专题02函数A辑（教师版含解析）备战2021年高中数学联赛之1981-2020年高中数学联赛一试试题分专题训练.docx

1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题02函数A辑历年联赛真题汇编1【2008高中数学联赛(第01试)】函数f(x)=5-4x+x22-x在(，2)上的最小值是( )A0B1C2D3【答案】C【解析】当x0，因此f(x)=1+4-4x+x22-x=12-x+(2-x)212-x(2-x)=2，当且仅当12-x=2-x时取得等号.而此方程有解x=1(，2)，因此f(x)在(，2)上的最小值为2.故选C2【2006高中数学联赛(第01试)】设logx2x2+x-1logx2-1，则x的取值范围为( )A12x12且x1Cx1D0x0,x12x2+x-10，解得x12,x

2、1，由logx2x2+x-1logx2-1，所以logx2x3+x2-xlogx2，则0x12x3+x2-x2，解得0x12x3+x2-x2，解得x1.所以x的取值范围为x12且x1.故选B3【2006高中数学联赛(第01试)】设f(x)=x3+log2(x+x2+1)，则对任意实数a，b，a+b0是f(a)+f(b)0的( )A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】显然f(x)=x3+log2(x+x2+1)为奇函数，且单调递增.于是，若a+b0，则a-b，有f(a)f(-b)，即f(a)-f(b)，从而有f(a)+f(b)0.反之，若f(a

3、)+f(b)0，则f(a)-f(b)=f(-b)，推出a-b，即a+b0.故选A4【2002高中数学联赛(第01试)】函数f(x)=log12x2-2x-3的单调递增区间是( )A(-,-1)B(-,1)C(1,+)D(3,+)【答案】A【解析】由x2-2x-3=(x+1)(x-3)0有x3.故函数log12x2-2x-3的定义域为x3.又因为u=x2-2x-3在(，1)内单调递减，在(3，+)内单调递增.而log12u在(0，+)上单调递减，所以log12x2-2x-3在(，1)单调递增，故选A.5【2002高中数学联赛(第01试)】函数f(x)=x1-2x-x2( )A是偶函数但不是奇函数

4、B是奇函数但不是偶函数C既是偶函数又是奇函数D既不是偶函数也不是奇函数【答案】A【解析】函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+)，当x0时，因为f(-x)=-x1-2-x-x2=-x2x2x-1+x2=x+x2x-11-2x+x2=x1-2x-x+x2=x1-2x-x2=f(x).所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A.6【2000高中数学联赛(第01试)】给定正数p，q，a，b，c其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0( )A无实根B有两个相等实根C有两个同号相异实根D有两个异号实根【答案】A【解析】解法一由各选择支确定

5、且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是-2x2-4x+3=0，有0.故选：A.解法二依题意a2=pq，设等差数列p，b，c，q的公差为d0，=4a2-4bc，由a2-bc=pq-(p+d)(q-d)=pd-qd+d2=(-3d)d+d2=-2d20可得0，故选：A.7【1999高中数学联赛(第01试)】若log23x-log53xlog23-y-log53-y，则( )Ax-y0Bx+y0Cx-y0Dx+y0【答案】B【解析】记f(t)=log23t-log53t，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)f(-y)，故x-y，即x

6、+y0.引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，ab，则ab1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解决就很需要它：设a，b，c，d是自然数，满足a+cn,ab+cd1，证明ab+cd1，b1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a1)+1g(b1)的值( )A等于lg2B等于1C等于0D不是与a，b无关的常数【答案】C【解析】因为lg(a+b)=lga+lgb，所以a+b=ab，即(a-1)(b-1)=1，因此lg(a-1)+lg(b-1)=0.9【1996高中数学联赛(第01试

7、)】如果在区间1，2上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1x2在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )A4+113232+34B4-5232+34C1-1232-34D以上答案都不对【答案】B【解析】函数f(x)在-p2,4q-p24上取到最小值，而g(x)=x2+x2+1x23x2x21x213=3413，等号取到当x2=1x2时，即x=213，则有-p2=213，4q-p24=3413，解得p=-243,q=32-23+223.由于213-10B0k12n+1C12n+10.又由(x-2n)2=k2x知，抛物线y=(x-2n)2与直线y=k2x在区间(2n

8、1，2n+1)上有两个不同交点，所以，当x=2n1时，有(x-2n)2k2x，而当x=2n+1时，有(x-2n)2k2x.从而k2(2n+1)1，即k12n+1.故选B.11【1993高中数学联赛(第01试)】已知f(x)=asinx+b3x+4(a，b为实数)且flglog310=5，则f(lglg3)的值是( )A-5B-3C3D随a，b取不同值而取不同值【答案】C【解析】因为f(x)4是奇函数，故f(-x)-4=-(f(x)-4)，即f(-x)=-f(x)+8.而lglg3=-lglog310，所以f(lglg3)=f-lglog310=-flglog310+8=-5+8=3.12【19

9、92高中数学联赛(第01试)】设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10x)，f(20x)=f(20+x).则f(x)是( )A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数【答案】C【解析】由所给第一式得f10+(10-x)=f10-(10-x)，所以f(x)=f(20-x) 又由所给第二式得f(x)=-f(20+x) 所以f(40+x)=f20+(20+x)=-f(20+x)=f(x).可见f(x)是周期函数.由式，得f(-x)=f(20+x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.13【1991高中数学联赛(第01

10、试)】设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3x)，且方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为( )A18B12C9D0【答案】A【解析】若3+a是f(x)=0的一个根，则由已知f(3-a)=f(3+a)=0，即3a也是一个根.因此可设方程f(x)=0的六个根为3a1,3a2,3a3.于是它们的和等于18.14【1990高中数学联赛(第01试)】设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x2，3时，f(x)=x，则当x2，0时，f(x)的解析式是( )Af(x)=x+4Bf(x)=2-xCf(x)=3-|x+1|Df(x)=2+|x+1|【

11、答案】C【解析】(1)由f(x)=x(2x3)及周期为2，有f(x+2)=x.(2)由于f(x)是偶数，得f(x)=-x+2(-1x0).15【1989高中数学联赛(第01试)】对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x1)与函数y=f(x+1)的图像恒( )A关于x轴对称B关于直线x=1对称C关于直线x=1对称D关于y轴对称【答案】B【解析】f(x)和f(x)的图像关于直线x=0对称，f(x1)与f(x+1)的图像关于直线x=1对称.16【1988高中数学联赛(第01试)】设有三个函数，第一个是y=(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于

12、直线x+y=0对称，那么第三个函数是( )Ay=-(x)By=-(-x)Cy=-1(x)Dy=-1(-x)【答案】B【解析】第一个函数的图像与第二个函数的图像关于x-y=0对称，第二个函数的图像与第三个函数的图像关于x+y=0对称，所以第一个函数的图像与第三个函数的图像关于原点对称.17【1985高中数学联赛(第01试)】假定有两个命题：甲：a是大于0的实数；乙：ab且a-1b-1.那么( )A甲是乙的充分而不必要条件B甲是乙的必要而不充分条件C甲是乙的充分必要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】因为仅有“甲”是不能使得“乙”成立，因此可知“甲”不是“乙”的充分条件.

13、接着看“乙”在什么情况下成立.很明显，当且仅当a0且b0，又因为sinx1，所以lgx1.从而得0x10.在直角坐标系中作出0x10范围内y=sinx和y=1gx的图像.因为0=lg1sin=0，所以当x(1,)时，sinx=lgx必有一解.同理可知，当x2,2+2和x2+2,3时，方程各有一解.19【1984高中数学联赛(第01试)】若a0，a1，F(x)是一奇函数，则G(x)=F(x)1ax-1+12是( )A奇函数B偶函数C不是奇函数也不是偶函数D奇偶性与a的具体数值有关【答案】B【解析】因为G(x)=F(x)ax+12ax-1，所以G(-x)=F(-x)a-x+12a-x-1=-F(x

14、)ax+121-ax=G(x).即G(x)是偶函数20【1984高中数学联赛(第01试)】若F1-x1+x=x，则下列等式中正确的是( )AF(-2-x)=-2-F(x)BF(-x)=F1+x1-xCFx-1=F(x)DF(F(x)=-x【答案】A【解析】先求出F(x)的表达式，作变换t=1-x1+x，得x=1-t1+t.所以F(t)=1-t1+t，然后一一验证，知F(-2-x)=-2-F(x).21【1983高中数学联赛(第01试)】x=1log1213+1log1513的值是属于区间( )A.(-2,-1)B.(1,2)C.(-3,-2)D.(2,3)【答案】D【解析】x=log1312+

15、log1315=log13110=log310，2=log39log310log3273.22【1983高中数学联赛(第01试)】已知函数f(x)=ax2c，满足：4f(1)1，1f(2)5.那么，f(3)应满足( )A7f(3)26B-4f(3)15C-1f(3)20D-283f(3)353【答案】C【解析】由-4f(1)-1得-4a-c-1，所以1c-a4 由-1f(2)5得-14a-c5 由+得03a9，即0a3.所以05a15.由+得-19a-c20，即-1f(3)20.23【1982高中数学联赛(第01试)】如果log2log12log2x=log3log13log3y=log5lo

16、g15log5z=0，那么( )AzxyBxyzCyzxDzyx【答案】A【解析】由条件可得x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110.据幂函数的单调性可知zxy.24【1982高中数学联赛(第01试)】已知x1，x2是方程x2(k2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是( )A19B18C559D不存在【答案】B【解析】实系数一元二次方程有实数根，所以=-(k-2)2-41k2+3k+50，可解得-4k-43.由韦达定理，经整理，得到x12+x22=-(k+5)2+19，所以当k=4时，x12+x22取到最大值，这最大值

17、为18.25【1981高中数学联赛(第01试)】对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面的结论中，哪一个是错误的( )A至多有三个实根B至少有一个实根C仅当p24q0时才有实根D当p0时，有三个实根【答案】CD【解析】由题意得f(x)=x2+px+q(x0)-x2+px+q(x0)f(x)=x+p22+4q-p24(x0)-x-p22+4q+p24(x0)由此可得p取不同值时，函数的大致图像:其中q的变化，仅决定函数图像在坐标平面上、下平移.从上面的图像可见方程f(x)=0至多有三个实根，至少有一个实根.于是当且仅当p24q0时才有实根的结论不正确，所以选项C不成立.由p0的图像可见选项D也

18、不成立优质模拟题强化训练1方程组y=e|x|-e|x|-|y|=1的解的组数是( )A5B6C7D8【答案】B【解析】如图，分别画出y=e|x|-e与|x|-|y|=1的图象，从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.故选：B.2已知abc0,-b2a0,c0abc0,-b2a0,c0abc0；D中，a0,-b2a0,c0abc0；所以选B.3若不等式ax2+bx+40的解集为x-2x1，则二次函数y=bx2+4x+a在区间0,3上的最大值、最小值分别为( ).A0,-8B0,-4C4,0D8,0【答案】A【解析】由题意知a0且二次方程ax2+bx+4=0的两个根分别为-2和1.则有-

19、ba=-1，4a=-2.故a=-2，b=-2.所以，二次函数y=bx2+4x+a在区间0,3上的最大值是0，最小值是-8. 选A.4函数fx=ex+2x-3的零点所在的一个区间为()A-1,0B0,12C12,1D1,32【答案】C【解析】代入知f-1=e-1-50，f0=-20，f12=e-20，f32=e320.故所求为x12,1.5设fx是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当x2,3时，fx=x；则当x-2,0时fx的解析式是( ).Afx=x+4.Bfx=2-x.Cfx=3-x+1.Dfx=2+x+1.【答案】C【解析】(1)由f(x)=x,2x3及周期为2，有fx=

20、x+4,-2x-1x+2,0x1，(2)由于f(x)是偶数，得f(x)=-x+2,-1x0.综合(1)和(2)得C选项符合题意.故选：C.6对一切实数x，不等式x4+(a-1)x2+10恒成立.则a的取值范围是( )Aa-1Ba0Ca3Da1【答案】A【解析】x=0时，x4+(a-1)x2+1=10恒成立.x0时，原不等式等价于x2+1x21-a.由x2+1x2的最小值是2，可得1-a2，即a-1. 选A.7如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=3k+1x的图像上若A(-2,-2)，则k=( )A2B1C0D-1【答案】B【解析】设C(a,

21、b)B(-2,b),D(a,-2)bb+2=22+aab=4y=3k+1x过C(a,b)b=3k+1a,4=3k+1,k=1,选B.8定义在R上的函数f(x)满足：f(x+3)+f(x)=0，且函数f(x-32)为奇函数.给出以下3个命题：函数f(x)的周期是6；函数f(x)的图象关于点(-32,0)对称；函数f(x)的图象关于y轴对称.其中，真命题的个数是()A3B2C1D0【答案】A【解析】由f(x+3)=-f(x)，知f(x+6)=f(x).所以，正确；将f(x-32)的图像向左平移32 个单位，即为f(x)的图像，而f(x-32)的图像关于原点对称，所以，正确；由知，f(-x)=-f(

22、-3+x)=f(x) ，则f(x)为偶函数，所以，正确.9设函数f(x)满足：对任何实数x0，有f(2x+1)=x。则这样的函数f(x)()。A不存在B恰有一个C恰有两个D有无数个【答案】D【解析】设M为集合x|x0.解得a0,3).故答案为D11已知f(x)=(2x+1)22xx+1在-2018,0)(0,2018上的最大值为M，最小值为N，则M+N=( )A3B2C1D0【答案】B【解析】f(x)的图象关于(0，1)对称，故M+N=f(x)max+f(x)min=2.故答案为：B12已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR)，则f(20

23、19)=( ).A12B-12C14D-14【答案】B【解析】取x=1，y=0，得f(0)=12；取x=1，y=1，得4f2(1)=f(2)+f(0)，故f(2)=-14；取x=2，y=1，得4f(1)f(2)=f(3)+f(1)，故f(3)=-12；取x=n，y=1，有f(n)=f(n+1)+f(n-1)同理，f(n+1)=f(n+2)+f(n).联立得f(n+2)=-f(n-1)，故f(n+6)=f(n).所以周期为6，故f(2019)=f(3366+3)=f(3)=-12.故答案为：B13方程x2+x3+x7=x的最大的解与最小的解之和为()(其中，x表示不超过x的最大整数，下同)A85

24、B-85C42D-42【答案】B【解析】设x=42p+q(p、q为整数，0q41)将x代入原方程得p=q2+q3+q7-q对于每个不同的q确定了唯一的有序数对p,q，从而，x也互不相同要比较x的大小应先比较p的大小，若p相等，再比较q的大小因为p=q2+q3+q7-qq2+q3+q7-q=-q420，所以，p的最大值只有当q=0时取到，且最大值为0因此，x的最大的解为0又p=q2+q3+q7-qq-12+q-23+q-67-q=-q+8542-3，所以，p-3当且仅当q=41时，p=-3因此，x的最小的解为-85综上所述，最大的解与最小的解之和为-8514设函数y=fx满足：对一切xR，fx0

25、，且fx+1=9-f2x.当x0,1时，fx=2x,0x12;lgx+31,12x1.则f1000=( ).A1B274C5lg2D332【答案】D【解析】由已知得f2x+1=9-f2x,f2x+2=9-f2x+1.所以，f2x+2=f2x.因此，fx是以2为周期的周期函数.由于31100032，因而，f1000=f1010-32，f21010-32+1=9-f21010-32，即f21010-31=9-f21010-32. 又1010-3112，则f1010-31=lg1010=32.代入式得f1010-32=9-f21010-31=332.所以，f1000=332.15给出下列两个命题：命

26、题P：存在函数f(x)、g(x)及区间I，使得f(x)在I上是增函数，g(x)在I上也是增函数，但f(g(x)在I上是减函数；命题Q：存在奇函数f(x)(xA)、偶函数g(x)(xB)，使得函f(x)g(x)(xAB)是偶函数，那么，()。AP、Q都真BP、Q都假CP真Q假DQ真P假【答案】A【解析】取f(x)=1-x2，g(x)=(12)1x，区间I=(-,0).则f(x)在区间(-,0)上是增函数，g(x)在区间(-,0)上也是增函数.但f(g(x)=1-(12)2x在I上是减函数(因为(12)1x0)，P真.取f(x)=-x(xR)，g(x)=0(xR).则f(x)g(x)=0(xR)是

27、偶函数，Q真.故答案为：A16定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+1)=-f(x)，且在区间-1,0上递增，则( )Af(3)f(3)f(2)Bf(2)f(3)f(3)Cf(3)f(2)f(3)Df(2)f(3)f(3)【答案】A【解析】f(x+1)=-f(x)f(x+2)=f(x),T=2f(3)=f(-1),f(2)=f(0),f(3)=f(3-2)-13-20,f(x)在区间-1,0上递增，f(-1)f(3-2)f(0)f(3)f(3)0,2k+1-2k+12-4k2-22-2,2k+1-2k+12-4k2-22k.解得k-94,-2.故答案为：D18已知实系数二次方程x2+px+q

28、=0的实数解、满足+1，则m=p2+4q的取值范围是( )A-1,1B-1,2C0,1D0,2【答案】B【解析】由韦达定理得+=-p，=q。则m=+2+4=2+2-2，又+1，-+1，故m-2-1，当且仅当=12，=-12或=-12，=12时，取等号；m2+22，当且仅当=12时，取等号，所以，-1m2.19已知函数y=fxx、yN+满足：(1)对任意a、bN+，ab，都有afa+bfbafb+bfa；(2)对任意nN+，都有ffn=3n.则f5+f12的值是( ).A17B21C25D29【答案】D【解析】对任意的n=N+，由(1)得n+1fn+1+nfnn+1fn+nfn+1，即fn+1f

29、n.故fx在N+上为单调增函数.对任意nN+，由(2)得f3n=fffn=3fn.显然f11.否则，3=ff1=f1.矛盾.若f13，则3=ff1f3f2f13，矛盾.所以，f1=2. 故f3=3f1=6，f6=ff3=33=9.由6=f3f4f5f6=9，得f4=7，f5=8.则f7=ff4=34=12，f12=ff7=37=21.故f5+f12=8+21=29.故答案为：D20x表示不超过实数x的最大整数，设N为正整数则方程x2-x2=(x-x)2在区间1xN中所有解的个数是()AN2+N+1BN2-NCN2-N+1DN2-N+2【答案】C【解析】显然，x=N为方程的一个解下设1xN，m=x，p=x-m=x则x=m+p原方程为(m+p)2-(m+p)2=p2，即2mp=2mp+p2又0p1，2mp为整数，则p=0,12m,22m,2m-12m共2m个因为m=1,2,N-1，所以，这类数共有2+4+6+2(N-1)=N2-N个故方程x2-x2=(x-x)2在区间1xN中所有解的个数为N2-N+1