专题02 三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型（原卷版）.docx

1、专题02 三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 图2 图3条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：；。 条件：如图2，线段BO平分ABC，线段OD平分ADC； 结论：O=（A+C）。条件：如图3，线段AO平分DAB，线段CO平分BCD； 结论：O=（D-B）。飞镖模型结论的常用证明方法：例1（2023重庆八年级专题练习）请阅读下

2、列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和 （即如图 1，ADB=ABC ）理由如下：方法一：如图 2，连接 AB，则在ABC 中，C+CAB+CBA=180，即1+2+3+4+C=180，又在ABD 中，1+2+ADB=180，ADB=3+4+C， 即ADB=CAD+CBD+C方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，1 和3 分

3、别是ACD 和BCD 的一个外角，. . . . . .大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图 4，AE 是CAD 的平分线，BF 是CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若ADB=150，AGB=110，请你直接写出C 的大小例2（2023广东河源八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，请直接写出的度数例3（2022秋广西八

4、年级期中）如图，的角平分线交于点，若，则的度数（）ABCD例4.（2023广东八年级期中）如图，在三角形ABC中，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 例5（2023福建三明八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号箭号我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，求的度数；拓展：（3）如图4，分别是、的2020等分线

5、（），它们的交点从上到下依次为、已知，则 度模型2、风筝模型（鹰爪模型） 图1 图2 1）风筝（鹰爪）模型：结论：A+O=1+2； 2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：A+O=2-1。例1（2023四川达州八年级期末）如图，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：；其中正确的是 （填序号）例2（2023春河南南阳八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接求证：小丽的证法小红的证法证明：如图2，连接并延长至点M，（依据），又，证明：，（量角器测量所得），（计算所得）（等量代换）任务：(1)小丽证明

6、过程中的“依据”是指数学定理：_；(2)下列说法正确的是_A小丽的证法用严谨的推理证明了该定理B小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整C小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理D小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理(3)如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系例3（2022秋山东青岛八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证

7、明定理（1）【定理证明】已知：如图，求证：（2）【定理推论】如图，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【初步运用】如图，点D、E分别是的边延长线上一点 （3）若，则_（4）若，则_【拓展延伸】如图，点D、E分别是四边形的边延长线上一点（5）若，则_（6）分别作和的平分线，如图，若，则和的关系为_（7）分别作和的平分线，交于点O，如图，求出，和的数量关系，说明理由模型3、角内翻模型 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2C=1+2；条件：如图2，

8、将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2C=2-1。例1（2023春江苏镇江七年级校考阶段练习）如图，中，将沿翻折后，点A落在边上的点处，如果，那么的度数为 例2（2022秋辽宁抚顺八年级统考期末）如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ）ABCD例3（2023春重庆黔江七年级统考期末）如图1，中，点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值 (1)首先我们来研究边因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），此时 (2)其次，我们来研究边因为点在上，所以可能与的边、边分别

9、平行当时（如下图），则 当时（如下图），则 (3)最后，我们来研究边因为点在上，所以可能与的边、边分别平行当时， 当时， 例4（2023湖北武汉八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数；（2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处求图中，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，、的数量关系 (直接写结果，不需要过程）课后专项训练1（2023四川绵阳八年级校考期中）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且，则的度数为（）A30B40C50D602（2023河南安阳

10、八年级校考期中）如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则A与1和2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A2A12 B3A2（12） C3A212 DA123（2023秋重庆开州八年级统考期末）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，则原三角形中的度数为（）ABCD4（2023广东八年级课时练习）如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则 5（2023河南平顶山八年级统考期末）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接，若，则 6（2023秋浙江八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，点E，F分别是，边上的点，

11、连接，将沿着翻折，使点A与边上的点G重合，若，则的度数为 7（2023春江苏镇江七年级校考阶段练习）如图，中，将沿翻折后，点A落在边上的点处，如果，那么的度数为 8（2023湖南永州八年级统考期中）如图，若，且，则 9（2023春四川七年级统考期末）在四边形中，(1)如图1，若，则_度；(2)如图2，作的平分线交与点E，若，求的度数；(3)如图3，作和的平分线交于点E，求的度数10（2023浙江杭州八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在中，A=60，（1）如图，ABC和ACB的角平分线交于点O，则BOC= ； （2）如图，ABC和ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则；（3）如

12、图，ABC和ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，（内部有个点），则 ；（4）如图，ABC和ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，若，求n的值11（2023北京一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形燕尾四边形的性质定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.下面是小洁的探究过程

13、，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，BCD=120，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）12（2023重庆八年级专题练习）如图所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”（1）求证：；（2）如图所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数13（2023四川达州中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭

14、头四角形”模型应用:（1）直接应用：如图2， 如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则 如图4，分别为的2019等分线它们的交点从上到下依次为已知，则 度14（2022秋浙江八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点， 研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由15（2022秋河北唐山八年级校考阶段练习）已知，在四边形ABCD中，（1）求证：（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明（3）如图2，若BF、DE

15、分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明16（2023春江苏淮安九年级校考阶段练习）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角如图1，为一镜面,为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线,此时反射角等于入射角，由此可知等于（1）两平面镜、相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B如图2，当为多少度时，光线？请说明理由如图3，若两条光线、所在的直线相交于点E，延长发现和分别为一个内角和一个外角的平分线，则与之间满足的等量关系是_（直接写出结果）（2）三个平面镜、相交于点M、N，一束光线从点A出发,经

16、过平面镜三次反射后，恰好经过点E，请直接写出、与之间满足的等量关系17（2023江西新余八年级统考阶段练习）已知，P为第四象限一动点，Q为x轴负半轴上一动点，R在下方且为y轴负半轴上一动点(1)如图，若，求；(2)如图，若、分别平分，P、Q、R在运动过程中，是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在请说明理由；(3)如图，若将R点改为y轴正半轴上一动点，且在P、Q及（2）中的条件不变的前提下，又有何数量关系？18（2023山东八年级假期作业）模型规律：如图1，延长交于点D，则因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”模型应用：（1）直接应用

17、：如图2，则_；如图3，_；（2）拓展应用：如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，则_；如图5，、分别为、的10等分线它们的交点从上到下依次为、已知，则_；如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则_；如图7，、的角平分线、交于点D，则、之间的数量关系为_19（2023春山东七年级校联考期中）实验探究：（1）动手操作：如图1，将一块直角三角板放置在直角三角板上，使三角板的两条直角边DE、分别经过点、，且，已知，则 ；如图2，若直角三角板不动，改变等腰直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、仍然分别经过点、，那么 ；（2）猜想证明：如图3，与、之间存在着什么关系，并说明理由；（3）灵活

18、应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：如图4，平分，平分，若，求度数如图5，的等分线相交于点，若，则的度数为 20（2023广东清远七年级统考期末）（1）如图，在四边形中，直接写出与，之间的关系（2）根据图中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数（3）如图，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示的度数21（2023安徽淮北八年级统考期末）如图，在中，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F(1)若，则 (2)、有什么数量关系？请说明理由22（2023江苏八年级专题练习）RtABC中，C90，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令PDA1，PEB2，DPE(1)若点P在线段AB上，如图1所示，且50，则1+2；(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则、1、2之间的关系为；(3)如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动(CECD)，请写出、1、2之间的关系式，并说明理由