专题03 全等三角形中的一线三垂直模型(解析版).docx

1、专题03 全等三角形中的一线三垂直模型 【模型展示】特点【已知】如图，为等腰直角三角形，【证明】由，同理，在和中,.结论.【模型证明】解决方案【结论一】在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，则有以下结论成立：ADCCEB；DEAD+BE【证明】：证明：ADDE，BEDE，ADCBEC90，ACB90，ACD+BCE90，DAC+ACD90，DACBCE，在ADC和CEB中ADCCEB（AAS）证明：由（1）知：ADCCEB，ADCE，CDBE，DC+CEDE，DEAD+BE【结论二】（其他形状一线三垂直）DEADBEDEBEAD【题型演练】一、单选题

2、1一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a8cm，则DE的长为（）A40cmB48cmC56cmD64cm【答案】C【详解】由等腰直角三角形的性质可得ACB90，ACCB，因此可以考虑证明ACD和CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和【分析】解：由题意得ADCCEBACB90，ACCB，ACD90BCECBE，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），CDBE3a，ADCE4a，DECD+CE3a+4a7a，a8cm，7a56cm，DE56cm，故选C【点睛】本题主

3、要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件2如图，点P，D分别是ABC边BA，BC上的点，且，连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边DPE，连结BE，则BDE的面积为（）AB2C4D【答案】A【分析】要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，是等边三角形，的面积，故选：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线3如图，ACCE，ACE90，AB

4、BD，EDBD，AB6cm，DE2cm，则BD等于（）A6cmB8cmC10cmD4cm【答案】B【分析】根据题意证明即可得出结论【详解】解：ABBD，EDBD，ACE90，在和中，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键二、填空题4如图，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，ADDE于点D，BEDE于点E，且点C在DE上，若AD5，BE8，则DE的长为_【答案】13【分析】先根据ADDE，BEDE，ADC=CEB=90，则DAC+DCA=90，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，可得AC=CB，推出DAC=ECB，即可证明D

5、ACECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可【详解】解：ADDE，BEDE，ADC=CEB=90，DAC+DCA=90，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，DCA+BCE=90，AC=CBDAC=ECB，DACECB（AAS），CE=AD=5，CD=BE=8，DE=CD+CE=13，故答案为：13【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件5如图所示，中，直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F若，则_【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：BEl，

6、CFl，AEB=CFA=90EAB+EBA=90又BAC=90，EAB+CAF=90EBA=CAF在AEB和CFA中AEB=CFA，EBA=CAF，AB=AC，AEBCFAAE=CF，BE=AFAE+AF=BE+CFEF=BE+CF，；故答案为：7【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等三、解答题6已知：如图，ABBD，EDBD，C是BD上的一点，ACCE，ABCD，求证：BCDE【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等【详解】证明：ABBD，EDBD，ACCE（已知）ACEBD90（垂直的意

7、义）BCA+DCE+ACE180（平角的意义）ACE90（已证）BCA+DCE90（等式性质）BCA+A+B180（三角形内角和等于180）B90（已证）BCA+A90（等式性质）DCEA （同角的余角相等）在ABC和CDE中，ABCCDE（ASA）BCDE（全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键7在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段D

8、E的长【答案】(1)证明见解析；证明见解析；(2)DE=3【分析】（1）由已知可知，ADMN，BEMN，得到，再根据三角形内角和与平角性质，得到，即可证明（AAS）；根据，得到，即可证明DE=AD+BE（2）由已知可知，ADMN，BEMN，得到，再根据、，得到，可证明，得到，即可求出DE长（1）证明：ADMN，BEMN，在和中，（AAS）；证明：，；（2）证明：ADMN，BEMN， ，在和中，（AAS），【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，根据已知准确找到符合全等的条件是解题关键8（1）课本习题回放：“如图，垂足分别为，求的长”，请直接写出此题答案：的长为_（2）探索证明：如图，点，

9、在的边、上，点，在内部的射线上，且求证：（3）拓展应用：如图，在中，点在边上，点、在线段上，若的面积为15，则与的面积之和为_（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明CEBADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得BEAAFC，4ABE，根据AAS可证明ABECAF；（3）先证明ABECAF，得到与的面积之和为ABD的面积，再根据故可求解【详解】解：（1）BECE，ADCE，EADC90，EBCBCE90BCEACD90，EBCDCA在CEB和ADC中，CEBADC（AAS），BEDC，CEAD2.5cmDCC

10、EDE，DE1.7cm，DC2.51.70.8cm，BE0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：12，BEAAFC1ABE3，34BAC，1BAC，BACABE3，4ABEAEBAFC，ABE4，ABAC，ABECAF（AAS）（3）ABE+BAE=FAC+BAE=FAC+ACFABE=CAF，BAE=ACF又ABECAF，与的面积之和等于与的面积之和，即为ABD的面积，ABD与ACD的高相同则=5故与的面积之和为5故答案为：5【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键9问题背景：（1）如图，已知中，直线m经过点A，直线m，

11、直线m，垂足分别为点D，E，易证：_+_（2）拓展延伸：如图，将（1）中的条件改为：在中，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明（3）实际应用：如图，在中，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标【答案】（1）BD；CE；证明见详解；（2）DE=BD+CE；证明见详解；（3）点B的坐标为【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形解答即可；（3）根据，得到，根据坐标与图形性质解答即可【详解】（1）证明：，在和中， 即：，故答案为：BD；C

12、E；（2）解：数量关系： ，证明：在中，在和中， ，；（3）解：如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，点B的坐标为【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键10如图，在中，（1）如图所示，直线过点，于点，于点，且求证：（2）如图所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）仍然成立，理由见解析【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到，然后证明，然后根据全等三角形对应边相等得到，然后通过线段之间的转化即可证明；（2）首先根据三角形内角和定理得到，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，最后通过

13、线段之间的转化即可证明【详解】证明：（1），在和中，；（2）仍然成立，理由如下：，在和中，【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到11在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有ABAC，且满足BDAAECBAC(1)如图1，当90时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；(2)如图2，当0180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由【答案】(1)DEBD+CE(2)DEBD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由BDABACAEC90得到BA

14、D+EACBAD+DBA90，进而得到DBAEAC，然后结合ABAC得证DBAEAC，最后得到DEBD+CE；（2）由BDABACAEC得到BAD+EACBAD+DBA180，进而得到DBAEAC，然后结合ABAC得证DBAEAC，最后得到DEBD+CE（1）解：DEBD+CE，理由如下，BDABACAEC90，BAD+EACBAD+DBA90，DBAEAC，ABAC，DBAEAC（AAS），ADCE，BDAE，DEAD+AEBD+CE，故答案为：DEBD+CE（2）DEBD+CE仍然成立，理由如下，BDABACAEC，BAD+EACBAD+DBA180，DBAEAC，ABAC，DBAEAC（

15、AAS），BDAE，ADCE，DEAD+AEBD+CE；【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质12如图，于点，点在直线上，(1)如图1，若点在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由【答案】(1)DF=DC，DFDC；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证ADFBCD，得DF=DC，再证FDC=90即可得垂直；（2）先证ADFBCD，得DF=DC，再证FDC=90即可得垂直（1）解：，在ADF与BCD中，AD

16、FBCD，DF=DC，BDC+BCD=90，BDC+ADF=90，FDC=90，即DFDC（2），在ADF与BCD中，ADFBCD，DF=DC，BDC+BCD=90，BDC+ADF=90，FDC=90，即DFDC【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是能判断哪两个三角形全等13（1）如图1，已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成

17、立，请你给出证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）根据AAS可证明ADBCEA，可得AE=BD，AD=CE ，可得DE=BD+CE（2）由已知条件可知BAD+CAE=，DBA+BAD=，可得DBA=CAE，结合条件可证明ADBCEA，同（1）可得出结论【详解】（1）如图1， BD 直线m，CE直线m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）如图2，BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=

18、，DBA=CAE，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE，CE=AD是解题的关键14在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是_；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和【答案】(1)DEBD+CE(2)DEBD+CE仍然成立，理由见解析(3)FBD与ACE的面

19、积之和为4【分析】（1）由BDABACAEC90得到BAD+EACBAD+DBA90，进而得到DBAEAC，然后结合ABAC得证DBAEAC，最后得到DEBD+CE；（2）由BDABACAEC得到BAD+EACBAD+DBA180，进而得到DBAEAC，然后结合ABAC得证DBAEAC，最后得到DEBD+CE；（3）由BADCAE，BDAAECBAC，得出CAEABD，由AAS证得ADBCAE，得出SABDSCEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出SABF即可得出结果（1）解：DEBD+CE，理由如下，BDABACAEC90，BAD+EACBAD+DBA90，DBAEAC，

20、ABAC，DBAEAC（AAS），ADCE，BDAE，DEAD+AEBD+CE，故答案为：DEBD+CE（2）DEBD+CE仍然成立，理由如下，BDABACAEC，BAD+EACBAD+DBA180，DBAEAC，ABAC，DBAEAC（AAS），BDAE，ADCE，DEAD+AEBD+CE；（3）解：BADCAE，BDAAECBAC，CAEABD，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS），SABDSCAE，设ABC的底边BC上的高为h，则ABF的底边BF上的高为h，SABCBCh12，SABFBFh，BC3BF，SABF4，SABFSBDF+SABDSFBD+SACE4，FBD与ACE的面

21、积之和为4【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质15在中，直线MN经过点C且于D，于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：；(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明【答案】(1)证明见解析；证明见解析(2)证明见解析(3)（或者对其恒等变形得到，），证明见解析【分析】（1）根据，得出，再根据即可判定；根据全等三角形的对应边相等，即可得出，进而得到；（2）先根据，得到，进而得出，再根据即

22、可判定，进而得到，最后得出；（3）运用（2）中的方法即可得出，之间的等量关系是：或恒等变形的其他形式（1）解：，在和中，；，；（2）证明：，在和中，；，；（3）证明：当旋转到题图（3）的位置时，所满足的等量关系是：或或理由如下：，在和中，（或者对其恒等变形得到或）【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论16（1）如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E求证：ABDCAE；（2）如图2，将（1）中的条

23、件改为：在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，其中为任意锐角或钝角请问结论ABDCAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若BDAAECBAC，求证：DEF是等边三角形【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断；（2）利用，则，得出，然后问题可求证；（3）由题意易得，由（1）（2）易证

24、，则有，然后可得，进而可证，最后问题可得证【详解】（1）证明：直线，直线，在和中，；解：（2）成立，理由如下：，在和中，；（3）证明：ABF和ACF均为等边三角形，BDAAECBAC=120，（SAS），DFE是等边三角形【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键17已知ABC中，ACB=90，AC=BCBE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE

25、绕点C旋转到ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明【答案】BE的长为0.8cm；DE=AD+BE【分析】如图1，由“AAS”可证ACDCBE，可得AD=CE=2.5cm，BE=CD，由线段的和差关系可求解；如图2，由“AAS”可证ACDCBE，可得AD=CE，BE=CD，即可求解【详解】解：如图1，ACB=BEC=ADC=90，ACD+BCE=90=ACD+CAD，BCE=CAD，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），AD=CE=2.5cm，BE=CD，DE=1.7cm，BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，

26、BE的长为0.8cm；如图2，DE=AD+BE，理由如下：ACB=BEC=ADC=90，ACD+BCE=90=ACD+CAD，BCE=CAD，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），AD=CE，BE=CD，DE=AD+BE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键18在ABC中，ACB90，ACBC，且ADMN于D，BEMN于E(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DEAD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN

27、绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）【答案】(1)证明见详解(2)DE+BE=AD理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）理由见详解.【分析】（1）根据题意由垂直得ADC=BEC=90，由同角的余角相等得：DAC=BCE，因此根据AAS可以证明ADCCEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知ACDCBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE

28、=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）证明的方法与（2）相同(1)证明：如图1，ADMN，BEMN，ADC=BEC=90，DAC+ACD=90，ACB=90，ACD+BCE=90，DAC=BCE，在ADC和CEB中，ADCCEB；DC=BE，AD=EC，DE=DC+EC，DE=BE+AD(2)解：DE+BE=AD理由如下：如图2，ACB=90，ACD+BCE=90又ADMN于点D，ACD+CAD=90，CAD=BCE在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），CD=BE，AD=CE，DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD(3)解：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）理由如下：如图3，易证得ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论