专题03 分式及其运算（解析版）.docx

1、主题一 数与式专题03 分式及其运算目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 分式有意义的条件考向二 分式的值为零的条件考向三 分式的值考向四 分式的乘除法考向五 分式的加减法考向六 分式的混合运算考向七 分式的化简求值考向八 零指数幂与负整数指数幂的运算最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1.了解分式和最简分式的概念；2.能利用分式的基本性质进行约分和通分；3.能进行简单的分式加、减、乘、除法运算分式是历年中考的考察重点，年年考

2、查，分值为10分左右。预计2024年各地中考还将继续重视对分式的有关概念、分式的性质和分式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。分式的概念1.分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。【注意】A、B都是整式，B中含有字母，且B0。2.因为0不能做除数，所以分式的分母不能为03.分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用4.分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简5.分

3、式是一种表达形式，如x+2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）2，y1，则为分式，因为y1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式分式有意义的条件1.分式有意义的条件是分母不等于零2.分式无意义的条件是分母等于零3.分式的值为正数的条件是分子、分母同号4.分式的值为负数的条件是分子、分母异号分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答

4、时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径分式的基本性质及其运用1.分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C0）。2.分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。【注意1】约分的根据是分式的基本性质约分的关键是找出分子和分母的公因式。【注意2

5、】通分的根据是分式的基本性质通分的关键是确定几个分式的最简公分母。分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘3.分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方4.分式的乘、除、乘方混合运算运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”分式的加减法1.同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减2.异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减 说明：（1）分式

6、的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘（2）通分是和约分是相反的一种变换约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的分式的混合运算1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的2.最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式3.分式的混

7、合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当时，原式”2代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为

8、0考向一 分式有意义的条件解题技巧/易错易混/特别提醒分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均为整式；（3）分母中含有字母1（2023广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）Ax1Bx0Cx1Dx2【思路点拨】根据分式有意义的条件解答即可【规范解答】解：分式有意义，x+10，解得x1故选：A【真题剖析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键2（2023镇江）使分式有意义的x的取值范围是 x5【思路点拨】根据分式有意义的条件可得x50，求出x的范围即可【规范解答】解：当x50时，分式有意义，解得x5，故答案为：x5【真题剖析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌

9、握分式有意义的条件：分母不为零是解题的关键3（2022南京）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【思路点拨】直接利用分式有意义则分母不等于零即可得出答案【规范解答】解：在实数范围内有意义，故x30，解得：x3故答案为：x3【真题剖析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键考向二 分式的值为零的条件解题技巧/易错易混/特别提醒分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即（2）无意义的条件是分母为0（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为04（2023凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A0B1C1D0或1【思路点拨】根据分式值为零的条件是

10、分子等于零且分母不等于零列式计算【规范解答】解：分式的值为0，x2x0且x10，解得：x0，故选：A【真题剖析】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键5（2023常州）若代数式的值是0，则实数x的值是（）A1B0C1D2【思路点拨】根据分式的值为零的条件即可求出答案【规范解答】解：由题意可知：，x0故选：B【真题剖析】本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型6（2023湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A1B0C1D3【思路点拨】直接利用分式的值为零的条件：分子为零，而分母不为零，即可得出结论【规范解答】解

11、：分式的值为0，x10，且3x+10，解得：x1，故选：A【真题剖析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的定义是解题的关键考向三 分式的值解题技巧/易错易混/特别提醒应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式7（2022百色）当x2时，分式的值是（）A15B3C3D15【思路点拨】根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案【规范解答】解：原式，当x2时，原式15故选：A【真题剖析】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式以及

12、分式的基本性质，本题属于基础题型8（2022湖州）当a1时，分式的值是 2【思路点拨】把a1代入分式计算即可求出值【规范解答】解：当a1时，原式2故答案为：2【真题剖析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键9（2022福建）已知非零实数x，y满足y，则的值等于 4【思路点拨】由y得：xyxy，整体代入到代数式中求值即可【规范解答】解：由y得：xy+yx，xyxy，原式4故答案为：4【真题剖析】本题考查了求分式的值，对条件进行化简，得到xyxy，把xy看作整体，代入到代数式求值是解题的关键考向四 分式的乘除法解题技巧/易错易混/特别提醒分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子

13、和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分10（2023河北）化简的结果是（）Axy6Bxy5Cx2y5Dx2y6【思路点拨】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算【规范解答】解：x3（）2x3xy6，故选：A【真题剖析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键11（2022德阳）下列计算正确的是（）A（ab）2a2b2B1CaaaD（ab2）3a3b6【思路点拨】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断【规范解答】解：A（ab）2a22ab+b2，故A选项错误，不符合题意；B.1，故B选项正确，符合题意；C

14、aa1，故C选项错误，不符合题意；D（ab2）3a3b6，故D选项错误，不符合题意故选：B【真题剖析】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算考向五 分式的加减法解题技巧/易错易混/特别提醒有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.12（2023广东）计算的结果为（）ABCD【思路点拨】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减【规范解答】解：故本题选：C【真题剖析】本题考查同分母分式相加减，分母不变

15、，分子相加减解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可13（2023河南）化简的结果是（）A0B1CaDa2【思路点拨】根据分式的加法法则计算即可【规范解答】解：原式1故选：B【真题剖析】本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解题的关键14（2023温州）计算：（1）|1|+（）2（4）；（2）【思路点拨】（1）直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的性质化简得出答案【规范解答】解：（1）原式12+9+412；（2）原式a1【真题剖析】此题主要考查了实数的运算以及分

16、式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键考向六 分式的混合运算解题技巧/易错易混/特别提醒1.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式2注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的15（2023济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，an满足如下关系：a2，a3，若a12，则a2023的值是（）ABC3D2【思路点拨】通过分别计算a1，a2，a3，a4，a5，的值归纳出an的值出现规律进行求解【规范解答】解：由题意得，a12，a23，a3，a4，a52，an的值按照2，3，4次一个循环周期的规律出现，202345053，a2023的值是，故选

17、：A【真题剖析】此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现an的规律16（2023绥化）化简：（）【思路点拨】先通分计算括号里的分式加减，再计算除法【规范解答】解：（），故答案为：【真题剖析】此题考查了分式混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算17（2023襄阳）化简：（1）【思路点拨】根据分式的加减乘除混合运算法则，主要运算准确即可【规范解答】解：原式【真题剖析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，关键是准确应用法则考向七 分式的化简求值解题技巧/易错易混/特别提醒1注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式分子、分母中有公因式的要进行约分化为

18、最简分式或整式2注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程18（2023武汉）已知x2x10，计算的值是（）A1B1C2D2【思路点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2x+1，继而可得答案【规范解答】解：原式，x2x10，x2x+1，原式1故选：A【真题剖析】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式19（2023衡阳）已知x5，则代数式的值为 【思路点拨】根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计

19、算即可【规范解答】解：原式，当x5时，原式，故答案为：【真题剖析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键20（2023湘潭）先化简，再求值：（1+），其中x6【思路点拨】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可【规范解答】解：原式，当x6时，原式2【真题剖析】本题考查分式的化简求值，将分式化简为是解题的关键考向八 零指数幂与负整数指数幂的运算21（2023攀枝花）计算10，以下结果正确的是（）A101B100C101D10无意义【思路点拨】非零底数的零指数幂的值为1，据此解答即可【规范解答】解：101，101故选：A【真题剖析】本题考查零指数幂，掌握它

20、的适用条件是本题的关键22（2023绥化）计算|5|+20的结果是（）A3B7C4D6【思路点拨】本题考查绝对值和零指数幂的运算【规范解答】解：|5|+205+16故答案为：D【真题剖析】本题考查绝对值和零指数幂的运算解题的关键是熟悉任何非零数的零次幂都等于123（2023重庆）计算：21+30【思路点拨】根据负整数指数幂和零指数幂计算即可【规范解答】解：21+30+1，故答案为：【真题剖析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键1（2020随州）的计算结果为（）ABCD【思路点拨】根据分式的乘除法的运算顺序进行计算即可求解【规范解答】解：原式x（x2）故选：B【真题剖

21、析】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是掌握分式的乘除法的运算过程2（2023赤峰）化简+x2的结果是（）A1BCD【思路点拨】利用分式的加法法则进行计算即可【规范解答】解：原式+，故选：D【真题剖析】本题考查分式的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握3（2023南充）若0，则x的值为 1【思路点拨】分母不为0，分子为0时，分式的值为0【规范解答】解：根据题意，得x+10且x20，解得x1故答案为：1【真题剖析】本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0这两个条件缺一不可4（2023上海）化简：的结果为 2【思路点拨

22、】根据分式的运算法则进行计算即可【规范解答】解：原式2，故答案为：2【真题剖析】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握5（2023福建）已知+1，且ab，则的值为 1【思路点拨】根据+1，可得ab2a+b，再代入即可求出答案【规范解答】解：+1，+1，ab2a+b，1故答案为：1【真题剖析】本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键6（2023大庆）若x满足（x2）x+11，则整数x的值为 1或3或1【思路点拨】根据零指数幂可得x+10，根据有理数的乘方可得x21；x21，x+1为偶数，再解即可【规范解答】解：由题意得：x+10，解得：x1；x2

23、1，解得：x3；x21，x+1为偶数，解得：x1，故答案为：1或3或1【真题剖析】此题主要考查了零指数幂，以及有理数的乘方，关键是注意要分类讨论，不要漏解7（2023湖北）计算：2【思路点拨】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算，进而得出答案【规范解答】解：原式1+12故答案为：2【真题剖析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键8（2023北京）已知x+2y10，求代数式的值【思路点拨】根据已知可得x+2y1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y1代入化简后的式子进行计算即可解答【规范解答】解：x+2y10，x+2y1，2，的值为2【真题剖析】本题考查了分式的

24、值，熟练掌握因式分解是解题的关键9（2023扬州）计算：（1）（2）0+tan60；（2）（ba）【思路点拨】（1）利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值进行计算即可；（2）根据分式的乘除运算法则进行计算即可【规范解答】解：（1）原式12+1；（2）原式【真题剖析】本题考查实数及分式的运算，它们的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握10（2023通辽）以下是某同学化简分式的部分运算过程：解：原式第一步第二步第三步（1）上面的运算过程中第 一步开始出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程【思路点拨】（1）利用分式的混合运算法则判断得出答案；（2）利用分式的混合运算法则计算得出答

25、案【规范解答】解：（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；故答案为：一；（2）原式【真题剖析】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键11（2023青岛）（1）解不等式组：；（2）计算：（m）【思路点拨】（1）分别解两个不等式后即可求得不等式组的解集；（2）利用分式的混合运算法则进行计算即可【规范解答】解：（1）解第一个不等式得：x3，解第二个不等式得：x1，故原不等式组的解集为：1x3；（2）原式m+1【真题剖析】本题考查解一元一次不等式组及分式的混合运算，熟练掌握解不等式组的方法及分式的运算法则是解题的关键12（2023绵阳）（1）计算：4|sin60|+（2

26、023）0；（2）先化简，再求值：，其中【思路点拨】（1）根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂计算计算；（2）根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可【规范解答】解：（1）原式24+3122+22；（2）原式（+），当x+2时，原式【真题剖析】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键13（2023丹东）先化简，再求值：，其中【思路点拨】先算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可【规范解答】解：原式（）；x（）1+（3）02+13，原式1【真题剖析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，能进行分式的通分和约分