cm【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,如何利用角平分线性质作出辅助线是解决此问题的关键25如图所示，已知点C、P、D在一

23、直线上，BAP与APD互补，1=2，试说明E=F的理由.【答案】E与F相等，理由见解析.【分析】根据已知可得出ABCD，进而由1=2可证得PAE=APF，故能得出AEFP，即能推出要证的结论成立【详解】E与F相等.理由如下:因为BAP和APD互补,所以ABCD(同旁内角互补,两直线平行),所以BAP=CPA(两直线平行,内错角相等).因为1=2,所以PAE=APF,所以AEPF(内错角相等,两直线平行),所以E=F(两直线平行,内错角相等).【点睛】考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.26已知：如图，ACBC，垂足为C，BCD是B的余角求证

24、：ACD=B证明：ACBC（已知）ACB=90（ ）BCD是DCA的余角BCD是B的余角（已知） ACD=B（ ）【答案】垂直的意义；同角的余角相等【分析】先根据垂直的意义可得，从而可得是的余角，再根据同角的余角相等即可得证【详解】证明：（已知），（垂直的意义），是的余角，是的余角（已知），（同角的余角相等），故答案为：垂直的意义；同角的余角相等【点睛】本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键27如图， AB=AC， E是AD上的一点，BAE=CAE求证：EBD=ECD【答案】见解析【分析】先证明ABDACD，得到ADB=ADC，BD=CD，再证明BDECDE，问

25、题得证【详解】证明：在ABD和ACD中ABDACD，ADB=ADC，BD=CD，在BDE和CDE中BDECDE，EBD=ECD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键28如图，在中，点，、分别在边、上，是的中点，求证：【答案】证明见解析【分析】连结、，根据等腰三角形得到，利用SAS证明BEF与CFG全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.【详解】证明：连接、在与中，（SAS）是的中点，【点睛】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.29如图，在已知中，点在上，过点的直线分

26、别交于点，交的延长线于点，且求证：【答案】证明见解析【分析】过点作交于，根据平行的性质可得，再根据等边对等角可得，进而得到，再根据等角对等边可得BE=GE，从而得到GE=CF，利用AAS证得，根据全等三角形的性质可得DE=DF.【详解】证明：过点作交于，又在和中，（AAS）【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.30如图，在中，的角平分线交于，且求证：【答案】证明见解析【分析】在上截取，易证ACDAED，则CD=DE，C=AED，可得DE=BE，由等边对等角可得：EDB=EBD，由三角形外角定理即可得到结论.【详解】证明：在上截取，在和中，D【点

27、睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理，构造全等三角形、运用等腰三角形的知识是解答本题的关键.31如图，在中，已知，平分，且，求证：【答案】证明见解析【分析】在上截取，连结，可得BE=CD，由角平分线的定义可得CAD=EAD，推出ACDADE，易得DE=CD、C=AED，即DE=BE，由等腰三角形的性质可得B=BDE，CAB=B，进而得到C=DEB=DEA，即可得到结论.【详解】证明：在上截取，连接，平分，在与中，【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.32已知，直线过点，交、于点、（1）若是中线，求证：；（2）若，求证：【答案】

28、（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）延长至，使，易证，可得，再根据可得，再利用BAC、BAE、EAD和DAC四个角和为360，可得，利用AEF的内角和可得，可得，即可证明，最后利用等角的余角相等的等量代换以及ABN的内角和为180可得出结论.（2）过点作交的延长线于，则，根据，可得；，可得，等量代换得出根据周角等于360，可得；根据三角形内角和可得，可得，则可证明（AAS），得到；易证，即可得到【详解】解：（1）如图，延长至，使，是中线，在和中，（SAS），在和中，（SAS），在中，（2）如图，过点作交的延长线于，则，在和中，（AAS），在和中，（AAS）【点睛】本题考查三角形全等以

29、及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.33如图，在中，已知是的中点，求证：【答案】证明见解析【分析】延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM.构造出两三角形全等，可得MD=DF，三角形EFM中，EDMF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分线，可得EM=EF，最后

30、根据三角形三边的关系即可证明.【详解】证明：延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM. 是的中点，在与中，（SAS） 在中，又，即【点睛】本题考查了全等三角形和三角形三边关系；做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.34如图所示，在中，是上一点，垂足为，交于，又求证：是的平分线【答案】见解析【解析】【分析】延长、交于点，通过证全等得AF=BD，结合已知条件得E是AF的中点，可得BE是AF的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一即可得.【详解】证明：如图，延长、交于点，又又又是的平分线【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的综合及等腰三角形的性质，构造全等，即辅助线的引入是解答此题的关键.35如

31、图1，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DMDN；（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）详情见解析；（2

32、）四边形DMBN面积不发生变化，面积为；（3）仍然成立，证明见解析.【分析】（1）连接BD，求出BD=DC，MDB=CDN，C=ABD，根据ASA证明MBDNCD，进而求证即可；（2）根据全等得出MBD与NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于BDC的面积，进而求解即可；（3）连接BD，求出BD=DC，MDB=CDN，C=ABD，根据ASA证明MBDNCD，进而求证即可.【详解】（1）如图1，连接BD. 在RtABC中，AB=BC，AD=DC，BD=DC=AD，BDC=90，ABD=C=45，MDB+BDN=90，CDN+BDN=90MDB=NDC，在MBD与NCD中，MDB=NDC，BD

33、=DC，MBD=C，MBDNCD，DM=DN.（2）四边形DMBN面积不发生变化.由（1）得MBDNCD，SMBD=SNCD，四边形DMBN面积=SDMB+SBDN= SCND+ SBDN=SABC=.（3）DM=DN仍然成立.如图2，连接BD，在RtABC中，AB=BC，AD=DC，DB=DC,BDC=90，DCB=DBC=45，DBM=DCN=135，NDC+CDM=90，BDM+CDM=90，CDN=BDM，在CDN与BDM中，CDN=BDM，DC=DB，DCN=DBM，CDNBDM，DM=DN.【点睛】本题主要考查了三角形旋转问题与全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.36

34、如图，在四边形中，（1）如图（1），将绕着点旋转，它的两边分别交边、于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图（2），将绕着点旋转，它的两边分别交边、的延长线于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图（3），将绕着点旋转，它的两边分别交边、的反向延长线于、，试判断这一过程中线段、和之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明【答案】（1）详见解析；（2），证明见解析；（3）.【分析】（1）延长到，使，连接，易证，可得，再根据，可得，易证，等量代换可得.（2）在上截取，使，连接，易证，可得，所以，可得，易证，等量代换

35、即可得出.（3）在DC上截取DF=BM，易证ABMANF，可得，根据，等量代换可得，可得，即可证明FANMAN，得到，等量代换可得【详解】（1）如图（1），延长到，使，连接，在ABG与AND中，（SAS），又，在AMG与AMN中，（SAS） （1） （2） （3）（2）证明：如图（2），在上截取，使，连接，在ABG与AND中，（SAS），在AMG与AMN中，（SAS）（3）证明：如图（3），在DC上截取DF=BM，在ABM与ANF中，ABMANF（SAS），在FAN与MAN中，FANMAN（SAS），【点睛】本题考查截长补短的辅助线的做法，并且这道题属于类比探究题型，只要把第一问做出来，那么后

36、面几问跟第一问的辅助线，证明思路都比较相似，如果实在没有思路的话可类比第一问证得哪两个三角形全等，在第二问中也找到这样的三角形即可.37如图，在正方形中，为，的上点且求证：【答案】证明见解析【分析】将逆时针旋转得到，则有，；进一步说明，易证，得到，即可完成证明.【详解】证明：如图，逆时针旋转得到，在和中，（SAS）即【点睛】本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.38如图，在中，已知是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：【答案】证明见解析【分析】延长AD到点G，使得，连接，结合D是BC的中点，易证ADC和GDB

37、全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.【详解】如图，延长到点，延长AD到点G，使得，连接是边上的中线，在和中，（对顶角相等），（SAS），又，即【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.39如图，在四边形中，分别是、上的点，且，则_【答案】3【分析】连接AM，延长FD到M，使DM=BE;根据SAS可得ABE和ADM全等，可得AE=AM，BAE=D，易得MAF=EAF，根据SAS推出EA和MAF全等，再利用全等三角形的性质即可证明.【详解】解：连接AM，延长FD到M，使DM=BEADM=B=90在

38、ABE和ADM中AB=AD，B=ADM，BE=DMABEADM（SAS），AE=AM，BAE=DAM，又BAD=120，EAF=60.BAE+DAF=60MAF=60=EAF在AEAF和AMAF中AF=AF ，EAF=MAF ，AE=AMEAFMAF（SAS），EF=FMDF=EF-BE=5-2-3.故答案为：3.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，灵活运用全等三角形的性质和判定进行证明是解本题的关键.40已知等边三角形，为外一点，射线与直线相交于点，射线与直线相交于点， （1）当点、在边、上，且时，直接写出、之间的数量关系（2）当点、在边、上，且时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明

39、（3）当点、在边、的延长线上时，请画出图形，并写出、之间的数量关系【答案】（1）、之间的数量关系（2）猜想：结论仍然成立（3）【分析】（1）由DM=DN，MD=60，即MDN是等边三角形，又ABC是等边三角形，则CD=BD，易证得RtBDM和RtCDN全等，即可求得BM，NC、MN之间的数关系；（2）在CN的延长线上截取CM1BM，连接DM1.可证DBM DCM，即DM=DM，CDN-MDN=60，易证MDNMIDN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；首先在CN上截取CM1=BM，连接DM，可证DBMDCM，即DM=DM，CDN-MDN=60，易证MDNMIDN，则可得NC-BM=M

40、N.【详解】（1）、之间的数量关系（2）猜想：结论仍然成立证明：在的反向延长线上截取，连接，（3）在上截取，联结易证，【点睛】本题考查了等边三角形、直角三角形、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，考查知识点较多，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.41如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为且在的右侧作正方形（1）如果，当点在线段BC上时(与点不重合)，如图2，线段的数量关系为 ，线段所在直线的位置关系为 ；当点在线段的延长线上时，如,3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如图4，如果是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，(点不重合)，请直接写出答案【答案】（1

41、）；中的结论仍成立理由见解析；（2）【分析】（1）证明BADCAF，可得：BD=CF，B=ACF=45，则BCF=ACB+ACF=90，所以BD与CF相等且垂直；，的结论仍成立，同理证明DABFAC，可得结论：垂直且相等；（2）当ACB满足45时，CFBC；如图4，作辅助线，证明QADCAF，即可得出结论【详解】（1）当点在的延长线上时，中的结论仍成立理由如下:由正方形得,，即， 又，,，即当点D在BC的延长线上时，（1）的结论仍成立，理由是：如图3，由正方形ADEF得AD=AF，DAF=90，BAC=90，DAF=BAC=90，DAF+CA D=BAC+CA D即DAB=FAC，又AB=AC

42、，DABFAC（SAS），CF=BD，ACF=ABD，BAC=90，AB=AC，ABC=ACB =45，ACF=ABC=45BCF=ACB+ACF=90，即CFBD； （2）当BCA=45时，CFBD，理由是：如图4，过点A作AQAC，交BC于点Q，BCA=45，AQC=45，AQC=BCA=45，AQ= AC，AD=AF，QAC=DAF=90，QAC-DAC=DAF-DAC，QAD=CAF，QADCAF，ACF=AQD=45，BCF=ACB+ACF=90，即CFBD【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，本题的三个结论都是证明三角形全等得出，所以利用SAS证明三角形全等是本题的关键；第（2）问，恰当地作辅助线，构建等腰直角三角形，同样也是构建两个三角形全等得出结论