专题02 函数的表示法（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题02 函数的表示法知识点一函数的表示法【思考】(1)在函数的概念中，如果函数yf(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？(2)如果函数yf(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？【提示】（1）确定，一一对应（2）不确定，例如函数的定义域为A1,0,1，值域为B0,1，则对应关系f(x)x2或f(x)|x|均可2函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可3同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数(2)定义域

2、和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同如yx与y3x 的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数【基础自测】1判断正误(正确的画“”，错误的画“”) (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系 ()(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合 ()(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. ()(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域 ()【答案】（1）（2）（3）（4）2若f(x)x2，则f(3)_.【答案】7【解析】f(3)9927.3函数f(x)的定义域是_【答案】x|x4【解析】由4x0，解得x4

3、，所以原函数的定义域是x|x44给出下列三组函数，其中表示同一函数的是_(填序号)f(x)x，g(x)；f(x)2x1，g(t)2t1；f(x)x，g(x).【解析】【解析】中f(x)x与g(x)的定义域不同，不是同一函数；中f(x)2x1，g(t)2t1虽然自变量不同，但定义域和对应关系相同，是同一函数；中f(x)x与g(x)定义域相同对应关系也相同，是同一函数知识点二区间及相关概念1.区间的概念设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为；(2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为；(3)满足不等式axb或aa(a，)x|xbx

4、|xb(，b)【基础自测】1区间(0,1)等于 ()A0,1B(0,1) Cx|0x1 Dx|0x1【答案】C2用区间表示下列数集：(1)x|x1_；(2)x|21，且x2_.【答案】(1)1，)(2)(2,4(3)(1,2)(2，)3设A(6,1，B(1,9，则AB_.【答案】 题型一函数的概念【例1】(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 ()A0B1C2 D3【答案】B【解析】中，因为在集合M中当10，xR，Ny|yR，对应关系f：xy，其中y2xCMx|xR，Ny|yR，对应关系f：xy，其中yx2DMx|xR，Ny|yR，

5、对应关系f：xy，其中y【答案】C【解析】对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应y，不是x的函数；对于B，M中每个元素在N中都有两个不同元素与之对应，y不是x的函数；对于C，M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；对于D，M中x0在N中没有元素对应，y不是x的函数，故选C.【方法技巧】1判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空数集(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且

6、只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数【变式训练】1下列对应或关系式中是A到B的函数的是 ()AAR，BR，x2y21BA1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：CAR，BR，f：xyDAZ，BZ，f：xy【答案】B【解析】A错误，x2y21可化为y，显然对任意xA，y值不唯一B正确，符合函数的定义C错误，2A，在B中找不到与之相对应的数D错误，1A，在B中找不到与之相对应的数2(多选)下列对应为函数的是 ()Axyx，xx|0x6，yy|0y3Bxy6x，xx|1x6，yy|0y5Ctst2t1Dxy，xx|x0，yy|y0【答案】AC【解析】对于A

7、，符合函数的定义，所以是函数；对于B，当x6时，y0不在集合y|0y5中，不符合函数的定义，所以不是函数；对于C，符合函数的定义，所以是函数；对于D，对于x0，都有两个元素y与之对应，不符合函数的定义，所以不是函数故选A、C.题型二已知函数解析式求定义域【例2】求下列函数的定义域(1)f(x)3x；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x).【解析】(1)函数f(x)3x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x10，即x1.又x20，即x2，所以x2且x1.所以函数f(x)的定义域为x|x2且x1(3)要使函数f(x)有意义，自变量x的取值必须满足解得x5，且x3，所以函数f(x)的

8、定义域为x|x5且x3(4)要使函数f(x)有意义，则即解不等式组得1x1.因此函数f(x)的定义域为1,1)【深化探究】(1)若函数yf(x)的定义域是1,2，则函数f(x1)定义域是什么？已知f(x)的定义域如何求f(g(x)的定义域？【提示】由1x12，得0x1，由此得函数f(x1)定义域是0,1已知f(x)的定义域为A，求f(g(x)的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围(2)若函数yf(x1)的定义域是1,2，这里的“1,2”是指谁的取值范围？函数yf(x)的定义域是什么？已知f(g(x)的定义域如何求f(x)的定义域？【提示】1,2是自变量x的取值范围

9、函数yf(x)的定义域是x1的取值范围2,3已知f(g(x)的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x)中的x的取值范围为B，求g(x)的范围(值域)，即为f(x)的定义域【方法技巧】求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义【变式训练】1函数f(x)的定义域为_【答案】x|x0且x1【解析】

10、要使有意义，需满足解得x0且x1，故函数f(x)的定义域为x|x0且x12函数y的定义域为_【答案】【解析】要使函数有意义，需满足解得2x3，且x.题型三求函数的值、值域问题【例3】(1)f(x)2x22，g(x)，则f(2)_；g(f(2)_；g(a)g(0)(a2)_.(2)求下列函数的值域：yx1，x1,2,3,4,5；yx22x3，x0,3)；y；y2x.【解析】(1)因为f(x)2x22，所以f(2)222210，又因为g(x)，所以g(f(2)g(10)，g(a)g(0)(a2)(2)观察法：因为x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6配方法：yx22

11、x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2,6)分离常数法：y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)换元法：设t，则t0且xt21，所以y2(t21)t22，由t0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.【方法技巧】1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2求函数值域常用的4种方法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式

12、转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法【变式训练】1变条件在本例(1)的条件下，若f(b)10，求b的值【解析】因为f(x)2x22，所以f(b)2b2210，解得b2.2变设问在本例(1)的条件下，判断点(3,20)是否在函数f(x)的图象上【解析】因为f(3)232220，所以点(3,20)在函数f(x)的图象上3求下列函数的值域： (1)y1；(2)y.【解析】(1)因为0，所以11，即所求函数的值域为1，)(2)因为y1，又函数的定义域为R

13、，所以x211，所以02，则y(1,1所以所求函数的值域为(1,1题型四同一个函数的判断问题 探究发现在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备什么条件？【提示】起决定作用的是函数的对应关系和定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定；当两个函数的定义域和对应关系相同时，这两个函数就相等 【例4】下列各组函数中，表示同一函数的是 ()Ay与y By|x|与yCyx与yDy与yx0【答案】D【解析】A选项：y的定义域为x|x2，y的定义域为x|x2或x2，两函数不是同一函数B选项：y|x|与y的定义域均为R，yx，可知两函数的对应关系不同，两函数不是同一函数C选项

14、：yx与y的定义域均为R，y|x|，可知两函数的对应关系不同，两函数不是同一函数D选项：y与yx0的定义域均为x|x0，y1x0，可知两函数的对应关系相同，两函数是同一函数故选D.【方法技巧】判断两函数为同一个函数的方法判断两函数是否为同一个函数，关键是树立定义域优先的原则(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同【变式训练】判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)f(x)，g(x)x5；(2)y，y.【解析】(1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数 (2)y的定义域为x|1x1，y的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y，

15、两函数的对应关系也相同故y与y是同一函数课堂思维激活一、综合性强调融会贯通1有一道题“若函数y的定义域为一切实数，求k的取值范围”，某位同学给出了如下解题过程：【解析】由y的定义域为一切实数，可知分母kx24kx30对一切实数x恒成立，(4k)24k30，解得0k，k的取值范围为.分析以上的解题过程是否正确，若不正确，请说明理由【提示】错误的原因是没有对k的值进行分类讨论，当k0时，kx24kx33不是二次函数，但是能成立【正解如下】由y的定义域为一切实数可得分母kx24kx30对xR恒成立当k0时，kx24kx330对xR恒成立当k0时，(4k)24k30，解得0k.综上可知，当0k时，函数

16、的定义域为一切实数二、应用性强调学以致用2有一个半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆上，写出这个梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出其定义域析题建模利用等腰梯形的性质，求出上底与腰长x之间的关系即可表示出周长y与腰长x之间的函数关系式，再根据实际意义求出x的取值范围【解析】如图所示，腰长ADBCx，作DEAB于点E，连接BD.因为AB是O的直径，C，D在圆上，所以ADB90，所以EDADBA，即AD2AEAB，所以AE，所以CDAB2AE2R，所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y2R2x2x4R. 因为四边形ABCD的各边长都为正数，所以AD

17、0，CD0，即解得0xR，所以所求函数的定义域为x|0xR三、创新性强调创新意识和创新思维3若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y2x23，值域为1,5的“孪生函数”共有 ()A7个B8个C9个 D10个【答案】C【解析】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数函数解析式为y2x23，值域为1,5，由2x231得，x1；由2x235得，x2.则定义域可以为1,2，1，2，1,2，1，2，1，1，2，1，1，2，1,2，2，1，2,2，1，1,2，2，因此“孪生函数”共有9个1函数yf(x)(f(x)0)的图象与x1的交点个数是()

18、A1B2C0或1D1或2【答案】C【解析】结合函数的定义可知，如果f：AB成立，则任意xA，则有唯一确定的B与之对应，由于x1不一定是定义域中的数，故x1可能与函数yf(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x1至多有一个交点2设f(x)2x3，g(x)f(x2)，则g(x)()A2x1B2x1C2x3D2x7【答案】C【解析】f(x)2x3，f(x2)2(x2)32x1，即g(x)2x1，故选B.3若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为()A.BC(1,3)D(2,1)【答案】A【解析】设一次函数的解析式为ykxb(k0)，由该函数的图象经过

19、点A(1,6)和B(2,8)，得解得，所以此函数的解析式为y2x4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式故选A.4若f(12x)(x0)，那么f等于()A1B3C15D30【答案】C【解析】令12xt，则x(t1)，f(t)1(t1)，即f(x)1(x1)，f16115.5设f(x)2xa，g(x)(x23)，且g(f(x)x2x1，则a的值为()A1B1C1或1D1或2【答案】B【解析】因为g(x)(x23)，所以g(f(x)(2xa)23(4x24axa23)x2x1，求得a1.故选B.6已知f(x)是一次函数，满足3f(x1)6x4，则f(x)_.【答案】2x【解析】设f(x)axb(a0

20、)，则f(x1)a(x1)baxab，依题设，3ax3a3b6x4，则f(x)2x.7已知函数f(2x1)3x2，且f(a)4，则a_.【答案】【解析】因为f(2x1)(2x1)，所以f(a)a.又f(a)4，所以a4，a.8已知函数f(x)满足f(x)2f3x，则f(x)的解析式为_【答案】f(x)x(x0)【解析】由题意知函数f(x)满足f(x)2f3x，即f(x)2f3x，用代换上式中的x，可得f2f(x)，联立方程得解得f(x)x(x0)9已知函数pf(m)的图象如图所示求：(1)函数pf(m)的定义域；(2)函数pf(m)的值域；(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应【解析】(1)

21、观察函数pf(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是3m0或1m4，由图知定义域为3,01,4(2)由图知值域为2,2(3)由图知：p(0,2时，只有唯一的m值与之对应10已知f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2，求f(x)的解析式【解析】设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3，f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.解得f(x)x2x3.11(多选)设f(x)，则下列结论错误的有()Af(x)f(x)Bff(x)Cff(x)Df(x)f(x)【答案】AC【解析】因为f(x)，所以f(x)f

22、(x)，ff(x)，ff(x)，故选A、C.12某商场在国庆促销期间，规定商场内所有商品均按标价的80%出售同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额/元200,400)400,500)500,700)700,900)奖券金额/元3060100130根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为110(11040032030)元若顾客购买一件标价为1 000元的商品，则所能得到的优惠额为()A130元B330元C360元D800元【答案】B【解析】当顾客购买一件标价为1 000元的商品

23、时，消费金额为1 00080%800(元)由表格，可知该顾客还可获得130元的奖券，故所能得到的优惠额为1 000800130330(元)，故选B.13(一题两空)已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)成立(1)f(1)_；(2)若f(2)p，f(3)q(p，q均为常数)，则f(36)_.【答案】(1)0(2)2p2q【解析】(1)令a1，b1，得f(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)令ab2，得f(4)f(2)f(2)2p，令ab3，得f(9)f(3)f(3)2q.令a4，b9，得f(36)f(4)f(9)2p2q.14设二次函数f(x)满足f(x2)f

24、(x2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式【解析】法一：设f(x)ax2bxc(a0)由f(x2)f(x2)得4ab0；又因为|x1x2|2，所以b24ac8a2；又由已知得c1.由解得b2，a，c1，所以f(x)x22x1.法二：因为yf(x)的图象有对称轴x2，又|x1x2|2，所以yf(x)的图象与x轴的交点为(2，0)，(2，0)，故可设f(x)a(x2)(x2)因为f(0)1，所以a.所以f(x)(x2)22x22x1.15某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天

25、能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数【解析】(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设ykxb(k0)由题意，得164kb,107kb，解得k2，b24，所以y2x24.(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，则由(1)知Sxy，所以Sx(2x24)2x224x2(x6)272，所以当x6时，Smax72，此时y12，则每日最多运营的人数为110727 920.所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.