专题02 全等三角形（解析版）.docx

1、专题02全等三角形思维导图核心考点聚焦1、 全等图形2、 全等三角形的性质3、 全等三角形的判定方法4、 添加条件使三角形全等5、 全等三角形的应用6、 全等三角形与动点问题7、 角平分线的性质与判定8、 倍长中线模型9、 证明线段和差问题10、常见的辅助线一、 全等三角形的定义和基本性质1.基本定义（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2寻找全等三角形对应边、对应角的三种

2、方法：（1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角（2）位置关系法：公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角3全等三角形的性质及应用全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等二、三角形全等的判定方法及思路1全等三角形的判定方法：“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等“角边角”定理(ASA )：两

3、角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等2全等三角形的证明思路：三、角平分线的性质1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线一、全等的几种模型（1） 平移型 （2）对称型 （3）旋转型 二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法1倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全

4、等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图：已知：在三角形ABC中，O为BC边中点，辅助线：延长AO到点D使AODO，结论：AOBDOC.证明：如图，延长AO到点D使AODO，由中点可知，OBOC，在AOB和DOC中，AOBDOC. 总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的2截长或补短（含有线段关系或求证两线间关系时常用）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于

5、另一条短线段，然后证明新线段等于长线段基本图形，如下：在中，平分（1）在上截取；（2）把延长到点，使. 考点剖析考点一、全等图形例1如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形【解析】要求分成全等的两块，每块图形要包含有8个小正方形考点二、全等三角形的性质例2如图，A，E，C三点在同一直线上，且(1)求证：；(2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想【解析】（1）解：，；（2）解：猜想，时，又，当是直角三角形，且时，考点三、全等三角形的判定方法例3如图，点，在同一直线上，点A，在异侧，(1)请判断和的数量关系，并说明

6、理由；(2)若，求的度数【解析】（1）证明：，在和中，（2）解：，考点四、添加条件使三角形全等例4如图，已知.(1)现要从如下条件中再添加一个；得到你添加的条件是：_（填序号）(2)选择（1）中的一种情况进行证明【解析】（1）解：或（任选一个填即可）（2）选择证明：，在和中，；选择证明：，在和中，.考点五、全等三角形的应用例5如图，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离(1)当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由(2)如

7、图，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，求的度数【解析】（1）解：相等理由如下：伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，在和中，（2）解：，又，考点六、全等三角形与动点问题例6如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向A点运动，设运动时间为秒(1)用含的代数式表示的长度；(2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；(3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？【解析】（1）解：由题意得：，则；（2）解：，理由如下：当时，由题意得：，是的中点，在和中，；（3）解：

8、点的运动速度不相等，当与全等，且，当时，能够使与全等考点七、角平分线的性质与判定例7如图，画，并画的平分线(1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、如图，则 ；(填“”“”或“”)(2)把三角尺绕着点旋转如图，两直角边分别与、交于点、，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由【解析】（1）解：平分，故答案为：；（2），理由如下：过作于，于，如图所示：则，平分，由（1）得，在和中，考点八、倍长中线模型例8（1）在中，是边上的中线，则中线长范围为_；（2）如图，在中，是边上的中线，点分别在上，且，求证：【解析】（1）如图，延长至，使，连接， 则

9、，是边上的中线，在和中，即，故答案为：；（2）证明：如图，延长至使，连接，在和中，考点九、证明线段和差问题例9如图所示，在，平分交于点，延长至点，使，连接求证：【解析】证明：如图所示，在上取一点F使得，连接，是的角平分线，在和中，又，在和中，.考点十、常见的辅助线例10如图，ABC中，AB=AC,在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使CF=BE,连接EF，交BC于点D求证：DE=DF【解析】证明：作FHAB交BC延长线于H，FHAB，FHC=B，BED=HFD又AB=AC，B=ACB又ACB=FCH，FHC=FCHCF=HF又BE=CF，HF=BE在DBE和DHF中，DBEDHF（AS

10、A）DE=DF 过关检测一、选择题1如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度依据的数学基本事实是（）A两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C三边分别相等的两个三角形全等D两点之间线段最短【答案】B【解析】点O为、的中点，由对顶角相等得，在和中，即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，故选B2如图，当时，则度数为（）ABCD【答案】A【解析】，设，解得：，故选A3 如图，点，在同一条直线上，已知：，下列条件中不能判定的是ABCD【答案】C【解析】A、符合全等三角形的判定定理，能

11、推出，故本选项不符合题意；B、符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；D、因为，所以，所以符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意故选C4如图，在中，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：；其中正确结论的个数是()A1B2C3D4【答案】D【解析】，平分，在与中，故正确中，故正确中，在中，即，故正确由可知，易知，若，则有，则有，则可得为等边三角形，这与中的矛盾，故错误由可知，故正确四项正确，故选D5如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D下列四个结论：；点O到各边的距离相等；

12、设，则其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】和的平分线相交于点O，故正确；和的平分线相交于点O，故正确；和的平分线相交于点O，点O是的内心，点O到各边的距离相等，故正确；连接， 点O是的内心，故正确；综上分析可知，正确的有4个故选D二、填空题6如图，在的正方形网格中标出了和，则 度【答案】135【解析】如图，连接、， 由图可知，在和中， ，故答案为：7如图，已知平分，若添加一个条件使，则这个条件可以是 （写三个条件）【答案】或或【解析】平分，又，添加，利用即可得到；添加，利用即可得到；添加，利用即可得到故答案为：或或8如图，在中，于点，点在边上，且，过点作交延长线于点，

13、若，则 【答案】7【解析】，在和中，故答案为：79如图，已知在中，点，分别在边，上，于，（1）若，则 ；（2）已知，则的长是 【答案】 6【解析】（1），在和中，平分，故答案为：；（2），在和中，故答案为：610如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以4厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向A点运动，当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等【解析】设经过秒后，使与全等，厘米，点为的中点，厘米，要使与全等，必须或，即或，解得：或，时，；时，；即点的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，故答案为：4或6.三、解答题11如图，在中，为上一点，垂足分别为、，且请选择一对你认

14、为全等的三角形并加以证明(1)你选择的是：_；(2) 根据你的选择，请写出证明过程【解析】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为，故答案为：，（答案不唯一）；（2）证明：，和是直角三角形，在和中，12如图，点分别在线段上，不添加新的线段和字母，从下列条件，中选择一个使得(1)你选择的一个条件是_（填写序号）(2)根据你的选择，请写出证明过程【解析】（1）解：，可以利用三种方法证明；故可以选择的条件可以是：或或（2）选择：在和中，；选择在和中，；选择在和中，13如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，(1)求证：(2)若，求的长【解析】（1）证明：在和中

15、，在和中，（2）由（1）知，故的长为414如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，(1)求证：；(2)若，直接写出的长为_【解析】（1）证明：点在的垂直平分线上，是的平分线，在和中，；（2）解：在和中，且，即，解得故答案为：15为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接(1)【探究发现】图1中与的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)【初步应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围；(3)【探究提升】如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由【解析】（1）解：是的中线，在和中，故答案为：，；（2）如图2，延长到，使，连接，由（1）可知，在中，即，即边上的中线的取值范围为；（3），理由如下：如图3，延长到，使得，连接，由（1）可知，由（2）可知，、，在和中，