专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）（原卷版）.docx

1、专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点串讲）目录一、思维导图1二、知识回归2三、典型例题讲与练4考点清单01点到平面距离4【考试题型1】利用空间向量求点面距4【考试题型2】利用等体积法求点面距8考点清单02异面直线所成角12【考试题型1】异面直线所成角12【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围16【考试题型3】已知线线角求参数20考点清单03直线与平面所成角21【考试题型1】直线与平面所成角（定值）21【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围）25【考试题型3】直线与平面所成角（探索性问题）31考点清单04两个平面所成角36【考试题型1】两个平面所成角（定值）36【考试题型2】两个平面

2、所成角（最值或范围）42【考试题型3】两个平面所成角（探索性问题）49一、思维导图二、知识回归知识点01：点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.知识点02：用向量运算求两条直线所成角已知，为两异面直线，与，分别是，上的任意两点，为所成的角为，则.知识点03：用向量运算求直线与平面所成角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有.（注意此公式中最后的形式是：）知识点04：用向量运算求平面与平面的夹角若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.

3、若分别为面，的法向量根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；三、典型例题讲与练01点到平面距离【考试题型1】利用空间向量求点面距【解题方法】【典例1】（2023上广东佛山高二华南师大附中南海实验高中校考期中）如图，正方体的棱长为2，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为 .【典例2】（2023上四川绵阳高二绵阳中学校考阶段练习）已知正三棱柱的所有棱长均为2，为线段上的动点，则到平面的最大距离为 .【专训1-1】（2023上广东深圳高二校考阶段练习）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是 .【专训1-2】（2023上安

4、徽高二合肥一中校联考阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 .【考试题型2】利用等体积法求点面距【解题方法】等体积法【典例1】（2023上上海高二校考期中）已知三棱锥，且两两垂直，则点到平面的距离为 .【典例2】（2023上山西大同高二统考期中）在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是 .【专训1-1】（2023上山东高二校联考期中）将边长为2的等边沿边中线折起得到三棱锥，当所得三棱锥体积最大时，点到平面的距离为 【专

5、训1-2】（2023上重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，点是的中点，则点到平面的距离是 02异面直线所成角【考试题型1】异面直线所成角【解题方法】向量法【典例1】（2023上上海高二校考期中）正四棱锥的侧面是等边三角形，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 .【典例2】（2023上四川成都高二校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .【专训1-1】（2023上上海高二校考期中）如图，在正四面体中，则异面直线与所成角的余弦值为 .【专训1-2】（2023上浙江金华高二校考阶段

6、练习）如图，已知三棱锥中，和都是边长为2的正三角形，点E，F分别是AB，CD的中点那么异面直线AF和CE所成角的余弦值等于 .【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围【解题方法】向量法【典例1】（2023上河北张家口高二校联考阶段练习）如图，在正方体中，点在线段上运动，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 .【典例2】（2023上吉林高二东北师大附中校考阶段练习）若三棱锥中，点E为BC中点，点F在棱AD上（包括端点），则异面直线AE与CF所成的角的余弦值的取值范围是 【专训1-1】（2023上山东高二校联考阶段练习）在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与所成角的正弦值的最小值为 【

7、专训1-2】（2023上河南高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，G为的外心，D为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为 【考试题型3】已知线线角求参数【解题方法】向量法【典例1】（2022下江苏常州高二校考期末）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为 .【专训1-1】（2022下江苏常州高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为 03直线与平面所成角【考试题型1】直线与平面所成角（定值）【解题方法】向量法，法向量【典例1】（20

8、23上高二课时练习）正方体中，E，F分别是的中点，则与截面所成角的正切值为 .【典例2】（2023上河北邯郸高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，D为的中点，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【专训1-1】（2023上河南高二校联考期中）在如图所示的几何体中，平面，四边形是边长为4的正方形，则直线与平面所成角的正弦值为 .【专训1-2】（2023上广东广州高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，点M，N分别为和的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【考试题型2】直线与平面所成角（最值或范围）【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式【典例1】

9、（2022下江苏淮安高二马坝高中校考期中）在正方体中，点为线段的中点设点在线段不与重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是 【典例2】（2023上河南开封高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，E为线段AP上一点，且平面BDE(1)求AE的长；(2)F为线段CP上的动点，求直线DF与平面BDE所成角正弦值的取值范围【专训1-1】（2022高二单元测试）如图所示，在正方体中，AB3，M是侧面内的动点，满足，若AM与平面所成的角，则的最大值为 .【专训1-2】（2023上湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1(1)从下面中选择两个作为条件，证明另一个成

10、立；为直角；平面平面(2)设点是棱上一点在（1）中条件都成立的情况下，试确定点的位置，使得直线与平面所成的角最大【考试题型3】直线与平面所成角（探索性问题）【解题方法】向量法，法向量【典例1】（2023上浙江杭州高三统考期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，且底面，与底面成角，且(1)求证：；(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值【典例2】（2023上广东广州高二广东广雅中学校考期中）在等腰梯形中，为的中点，线段与交于点（如图）将沿折起到位置，使得平面平面（如图）(1)求证：；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【专训1-1】（2023上

11、上海高二校考期中）在正方体中，求：(1)二面角的大小(2)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，判断点位置并说明理由【专训1-2】（2023上宁夏吴忠高二吴忠中学校考期中）在直角梯形中，如图把沿翻折，使得平面平面（如图）(1)求证：；(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为60？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由04两个平面所成角【考试题型1】两个平面所成角（定值）【解题方法】向量法，法向量【典例1】（2023上广东佛山高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保

12、持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为 .【典例2】（2024上重庆沙坪坝高三重庆八中校考阶段练习）如图，已知四边形是直角梯形，且，平面平面，是的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值.【专训1-1】（2023全国高二课堂例题）已知在三棱锥中，若点C在平面ABD上的射影恰好在AD上，则二面角的平面角的正弦值大小为 【专训1-2】（2024上江西南昌高三统考开学考试）如图，在三棱锥中，分别为，的中点，.(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值.【考试题型2】两个平面所成角（最值或范围）【解题方法】向量法，法向量，二次函数，基本不等式【典例1】（2022下四川绵阳高二

13、统考期末）在三棱锥中，面面，是的中点.设，若，则二面角的余弦值的范围为（）ABCD【典例2】（2023上辽宁高二校联考阶段练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中点，点在棱上，且，(1)若平面平面，证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值【专训1-1】（2023上湖北武汉高二华中师大一附中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为 .【专训1-2】（2023上陕西咸阳高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的

14、等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：(1)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(2)求锐二面角的余弦值的取值范围【考试题型3】两个平面所成角（探索性问题）【解题方法】向量法，法向量【典例1】（2023上江苏无锡高二江苏省太湖高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，平面，且，.(1)求证：；(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成角的大小为，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由.【典例2】（2023上浙江温州高二校联考期中）如图，在三棱锥中，面面为等腰直角三角形，为线段上一动点(1)若点为线段的三等分点（靠近点），求点到平面的距离；(2)线段

15、上是否存在点（不与点、点重合），使得直线与平面的所成角的余弦值为若存在，请确定点位置并证明；若不存在，请说明理由【专训1-1】（2023上河北石家庄高二石家庄二中校考阶段练习）如图，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，且，如果已知，是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将沿AD折起，连接EB，EC得图所示的几何体(1)若点M是ED的中点，求证：平面ABE；(2)若，在棱EB上是否存在点F，使得二面角的大小为？若存在，求出点F的位置，并求出此时直线DF与平面BCE夹角的正弦值；若不存在，请说明理由【专训1-2】（2023上浙江湖州高二吴兴高级中学校考阶段练习）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，点满足.(1)若，求证平面；(2)求点到平面的距离；(3)若平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.