专题02 全等三角形中的半角模型(解析版).docx

1、专题02 全等三角形中的半角模型 【模型展示】特点过正方形ABCD顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点E、F，则BE,EF,FC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.【模型证明】解决方法以点A为中心，把ADF（顺时针或逆时针）旋转角A度，至ABF；结论1、AMN全等于AMN，MN=MN;2、AEF全等于AEF，EF=EFBE+EF=EF;3、；4、CEF的周长等于正方形ABCD的一半；5、点A到EF的距离等于正方形的边长（AB）。应用环境1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30、45、60、75或它们的补角、90；

2、2：正方形、菱形等也能产生等腰三角形；3：过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；4：此等腰三角形的相关弦.【模型拓展】证明90中夹45(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。结论：图1、2中，EF=BE+FD证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90，F点落在F处，连接BF，EAF=90-EAF=90-45=45=EAF，且AE=AE，AF=AF，FAEFAE(SAS)，EF=EF，又D=ABF=90，

3、ABE=90，ABE+ABF=90+90=180，F、B、E三点共线，EF=BE+BF=BE+DF。结论：图2中MN=BM+DN；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90，N点落在N处，连接AN、BN、MN，NAM=90-EAF=90-45=45=MAN，且AM=AM，AN=AN，MANMAN(SAS)，MN=MN，又ADN=45=ABN，ABD=45，MBN=ABD+ABN=45+45=90，在RtMBN中，MN=BM+BN，即MN=BM+BN。结论：图1、2中EA平分BEF，FA平分DFE。证明过程见证明中时FAEFAE即可。结论：图1、2中。证明：如图5中，过A点作AHEF于H点，由结

4、论可知：AEH=AEB，且AHE=ABE=90，AE=AE，AEBAEH(AAS)，AH=AB=AD，进而可以证明AHFADF(AAS)，.【题型演练】一、单选题1如图，四边形ABCD内接于O，ABAD，BCD120，E、F分别为BC、CD上一点，EAF30，EF3，DF1则BE的长为（）A1B2C3D4【答案】B【分析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，则可证得ABHADF，从而AH=AF，BAH=DAF，易证AHEAFE，可得HE=EF=3，则可求得BE的长【详解】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图四边形ABCD内接于OABC+ADC=180ABH+ABC=180ABH

5、=ADF在ABH和ADF中ABHADFAH=AF，BAH=DAFBAD+BCD=180，BCD=120BAD=180-BCD=60EAF=30BAE+DAF=BAD-EAF=30EAH=BAE+BAH=30在AHE和AFE中AHEAFEHE=EF=3BE=HE-BH=3-1=2故选：B【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点2如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持MAN45，连接EN、FM相交于点O，以下结论：MNBM+DN；BE2+DF2EF2；BC2BFDE；OMOF（）ABCD【答案】

6、A【分析】由旋转的性质可得AM=AM，BM=DM，BAM=DAM，MAM=90，ABM=ADM=90，由“SAS”可证AMNAMN，可得MN=NM，可得MN=BM+DN，故正确；由“SAS”可证AEFAED，可得EF=DE，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故正确；通过证明DAEBFA，可得，可证BC2=DEBF，故正确；通过证明点A，点B，点M，点F四点共圆，ABM=AFM=90，AMF=ABF=45，BAM=BFM，可证MO=EO，由BAMDAN，可得OEOF，故错误，即可求解【详解】解：将ABM绕点A逆时针旋转90，得到ADM，将ADF绕点A顺时针旋转90，得到ABD，AM=AM，B

7、M=DM，BAM=DAM，MAM=90，ABM=ADM=90，ADM+ADC=180，点M在直线CD上，MAN=45，DAN+MAB=45=DAN+DAM=MAN，MAN=MAN=45，又AN=AN，AM=AM，AMNAMN（SAS），MN=NM，MN=MD+DN=BM+DN，MN=BM+DN；故正确；将ADF绕点A顺时针旋转90，得到ABD，AF=AD，DF=DB，ADF=ABD=45，DAF=BAD，DBE=90，MAN=45，BAE+DAF=45=BAD+BAE=DAE，DAE=EAF=45，又AE=AE，AF=AD，AEFAED（SAS），EF=DE，DE2=BE2+DB2，BE2+D

8、F2=EF2；故正确；BAF=BAE+EAF=BAE+45，AEF=BAE+ABE=45+BAE，BAF=AEF，又ABF=ADE=45，DAEBFA，又AB=AD=BC，BC2=DEBF，故正确；FBM=FAM=45，点A，点B，点M，点F四点共圆，ABM=AFM=90，AMF=ABF=45，BAM=BFM，同理可求AEN=90，DAN=DEN，EOM=45=EMO，EO=EM，MO=EO，BAMDAN，BFMDEN，EOFO，OMFO，故错误，故选：A【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键二

9、、填空题3如图，在RtABC和RtBCD中，BACBDC90，BC4，ABAC，CBD30，M，N分别在BD，CD上，MAN45，则DMN的周长为_【答案】2+2【分析】将ACN绕点A逆时针旋转，得到ABE，由旋转得出NAE90，ANAE，ABEACD，EABCAN，求出EAMMAN，根据SAS推出AEMANM，根据全等得出MNME，求出MNCNBM，解直角三角形求出DC，即可求出DMN的周长BDDC，代入求出答案即可【详解】将ACN绕点A逆时针旋转，得到ABE，如图：由旋转得：NAE90，ANAE，ABEACD，EABCAN，BACD90，ABD+ACD3609090180，ABD+ABE1

10、80，E，B，M三点共线，MAN45，BAC90，EAMEAB+BAMCAN+BAMBACMAN904545，EAMMAN，在AEM和ANM中，AEMANM（SAS），MNME，MNCN+BM，在RtBCD中，BDC90，CBD30，BC4，CDBC2，BD2，DMN的周长为DM+DN+MNDM+DN+BM+CNBD+DC2+2，故答案为：2+2【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键4如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90得到，若，则的长为_【答案】5【分析】由题意易得，则有，然后可证，则有，设，则

11、有，进而根据勾股定理可求解【详解】解：四边形ABCD是正方形，且边长为6，绕点顺时针旋转90得到，点G、B、E三点共线，AE=AE，设，则有，在RtECF中，由勾股定理可得，即，解得：，；故答案为5【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键5如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且EDF45，则DE的长为 _【答案】2【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明ADGCDF，得CDF=GDA，DG=DF，再证明GDEFDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则

12、BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题【详解】解：延长BA到点G，使AGCF，连接DG，EF，ADCD，DAGDCF，ADGCDF（SAS），CDFGDA，DGDF，EDF45，EDG=ADE+ADGADE+CDF45，DEDE，GDEFDE（SAS），GEEF，F是BC的中点，AG=CF=BF=3，设AEx，则BE6x，EFx+3，由勾股定理得，（6x）2+32（x+3）2，解得x2，AE2，DE，故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键三、解答题6正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC

13、边上的点,且EDF=45.将DAE绕点D逆时针旋转90，得到DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长【答案】(1)见解析；（2）.【分析】（1）由折叠可得DE=DM，EDM为直角，可得出EDF+MDF=90，由EDF=45，得到MDF为45，可得出EDF=MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列

14、出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长【详解】(1)DAE逆时针旋转90得到DCM，DE=DM ，EDM=90，EDF + FDM=90，EDF=45，FDM =EDM=45，DF= DF，DEFDMF，EF=MF（2） 设EF=x， AE=CM=1 ， BF=BM-MF=BM-EF=4-x， EB=2，在RtEBF中，由勾股定理得，即，解得，.7已知，如图所示，正方形中，分别在边，上，且，分别交于，连，求证：.【答案】见解析【分析】把ABE逆时针旋转90得到ADG，根据旋转的性质可得BE=GD，AE=AG，再根据EAF=45求出FAG=45，然后利用边角边定理证明AEF与AGF

15、全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，即EF=GD+FD，即可证明EF=BE+DF；把ADH绕点A顺时针旋转90得到ABN，连接GN，根据旋转的性质得到NAE=EAF，根据全等三角形的性质得到GH=GN，求得NBG=ABN+ABG=45+45=90，根据勾股定理得到BG2+HD2=GH2；【详解】如图，把ABE逆时针旋转90得到ADM，BE=MD，AE=AM，EAF=45，FAM=90-45=45，EAF=FAM，在AEF和AMF中，AEFAMF（SAS），EF=MF，即EF=MD+DF，BE+DF=EF； 如图，把ADH绕点A顺时针旋转90得到ABN，连接GN，BN=DH，AN=AH

16、，BAN=DAH，ABN=ADH，EAF=45，NAE=BAN+BAE=DAH+BAE=BAD-EAF=90-45=45，NAE=EAF，在ANG和AGH中，AGNAGH（SAS），GH=GN，在正方形ABCD中，ABE=ADH=45，NBG=ABN+ABG=45+45=90，BG2+BN2=NG2，即BG2+HD2=GH2.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键8如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接EM，AE，且使得（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（

17、1）直接利用旋转的性质证明AMEAFE（SAS），即可得出答案；（2）利用（1）中所证，再结合勾股定理即可得出答案【详解】证明：（1）将绕点A顺时针旋转90后，得到，在AME和中，；（2）由（1）得：，在中，又，【点睛】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确得出AMEAFE是解题关键9已知：边长为4的正方形ABCD，EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且EAF45，连接EF求证：EFBE+DF思路分析：(1)如图1，正方形ABCD中，ABAD，BADBADC90，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE，则F、D、E在一条直线上，EAF 度，根据定理，

18、可证：AEFAEFEFBE+DF类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，BAC2DAE若SABC14，SADE6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积【答案】(1)45(2)DFBE+EF，证明见解析(3)2【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、在一条直线上，再证，得，进而得出结论；（2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证，得，进而得出结论；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得，则，得、围成的三角形面积，即可求解（1）解：如图1，正

19、方形ABCD中，ABAD，BADBADC90，把ABE绕点A逆时针旋转90至，则F、D、在一条直线上，ABE，BE，BAE，AE，EAD+EAD+BAEBAD90，则EAF45，EAF，AEF（SAS），EFBE+DF故答案为：45；（2）解：DFBE+EF理由如下：将ABE绕点A逆时针旋转90得到，ABE，AE，BE，BAE，BAE+BAD90，则EAF45，EAF45，在AEF和中，AEF（SAS），DFBE+EF；（3）解：将ABD绕点A逆时针旋转得到，连接，则ABD，CDBD，同（2）得：ADE（SAS），BD、DE、EC围成的三角形面积为、EC围成的三角形面积【点睛】本题是四边形综合

20、题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型10如图1，在菱形ABCD中，AC2，BD2，AC，BD相交于点O(1)求边AB的长；(2)求BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由【答案】（1）2；（2） ；（3）见详解【分析】（1）由菱形的性质得出OA=1，OB=，根据勾股定理可得出答案；（2）

21、得出ABC是等边三角形即可；（3）由ABC和ACD是等边三角形，利用ASA可证得ABEACF；可得AE=AF，根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形推出即可【详解】解：（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，AOB为直角三角形，且；（2）四边形ABCD是菱形，AB=BC，由（1）得：AB=AC=BC=2，ABC为等边三角形，BAC=60；（3）AEF是等边三角形，由（1）知，菱形ABCD的边长是2，AC=2，ABC和ACD是等边三角形，BAC=BAE+CAE=60，EAF=CAF+CAE=60，BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），AE=AF，EAF=60，AEF是等边

22、三角形【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的旋转解题的关键是熟练掌握菱形的性质11（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，ECG=45，求证EG=BE+GD（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG/BC(BCAG)，B=90，AB=BC=12，E是AB上一点，且ECG=45，BE=4，求EG的长？【答案】（1）证明见解析；（2）EG=10【分析】（1）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据正方形的性质，可直接证明EBCFDC，从而得出BCE=DCF，根据GCE=45，得GCF=GCE=45，利

23、用全等三角形的判定方法得出ECGFCG，即GE=GF，即可证出EG=BE+GD；（2）过C作CDAG，交AG延长线于D，则四边形ABCD是正方形，设EG=x，则AE=8，根据（1）可得：AG=16-x，在直角AGE中利用勾股定理即可求解【详解】（1）证明：如图3所示，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，四边形ABCD是正方形，BC=DC，ABC=ADC=BCD=90，CDF=180-ADC，CDF=90，ABC=CDF，BE=DF，EBCFDC，BCE=DCF，EC=FC，ECG=45，BCE+GCD=90-ECG=90-45=45，GCD+DCF=FCG=45，ECG=FCGGC=GC，E

24、C=FC，ECGFCG，EG=GFGF=GD+DF= BE+GD，EG= BE+GD（2）解：如图4，过C作CDAG，交AG延长线于D，在直角梯形ABCG中，AGBC，A=B=90，又CDA=90，AB=BC，四边形ABCD为正方形AD=AB=BC=12已知ECG=45，根据（1）可知，EG=BE+DG，设EG=x，则AG=AD-DG= AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x，AE=12-BE=12-4=8在RtAEG中EG2=AG2+AE2，即x2=（16-x）2+82，解得：x=10EG=10【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，注意每个题目之间的关系，正确作

25、出辅助线是解题的关键12如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90，得到EG，过点G作GFCB，垂足为F，GHAB，垂足为H，连接DG，交AB于I(1)求证：(2)求证：四边形BFGH是正方形；(3)求证：ED平分CEI【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）先证明FEG=EDC，即可利用AAS证明全等；（2）首先证明四边形FBHG是矩形，再证明FB=FG即可解决问题；（3）延长BC到J，使得CJ=AI证明IDEJDE（SAS）即可解决问题（1）四边形ABCD是正方形，BC=CD，DCE=ABC=ABF=90，GFCF，GHAB，F=GH

26、B=FBH=90，四边形FBHG是矩形，ED=EG，DEG=90，DEC+FEG=90，DEC+EDC=90，FEG=EDC，在DCE和EFG中DCEEFG（AAS），（2）DCEEFGFG=EC，EF=CD，CB=CD，EF=BC，BF=EC，BF=GF，四边形FBHG是矩形四边形FBHG是正方形（3）延长BC到J，使得CJ=AIDA=DC，A=DCJ=90，AI=CJ，DAIDCJ（SAS），DI=DJ，ADI=CDJ，IDJ=ADC=90，IDE=45，EDI=EDJ=45，DE=DE，IDEJDE（SAS），DEI=DEJ，DE平分IEC【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质和判定，全

27、等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD中，EAF45，求证：EFBEDF”小明同学的思路：四边形ABCD是正方形，ABAD，BADC90把ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得，从而使问题得证(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，求证：EFBEDF(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，

28、ABAC，请直接写出PBPC与AP的关系【答案】(1)BEDFEF(2)证明见解析(3)【分析】（1）将ABE绕A点逆时针旋转，旋转角等于BAD得，证明AEF，等量代换即得结论；（2）将ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于BAD，先证明EAF=，再证明AEF，等量代换即得结论；（3）将ABP绕点A逆时针旋转90得到，先利用圆内接四边形的性质证明P，C，在同一直线上，再证明为等腰直角三角形，等量代换即得结论（1）解：结论：BEDFEF，理由如下：证明：将ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示，可知，由ADC+=180知，C、D、共线，BAF+DAF

29、=EAF，+DAF=EAF=，AEF，EF=BE+DF（2）证明：将ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示，由旋转可知，BADC180，点C，D，在同一条直线上，AFAF，即BEDFEF（3）结论：，理由如下：证明：将ABP绕点A逆时针旋转90得到，使得AB与AC重合，如图所示，由圆内接四边形性质得：AC+ACP=180，即P，C，在同一直线上，BC为直径，BAC=90=BAP+PAC=CA+PAC=，为等腰直角三角形，即【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点解题关键是利用旋转构造全等三角形