专题02 平行线模型-“铅笔”模型-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（苏科版）.docx

1、 专题02 平行线模型-“铅笔”模型专题说明 上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。【模型刨析】模型二：“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、 CD内部“铅笔”模型结论1：若ABCD，则P+AEP+PFC=3 60；结论2：若P+AEP+PFC= 360，则ABCD. 【典例分析】【典例1】（2022秋驿城区校级期末）问题情境：如图1，ABCD，PAB135，PCD125求APC度数小明的思路是：如图2，过P作PEAB，通过平行线性质，可求得APC的度数请写出具体求解过程问题迁移：（1）如图3

2、，ADBC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，ADP，BCPCPD、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出CPD、间的数量关系【变式1-1】（2022春常州期中）问题情境：如图，直线ABCD，点E，F分别在直线AB，CD上猜想：（1）若1130，2150，试猜想P ；探究：（2）在图中探究1，2，P之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图变为图，若1+2325，EPG75，求PGF的度数【变式1-2】（2022春鹿邑县月考）如图，已知ABCD，ABE与CDE的平分线相交于点F（

3、1）如图1，若E70，求BFD的度数；（2）如图2，若ABMABF，CDMCDF，写出M和E之间的数量关系，并证明你的结论【变式1-3】（2022秋南岗区校级月考）已知：如图，ABCD（1）如图1，求证：A+E+D360；（2）如图2，若AF平分EAB，DF平分EDC探究AFD与AED的数量关系 （直接写出结论）（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AHED交DC于点H，AD平分EAH，DAG：FDC1：2，AF延长线交CD于点G求：BAH的度数【夯实基础】1.（2022秋朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若BCD135，则ABC 度2

4、（2021秋雁塔区校级期末）如图，直线l1l2，若135，则2+3 3（2022春大兴区期末）如图，已知ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE（1）猜想BED时，B，D的数量关系，并证明；（2）作ABE，CDE的角平分线BF，DF交于点F依题意补全图形；直接用等式表示BFD与BED的数量关系4（2021秋九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n（1）当mn时，若150，则2 ，3 ；（2）当mn时，若1x（0x90），则3 ；（3）根据（1）（2）结果

5、，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角3为多少度时，mn请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）5（2022春普兰店区期中）直线ABCD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B（1）如图1，若DEAC，CAB130，ABF80，求DEB的度数；（2）如图2，若CABa，CDE2ACD，若BED140，求ABE的度数（用含式子表示）（3）如图3，若ABE的角平分线与CDE的角平分线交于点Q，试找出E和Q的数量关系并说明理由6.（2022春宾阳县期中）如图，ABCD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，EOF100（1）如图1，求BEO+DFO的值：（2）如图2

6、，当BEO的平分线与DFO的平分线交于点M时，求EMF的度数：（3）如图3，直线MN交BEO、CFO的角平分线分别于点M，N，求EMNFNM的值7（2022春南昌期中）如图，已知ABCD，CPDN（1）求证：BAP+APC+DCP360；（2）求证：BAM+AMDCDM180；（3）当，且AMD150时，求APC的度数【能力提升】8（2022春高淳区校级期中）对于平面内的M和N，若存在一个常数k0，使得M+kN360，则称N为M的k系补周角若M90，N45，则N为M的6系补周角（1）若H80，则H的4系补周角的度数为 （2）在平面内ABCD，点E是平面内一点，连接BE、DE如图1，D60，若B

7、是E的3系补周角，求B的度数如图2，ABE和CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足ABFnABE，CDFnCDE（其中n为常数且n1），点P是ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得BPD是F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）9（2022春宁阳县期末）如图，ABCD，点E为两直线之间的一点（1）如图1，若BAE35，DCE20，则AEC ；（2）如图2，试说明，BAE+AEC+ECD360；（3）如图3，若BAE的平分线与DCE的平分线相交于点F，判断AEC与AFC的数量关系，并说明理由；如图4，若设Em，BAFFAE，D

8、CFFCE，请直接用含m、n的代数式表示F的度数 专题02 平行线模型-“铅笔”模型专题说明 上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。【模型刨析】模型二：“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、 CD内部“铅笔”模型结论1：若ABCD，则P+AEP+PFC=3 60；结论2：若P+AEP+PFC= 360，则ABCD. 【典例分析】【典例1】（2022秋驿城区校级期末）问题情境：如图1，ABCD，PAB135，PCD125求APC度数小明的思路是：如图2，过P作PEAB，通过平行线性质，可求得AP

9、C的度数请写出具体求解过程问题迁移：（1）如图3，ADBC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，ADP，BCPCPD、之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出CPD、间的数量关系【解答】解：过P作PEAB，ABCD，PEABCD，APE180A45，CPE180C55，APC45+55100；（1）CPD+，理由如下：如图3，过P作PEAD交CD于E，ADBC，ADPEBC，DPE，CPE，CPDDPE+CPE+；（2）当点P在A、M两点之间时，CPD；理由：如图4，过P作PEAD交CD于

10、E，ADBC，ADPEBC，DPE，CPE，CPDCPEDPE；当点P在B、O两点之间时，CPD理由：如图5，过P作PEAD交CD于E，ADBC，ADPEBC，DPE，CPE，CPDDPECPE【变式1-1】（2022春常州期中）问题情境：如图，直线ABCD，点E，F分别在直线AB，CD上猜想：（1）若1130，2150，试猜想P80；探究：（2）在图中探究1，2，P之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图变为图，若1+2325，EPG75，求PGF的度数【解答】解：（1）如图，过点P作PMAB，ABCD，ABCDPM，1+EPM180，2+MPF180，1130，2150，EPM50

11、，MPF30，EPFEPM+MPF50+3080，故答案为：80；（2）EPF36012，理由如下：如图，过点P作PMAB，ABCD，ABCDPM，1+EPM180，2+MPF180，EPM1801，MPF1802，EPFEPM+MPF（1801）+（1802）36012；（3）如图，过点P作PMAB，ABCD，ABCDPM，由（2）知，PGF360MPG2，PMAB，1+EPM180，EPM1801，EPGEPM+MPG75，MPG75EPM75（1801）1105，PGF360MPG2360（1105）2465（1+2），1+2325，PGF465325140【变式1-2】（2022春鹿邑

12、县月考）如图，已知ABCD，ABE与CDE的平分线相交于点F（1）如图1，若E70，求BFD的度数；（2）如图2，若ABMABF，CDMCDF，写出M和E之间的数量关系，并证明你的结论【解答】解：（1）如图1，过点E作ENAB，ENAB，ABE+BEN180，ABCD，ABNE，NECD，CDE+NED180，ABE+E+CDE360，E70，ABE+CDE290，ABE与CDE的平分线相交于点F，ABF+CDF（ABE+CDE）145，过点F作FGAB，FGAB，ABFBFG，ABCD，FGAB，FGCD，CDFGFD，BFDABF+CDF145；（2）结论：E+6M360，证明：设ABMx

13、，CDMy，则FBM2x，EBF3x，FDM2y，EDF3y，由（1）得：ABE+E+CDE360，6x+6y+E360，M+EBM+E+EDM360，6x+6y+EM+5x+5y+E，Mx+y，E+6M360【变式1-3】（2022秋南岗区校级月考）已知：如图，ABCD（1）如图1，求证：A+E+D360；（2）如图2，若AF平分EAB，DF平分EDC探究AFD与AED的数量关系 （直接写出结论）（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AHED交DC于点H，AD平分EAH，DAG：FDC1：2，AF延长线交CD于点G求：BAH的度数【解答】解：（1）过点E作EMAB，如图，ABCD，EMCD，

14、EMAB，A+AEM180，EMCD，DEM+D180，（A+AEM）+（DEM+D）360，即A+AED+D360（2）过点E作EMAB，过点F作FNAB，如图，FNAB，NFABAFAF平分EAB，EAB2BAFEAB2NAFFNAB，ABCD，FNCDNFDFDCDF平分EDC，EDC2FDC，EDC2NFDBAE+EDC2（NFA+NFD）2AFD由（1）知：EAB+AED+EDC360AED360（EAB+EDC）3602AFD，2AFD+AED360；故答案为：2AFD+AED360；（3）AD平分EAH，EAH2EAD，AF平分EAB，EAB2EAG，HABEABEAH2EAG2

15、EAD2DAG，DAG：FDC1：2，可设DAGx，FDC2x，则HAB2x，DF平分EDC，EDC2FDC22x4x，EDAH，EDC+AHD180，AHD1804x，ABCD，HABAHD，2x1804x，x30，BAH23060、【夯实基础】1.（2022秋朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若BCD135，则ABC 度【答案】135【解答】解：如图，过点B作BFCD，CDAE，CDBFAE，1+BCD180，2+BAE180，BCD135，BAE90，145，290，ABC1+2135故答案为：1352（2021秋雁塔区校级期末）

16、如图，直线l1l2，若135，则2+3 【答案】215【解答】解：过点E作EF11，1112，EF11，EF1112，1AEF35，FEC+3180，2+3AEF+FEC+335+180215故答案为：2153（2022春大兴区期末）如图，已知ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE（1）猜想BED时，B，D的数量关系，并证明；（2）作ABE，CDE的角平分线BF，DF交于点F依题意补全图形；直接用等式表示BFD与BED的数量关系【解答】（1）B+BED+D360证明：过点E作EGABB+BEG180ABCD，EGAB，EGCD，DEG+D180，B+BEG+DEG+D180+180即

17、B+BED+D360；（2）解：如图所示：由（1）得ABC+BED+CDE360，ABE，CDE的角平分线BF，DF交于点F，ABC2FBE，CDE2FDE，2FBE+BED+2CDE360，即FBE+BED+CDE180，BFD+FBE+BED+CDE360，4（2021秋九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n（1）当mn时，若150，则2 ，3 ；（2）当mn时，若1x（0x90），则3 ；（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角3为

18、多少度时，mn请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）【解答】解：（1）mn，4+2180，5150，480，2100，6740，31805690，故答案为：100；90；（2）mn，4+2180，51x，41802x，22x，6790x，318056180x90+x90，故答案为：90；（3）根据（1）、（2）猜想：当两平面镜a、b的夹角3是90时，总有mn，证明：390，5+690，1+790，1+5+6+7180，又1+4+5+2+6+7360，4+2180，mn5（2022春普兰店区期中）直线ABCD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B（1）如图1，若DEAC，CA

19、B130，ABF80，求DEB的度数；（2）如图2，若CABa，CDE2ACD，若BED140，求ABE的度数（用含式子表示）（3）如图3，若ABE的角平分线与CDE的角平分线交于点Q，试找出E和Q的数量关系并说明理由【解答】解：（1）过点E作EHAB，ABFBEH80，ABCD，CAB130，ACD180CAB50，EHCD，ACDE，ACDEDG50，EHCD，EDGHED50，BEDBEH+HED130，DEB的度数为130；（2）过点E作EPAB，ABE+BEP180，ABCD，CDE+DEP180，ABE+BEP+CDE+DEP360，ABE+BED+CDE360，ABCD，ACD1

20、80CAB180，CDE2ACD，CDE2（180）3602，BED140，ABE360BEDCDE360140（3602）2140，ABE的度数为2140；（3）BED+2BQD360，理由：延长BQ交直线CD于点K，设ABQx，CDQy，BQ平分ABE，DQ平分CDE，ABE2ABQ2x，CDE2CDQ2y，ABCD，BKDABQx，BQDBKD+CDQx+y，由（2）得：ABE+BED+CDE360，BED360ABECDE3602x2y，BED+2BQD3602x2y+2（x+y）360，BED+2BQD3606.（2022春宾阳县期中）如图，ABCD，点E，F分别在直线AB，CD上，

21、点O在直线AB，CD之间，EOF100（1）如图1，求BEO+DFO的值：（2）如图2，当BEO的平分线与DFO的平分线交于点M时，求EMF的度数：（3）如图3，直线MN交BEO、CFO的角平分线分别于点M，N，求EMNFNM的值【解答】解：（1）过点O作OGAB，如图：ABCD，OGAB，ABOGCD，BEO+EOG180，DFO+FOG180，BEO+EOG+DFO+FOG360，即BEO+EOF+DFO360，EOF100，BEO+DFO260；（2）过点M作MHAB，如图：ABCD，MHAB，ABMHCD，EMHBEM，FMHDFM，EMFEMH+FMHBEM+DFM，由（1）中的结论

22、可得：BEO+DFO260，EM，FM分别平分BEO和DFO，BEMBEO，DFMDFO，BEM+DFM（BEO+DFO）260130，EMF130；（3）过点M作MKAB，过点N作NHCD，如图：EM平分BEO，FN平分CFO，设BEMOEMx，CFNOFNy，BEO+DFO260，BEO+DFO2x+1802y260，xy40，MKAB，NHCD，ABCD，ABMKNHCD，EMKBEMx，HNFCFNy，KMNHNM，EMNFNMEMK+KMN（HNM+HNF）x+KMNHNMyxy40，EMNFNM的值为407（2022春南昌期中）如图，已知ABCD，CPDN（1）求证：BAP+APC

23、+DCP360；（2）求证：BAM+AMDCDM180；（3）当，且AMD150时，求APC的度数【解答】（1）证明：过点P作PEAB，ABCD，ABPECD，BAP+APE180，CPE+DCP180，BAP+APE+CPE+DCP360，即BAP+APC+DCP360；（2）证明：过点M作MQAB，ABCD，ABMQCD，BAM+AMQ180，CDMDMQ，AMDAMQ+DMQ，AMQAMDCDM，BAM+AMDCDM180；（3）解：延长AM交CD于点E，延长AP交CD的延长线于点F，ABCD，BAE+AED180，AMDMED+MDE150，180BAM+MDE150，NDMNDC，M

24、DENDC，BAMBAP，BAPNDC30，BAPNDC45，ABCD，BAP+AFC180，CPDN，PCFNDC，APCAFC+PCF180BAP+NDC180（BAPNDC）18045135【能力提升】8（2022春高淳区校级期中）对于平面内的M和N，若存在一个常数k0，使得M+kN360，则称N为M的k系补周角若M90，N45，则N为M的6系补周角（1）若H80，则H的4系补周角的度数为 （2）在平面内ABCD，点E是平面内一点，连接BE、DE如图1，D60，若B是E的3系补周角，求B的度数如图2，ABE和CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足ABFnABE，CDFnCDE（其中n为

25、常数且n1），点P是ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得BPD是F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）【解答】解：（1）设H的4系补周角的度数为x，根据新定义得：80+4x360，解得x70，H的4系补周角的度数为70，故答案为：70；（2）过E作EFAB，如图1，BBEF，ABCD，EFCD，D60，DEFD60，B+60BEF+DEF，即B+60BED，B是BED的3系补周角，BED3603B，B+603603B，B75；如图2，当BG上的动点P为CDE的角平分线与BG的交点时，满足BPD是F的k系补周角，过点P作PM

26、AB，过点F作FNAB，如图2，ABCD，CDPM，CDFN，ABPBPM，CDPDPM，ABF+BFN180，CDF+DFN180，ABF+BFD+CDFABF+BFN+CDF+DFN180+180360，ABE的平分线与CDE的平分线相交于点P，ABPABE，CDPCDE，BPDBPM+DPM（ABE+CDE），ABFnABE，CDFnCDE，BPD（ABF+CDF），BPD（ABF+CDF），BPD（360BFD），BFD+2nBPD360，BPD是BFD的k系补周角，此时，k2n9（2022春宁阳县期末）如图，ABCD，点E为两直线之间的一点（1）如图1，若BAE35，DCE20，则A

27、EC ；（2）如图2，试说明，BAE+AEC+ECD360；（3）如图3，若BAE的平分线与DCE的平分线相交于点F，判断AEC与AFC的数量关系，并说明理由；如图4，若设Em，BAFFAE，DCFFCE，请直接用含m、n的代数式表示F的度数【解答】解：（1）55如图所示，过点E作EFAB，ABCDABCDEF，BAE1，ECD2，AEC1+2BAE+ECD35+2055，故答案为55（2）如图所示，过点E作EGAB，ABCDABCDEG，A+1180，C+2180，A+1+2+C360，即BAE+AEC+ECD360（3）2AFC+AEC360，理由如下：由（1）可得，AFCBAF+DCF，AF平分BAE，CF平分DCE，BAE2BAF，DCE2DCF，BAE+DCE2AFC，由（2）可知，BAE+AEC+DCE360，2AFC+AEC360由知F+FAE+E+FCE360，BAFFAE，DCFFCE，BAF+DCFF，F（FAE+FCE），FAE+FCEnF，F+E+nF360，（n+1）F360E360m，F