专题03 完全平方的几何背景（两大类型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）.docx

1、 专题03 完全平方的几何背景（两大类型）专题说明 完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习因式分解配方法等知识奠定了基础，是进一步研究一元二次方程二次函数的工具性内容.【新方法解读】知识点1：完全平方公式 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的

2、变形： 知识点2：拓展、补充公式 ； ；.【典例分析】【典例1】（2022秋长寿区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系是 ；（2）根据（1）中的结论，若x+y7，xy，则xy ；（3）拓展应用：若（2022m）2+（m2023）25，求（2022m）（m2023）的值【变式1-1】（2022秋襄州区期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形（1）你认为图b中的阴影部

3、分的正方形的边长等于多少？（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（mn）2，mn（3）已知m+n7，mn6，求（mn）2的值【变式1-2】（2022春金水区期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a+b）2、（ab）2、ab三者之间的等量关系式： ；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3a3+b3+3ab（a+b）

4、利用上面所得的结论解答下列问题：（1）已知x+y6，xy，求（xy）2的值；（2）已知a+b6，ab7，求a3+b3的值【变式1-3】（2022秋二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8x）和（x2），且（8x）2+（x2）220，求这个长方形的面积【典例2】（2022秋丰泽区校级期末）若x满足（9x）（x4）4，求（4x）2+（x9）2的值解：设9xa，x4b，则（9x）（x4）ab4，a+b（9x）+（x4）

5、5，（9x）2+（x4）2（a+b）22ab522417请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5x）（x2）2，求（5x）2+（x2）2的值（2）若x满足（6x）（3x）1，求代数式（92x）2的值（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE3，CF5，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积【变式2-1】（2022秋松原期末）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题（1）通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ；（2）如图，点E、G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，

6、且DEk，BGk+1（k为常数，且k0），分别以GF、AG为边作正方形GFIH和正方形AGJK，设正方形ABCD的边长为x求AEAG的值；若长方形AEFG的面积是，求阴影部分的面积【变式2-2】（2022秋丰满区期末）问题背景如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2a2+2ab+b2类比探究类比由图1易得公式（a+b）2a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式解决问题（1）计算：（2mn）2 ；（2）运用完全平方公式计算：1052；（3）已知（x+y）212，xy2，求（xy）2的值【变式2-3】（2022秋西岗区校级期末）【探

7、究】若x满足（9x）（x4）4，求（4x）2+（x9）2的值设9xa，x4b，则（9x）（x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5，（9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab522417；【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5x）（x2）2，求（5x）2+（x2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE1，CF3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形MF ，DF ；（用含x的式子表示）求阴影部分的面积【夯实基础】1（2022秋河西区期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证

8、出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（）A一组B两组C三组D四组2（2022秋广宗县期末）小张利用如图所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图所示的图形，则根据图的面积关系能验证的恒等式为（）A（a+b）2a2+2ab+b2B（2a+b）24a2+4ab+b2C（a+b）2（ab）2+4abD（ab）2a22ab+b23（2022秋天山区校级期末）如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（）Aa2+b2Ba2b2C2abD4ab4（2021秋安岳县期末）将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（）Aa2b

9、2（a+b）（ab）Ba2+b2（ab）2+2abC4ab（a+b）2（ab）2D2ab（a+b）2（a2+b2）5（2022秋大连期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的|小正方形（ab）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式是 6（2022春榆林期末）如图，在一个边长为2a+b的大正方形纸片中，剪去一个长为2a+b、宽为ab的长方形和一个边长为ab的小正方形（1）用含a、b的式子表示阴影部分的面积；（结果化为最简）（2）当a5，b2时，求阴影部分的面积7（202252（2022春普宁市期末）如图，将边长为（a+b）的正方形

10、剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积方法1： ，方法2： ；（2）从（1）中你能得到怎样的等式？；（3）运用你发现的结论，解决下列问题： 已知x+y6，xy2，求x2+y2的值；已知（2022x）2+（x2021）29，求（2022x）（x2021）的值8（2022春郫都区期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为（a+b），小正方形（阴影部分）的边长为（ab）（1）观察图1，直接写出（a+b）2，（ab）2，ab三者的数量关系式；（2）用（1）的结论解答

11、：如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若p2+q220，p+q6，求图2中阴影部分的面积；如图3，四边形ABCD、四边形MEDO和四边形NGDH都是正方形，四边形PODH是长方形，若AE5，CG15，长方形EFGD的面积是300，求图3中阴影部分的面积9.（秋西城区校级期中）我们在学习从面积到乘法公式时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2a2+2ab+b2（如图3）把几个图

12、形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）10（2022秋南关区校级期末）完全平方公式：（ab）2a22ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题例如：若a+b

13、3，ab1，求a2+b2的值解：因为a+b3，所以（a+b）29，即：a2+2ab+b29，又因为ab1，所以a2+b27根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y8，x2+y240，求xy的值；（2）若（4x）（x5）8，求（4x）2+（x5）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB6，两正方形的面积和S1+S218，求图中阴影部分面积11（2022南京模拟）（1）如图1是用4个全等的长方形纸板拼成一个“回形”正方形纸板图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 ；已知（b+a）225，ab4，则（ba）2；（2）利用图

14、1的结论，若（3xy）264，（3x+y）2100，求xy的值（3）如图2，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且mn（以上长度单位：cm）图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 ；用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为 ；（4）如图2，若每块小矩形的面积为8cm2，阴影部分面积（四个正方形的面积和）为40cm2，试求（m+n）2的值12（2022春明溪县月考）阅读理解：若x满足（210x）（x200）204，试求（210x）2+（x200）2的值，解：设

15、（210x）a，（x200）b，则ab204，且a+b（210x）+（x200）10，（a+b）2a2+2ab+b2，a2+b2（a+b）22ab1022（204）508，即（210x）2+（x200）2的值为508解决问题（1）若x满足（2022x）（x2010）22，则（2022x）2+（x2010）2 ；（2）若（2022x）2+（x2002）22020，求（2022x）（x2002）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB10，BC6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BEDFx，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位

16、，则图中阴影部分的面积和为多少？13（2022春盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形然后按图2形状拼成一个正方形（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b10，ab3，求图2中空白部分的正方形的面积（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（ab）2，ab之间的数量关系（4）拓展提升：当（x10）（20x）8时，求（2x30）214（2022春涟源市校级期末）阅读理解：若x满足（80x）（x60）30，求（80x）2+（x60）2的值解：设（80x）a，（x60）b，则（80x）（x6

17、0）ab30，a+b（80x）+（x60）20，所以（80x）2+（x60）2a2+b2（a+b）22ab202230340解决问题：（1）若x满足（30x）（x20）10，求（30x）2+（x20）2的值；（2）若x满足（2017x）2+（2015x）24038，求（2017x）（2015x）的值；（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE10，CG20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）【能力提升】15（2022秋荆门期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a6，b6

18、）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3 16（2022秋平桥区校级期末）有两种正方形A、正方形B，其边长分别为a，b现将正方形B放在正方形A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，且图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12（1）正方形A、正方形B的面积之和为 （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A和正方形B外，还需要个长度分别a，b的长方形（3）将3个正方形A和2个正方形B按图3所示的方式摆放，求阴影部分的面积17（2022秋晋江市期中）如图，正方形ABCD中，点G是边C

19、D上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（ab）（1）分别写出图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a、b的代数式表示）；（2）如果a+b6，ab4，求S1的值；（3）当S1S2时，求的取值范围 专题03 完全平方的几何背景（两大类型）专题说明 完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习

20、因式分解配方法等知识奠定了基础，是进一步研究一元二次方程二次函数的工具性内容.【新方法解读】知识点1：完全平方公式 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点2：拓展、补充公式 ； ；.【典例分析】【典例1】（2022秋长寿区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系是

21、；（2）根据（1）中的结论，若x+y7，xy，则xy ；（3）拓展应用：若（2022m）2+（m2023）25，求（2022m）（m2023）的值【解答】解：（1）根据题意，（a+b）2（ab）2+4ab，故答案为：（a+b）2（ab）2+4ab；（2）x+y7，xy，（xy）2（x+y）24xy（7）24491336，xy6故答案为：6（3）（2022m）+（m2023）2（2022m）2+（m2023）2+2（2022m）（m2023），又（2022m）2+（m2023）25，15+2（2022m）（m2023），（2022m）（m2023）2【变式1-1】（2022秋襄州区期末）如图a是

22、一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（mn）2，mn（3）已知m+n7，mn6，求（mn）2的值【解答】解：（1）mn（2分）（2）（m+n）2（mn）2+4mn（6分）（3）（mn）2（m+n）24mn494625（10分）【变式1-2】（2022春金水区期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计

23、算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a+b）2、（ab）2、ab三者之间的等量关系式： ；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3a3+b3+3ab（a+b）利用上面所得的结论解答下列问题：（1）已知x+y6，xy，求（xy）2的值；（2）已知a+b6，ab7，求a3+b3的值【解答】解：【知识生成】（a+b）24ab+（ab）2，故答案为：（a+b）24ab+（ab）2；【知识迁移】（1）x+y6，xy，（xy）2（x+y）24xy361125；（2）a+b6，ab7，a3+b3（a+b）33ab

24、（a+b）21637621612690【变式1-3】（2022秋二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8x）和（x2），且（8x）2+（x2）220，求这个长方形的面积【解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，还可以表示为：a2+b2+2ab（a+b）2a2+b2+2ab故答案为：（a+b）2a2+b2+2ab（2）（a+b）2a2+b2+2ab，a2+b2（a+b）22ab24632439（

25、3）设a8x，bx2，则a+b6，a2+b220（a+b）2a2+b2+2ab3620+2abab8这个长方形的面积为：（8x）（x2）ab8【典例2】（2022秋丰泽区校级期末）若x满足（9x）（x4）4，求（4x）2+（x9）2的值解：设9xa，x4b，则（9x）（x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5，（9x）2+（x4）2（a+b）22ab522417请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5x）（x2）2，求（5x）2+（x2）2的值（2）若x满足（6x）（3x）1，求代数式（92x）2的值（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE3，CF5，长

26、方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积【解答】解：（1）设5xa，x2b，则（5x）（x2）ab2，a+b（5x）+（x2）3，（5x）2+（x2）2（a+b）22ab32225；（2）设（6x）a，（3x）b，（6x）（3x）ab1，ab（6x）（3x）3，（a+b）2（ab）2+4ab13，（a+b）213，（6x）+（3x）a+b，92xa+b，（92x）2（a+b）213；（3）正方形ABCD的边长为x，AE3，CF5，MFDEx3，DFx5，（x3）（x5）48，（x3）（x5）2，阴影部分的面积FM2DF2（x3）2（x5）2，设（x3）a，（x5）b

27、，则（x3）（x5）ab48，ab（x3）（x5）2，a8，b6，a+b14，（x3）2（x5）2a2b2（a+b）（ab）14228即阴影部分的面积是28【变式2-1】（2022秋松原期末）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题（1）通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 ；（2）如图，点E、G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，且DEk，BGk+1（k为常数，且k0），分别以GF、AG为边作正方形GFIH和正方形AGJK，设正方形ABCD的边长为x求AEAG的值；若长方形AEFG的面积是，求阴影部分的面积【解答】解：（1）阴影部

28、分的面积（ab）2a22ab+b2，故答案为：（ab）2a22ab+b2；（2）由题意得：AExk，AGx（k+1）xk1，AEAG（xk）（xk1）xkx+k+11，即AEAG的值是1；长方形AEFG的面积是，AEAG，（AEAG）2AE22AEAG+AG2，AE2+AG2（AEAG）2+2AEAG1+，（AE+AG）2AE2+2AEAG+AG2，（AE+AG）2+，AE+AG，阴影部分的面积正方形GFIH的面积正方形AGJK的面积AE2AG2（AE+AG）（AEAG）1【变式2-2】（2022秋丰满区期末）问题背景如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2a

29、2+2ab+b2类比探究类比由图1易得公式（a+b）2a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式解决问题（1）计算：（2mn）2 ；（2）运用完全平方公式计算：1052；（3）已知（x+y）212，xy2，求（xy）2的值【解答】解：类比探究：由图2中的已知条件可以得出完全平方的另一个公式：（ab）2a22ab+b2；解决问题：（1）（2mn）2（2m）222mn+n24m24mn+n2；故答案为：4m24mn+n2；（2）1052（100+5）21002+21005+5210000+1000+2511025；（3）因为（x+y）212，xy2，所以（xy）2（x

30、+y）24xy122421448136【变式2-3】（2022秋西岗区校级期末）【探究】若x满足（9x）（x4）4，求（4x）2+（x9）2的值设9xa，x4b，则（9x）（x4）ab4，a+b（9x）+（x4）5，（9x）2+（x4）2a2+b2（a+b）22ab522417；【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5x）（x2）2，求（5x）2+（x2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE1，CF3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形MF ，DF ；（用含x的式子表示）求阴影部分的面积【解答】解：（1）设

31、5xa，x2b，则（5x）（x2）ab2，a+b（5x）+（x2）3，（5x）2+（x2）2a2+b2（a+b）22ab3222945；（2）四边形EMFD是长方形，AE1，四边形ABCD是正方形，ADCDBCx，DEMF，MFDEADAEx1，DFCDCFx3，故答案为：x1，x3；长方形EMFD的面积是8，MFDF（x1）（x3）8，阴影部分的面积MF2DF2（x1）2（x3）2设x1a，x3b，则（x1）（x3）ab8，ab（x1）（x3）2，（a+b）2（ab）2+4ab22+4836，a+b6，又a+b0，a+b6，（x1）2（x3）2a2b2（a+b）（ab）6212即阴影部分的面

32、积12【夯实基础】1（2022秋河西区期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（）A一组B两组C三组D四组【答案】D【解答】解：图1，整体长方形的长为a+b+c，宽为d，因此面积为（a+b+c）d，整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为ad、bd、cd，所以有：（a+b+c）dad+bd+cd，因此图1符合题意；图2，整体长方形的长为a+b，宽为c+d，因此面积为（a+b）（c+d），整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd，所以有：（a+b）（c+d）ac+a

33、d+bc+bd，因此图2符合题意；图3，整体正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，所以有：（a+b）2a2+2ab+b2，因此图3符合题意；图4，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为ab，因此面积为（ab）2，较小正方形的边长为b，因此面积为b2，另外两个长方形的长为（ab），宽为b，则面积为（ab）b22ab2b2，所以有a2（ab）2+b2+2ab2b2，即（ab）2a22ab+b2，因此图4符合题意；综上所述，四组均符合题意；故选：D2（2022秋广宗县期末）

34、小张利用如图所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图所示的图形，则根据图的面积关系能验证的恒等式为（）A（a+b）2a2+2ab+b2B（2a+b）24a2+4ab+b2C（a+b）2（ab）2+4abD（ab）2a22ab+b2【答案】C【解答】解：用整体和各部分求和两种方法表示出图的面积的面积各为：（a+b）2和（ab）2+4ab，可得（a+b）2（ab）2+4ab，故选：C3（2022秋天山区校级期末）如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（）Aa2+b2Ba2b2C2abD4ab【答案】C【解答】解：整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，四个等

35、腰直角三角形的面积和为a2+b2，所以阴影部分的面积为（a+b）2a2b22ab，故选：C4（2021秋安岳县期末）将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（）Aa2b2（a+b）（ab）Ba2+b2（ab）2+2abC4ab（a+b）2（ab）2D2ab（a+b）2（a2+b2）【答案】D【解答】解：图1阴影部分的面积为2a2b2ab；图2阴影部分的面积利用看作边长为（a+b）的面积减去中间空白正方形的面积，即（a+b）2（a2+b2）2ab，因此有2ab（a+b）2（a2+b2），故选：D5（2022秋大连期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一

36、个边长为b的|小正方形（ab）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式是 【答案】 （a+b）（ab）a2b2【解答】解：阴影部分的面积（a+b）（ab）a2b2；因而可以验证的乘法公式是（a+b）（ab）a2b2故答案为：（a+b）（ab）a2b26（2022春榆林期末）如图，在一个边长为2a+b的大正方形纸片中，剪去一个长为2a+b、宽为ab的长方形和一个边长为ab的小正方形（1）用含a、b的式子表示阴影部分的面积；（结果化为最简）（2）当a5，b2时，求阴影部分的面积【解答】解：（1）阴影部分的面积为：（2a+b）2（2a+b）（a

37、b）（ab）24a2+4ab+b2（2a22ab+abb2）（a22ab+b2）4a2+4ab+b22a2+2abab+b2a2+2abb2a2+7ab+b2；（2）当a5，b2时，原式25+752+499，即阴影部分的面积为997（202252（2022春普宁市期末）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积方法1： ，方法2： ；（2）从（1）中你能得到怎样的等式？；（3）运用你发现的结论，解决下列问题： 已知x+y6，xy2，求x2+y2的值

38、；已知（2022x）2+（x2021）29，求（2022x）（x2021）的值【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即a2+b2，方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）22ab，故答案为：a2+b2，（a+b）22ab；（2）（1）中的两种方法都表示阴影部分面积，a2+b2（a+b）22ab，故答案为：a2+b2（a+b）22ab；（3）0.5xy2，xy4，又x+y6，x2+y2（x+y）22xy622436828；设a2022x，bx2021，则a2+b29，a+b1，2（2022x）（x2021）2ab（a+b）

39、2（a2+b2）198，（2022x）（x2021）4，答：（2022x）（x2021）的值为48（2022春郫都区期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为（a+b），小正方形（阴影部分）的边长为（ab）（1）观察图1，直接写出（a+b）2，（ab）2，ab三者的数量关系式；（2）用（1）的结论解答：如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若p2+q220，p+q6，求图2中阴影部分的面积；如图3，四边形ABCD、四边形MEDO和四边形NGDH都是正方形，四边形PODH是长方形，若AE5，CG15，长方形EFGD的面积是300，求图3中阴影部分的

40、面积【解答】解：（1）根据题意可得，（a+b）2（ab）2+4ab；（2）由（1）可得ab，pq，把p2+q220，p+q6代入上式，pq8图2中阴影部分的面积为2pq28（3）根据题意可得，设ABx，DGCDCGx15，DEADAEx5，设x5a，x15b，则ab300，ab（x5）（x15）10，图中阴影部分的面积等于a2+2ab+b2（a+b）2，（a+b）2（ab）2+4ab102+43001300图3中阴影部分的面积13009.（秋西城区校级期中）我们在学习从面积到乘法公式时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）ma+mb+mc（如

41、图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2a2+2ab+b2（如图3）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什

42、么数量关系？（注：写出解答过程）【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）2a2+3ab+b2，（2）a2+b2c2理由如下：S正方形ABCD（a+b）2a2+b2+2ab，S正方形ABCDab4+c2，a2+b2+2ab2ab+c2，a2+b2c210（2022秋南关区校级期末）完全平方公式：（ab）2a22ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题例如：若a+b3，ab1，求a2+b2的值解：因为a+b3，所以（a+b）29，即：a2+2ab+b29，又因为ab1，所以a2+b27根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y8，x2+y240，求xy的值；（2）若（4x）（x5

43、）8，求（4x）2+（x5）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB6，两正方形的面积和S1+S218，求图中阴影部分面积【解答】解：（1）x+y8，（x+y）264，即x2+2xy+y264，又x2+y240，2xy6440，xy12，答：xy的值为12；（2）设m4x，nx5，则m+n1，mn（4x）（x5）8，（4x）2+（x5）2m2+n2（m+n）22mn（1）22（8）1+1617；（3）设AEa，FGb，则AB6a+b，由题意可知S1+S2a2+b218，（a+b）2a2+2ab+b2，3618+2ab，ab9，阴影部分的面积为ab，答：

44、阴影部分的面积为11（2022南京模拟）（1）如图1是用4个全等的长方形纸板拼成一个“回形”正方形纸板图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 ；已知（b+a）225，ab4，则（ba）2；（2）利用图1的结论，若（3xy）264，（3x+y）2100，求xy的值（3）如图2，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且mn（以上长度单位：cm）图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是 ；用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为 ；（4）如图2，

45、若每块小矩形的面积为8cm2，阴影部分面积（四个正方形的面积和）为40cm2，试求（m+n）2的值【解答】解：（1）由图可知，大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（ba），图中阴影部分面积：（a+b）2（ba）24ab，（b+a）225，ab4，（b+a）225b2+2ab+a225b2+a2+2425b2+a217，（ba）2b2+a22ab17249故答案为：（a+b）2（ba）24ab；9；（2）（3x+y）2（3xy）212xy1006436，xy3；（3）由图可知，矩形的长为（2m+n）m，宽为（m+2n）m，阴影的面积为：（2m+n）（m+2n）5mn2m2+2n2，由图可

46、知，所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为：6m+6n；（4）由题意得：2m2+2n240，mn8，m2+n220，（m+n）2m2+2mn+n220+2836，（m+n）2的值为3612（2022春明溪县月考）阅读理解：若x满足（210x）（x200）204，试求（210x）2+（x200）2的值，解：设（210x）a，（x200）b，则ab204，且a+b（210x）+（x200）10，（a+b）2a2+2ab+b2，a2+b2（a+b）22ab1022（204）508，即（210x）2+（x200）2的值为508解决问题（1）若x满足（2022x）（x2010）22，则（2022x）2+

47、（x2010）2 ；（2）若（2022x）2+（x2002）22020，求（2022x）（x2002）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB10，BC6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BEDFx，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？【解答】解：（1）设（2022x）a，（x2010）b，则ab22，且a+b（2022x）+（x2010）12，（a+b）2a2+2ab+b2，a2+b2（a+b）22ab122222100，即（2022x）2+（x2010）2的值为100，故答案为：100；

48、（2）设（2022x）a，（x2002）b，则a+b（2022x）+（x2002）20，（a+b）2a2+2ab+b2，a2+b2（a+b）22ab2022ab2020，解得ab810，即（2022x）（x2002）的值为810；（3）由图及题中条件可知正方形CFGH 的边长为10x，正方形CEMN的边长为6x，则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到（10x）（x6）40，阴影部分面积为（10x）2+（6x）2（10x）2+（x6）2，设（10x）a，（x6）b，则ab40，且a+b（10x）+（x6）4，（a+b）2a2+2ab+b2，（10x）2+（6x）2（10x）2+（x6）2a2

49、+b2，a2+b2（a+b）22ab422（40）96，阴影部分面积为9613（2022春盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形然后按图2形状拼成一个正方形（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b10，ab3，求图2中空白部分的正方形的面积（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（ab）2，ab之间的数量关系（4）拓展提升：当（x10）（20x）8时，求（2x30）2【解答】解：（1）图2中的空白部分的正方形的边长ab（2）图2中空白部分的正方形的面积大正方形的面积4个小长方形的面积

50、（a+b）24ab102431001288（3）图2中大正方形的面积（a+b）2，空白部分的正方形面积（ab）2，阴影的面积4ab，图2中大正方形的面积空白部分的正方形面积+阴影的面积，（a+b）2（ab）2+4ab（4）（x10）+（20x）x10+20x10，（x10）+（20x）2100，由（3）的结论可知，（x10）+（20x）2（x10）（20x）2+4（x10）（20x），把（x10）+（20x）2100，（x10）（20x）8代入，得100（x10）（20x）2+48，100（x1020+x）2+32，68（2x30）2，即（2x30）26814（2022春涟源市校级期末）阅读理

51、解：若x满足（80x）（x60）30，求（80x）2+（x60）2的值解：设（80x）a，（x60）b，则（80x）（x60）ab30，a+b（80x）+（x60）20，所以（80x）2+（x60）2a2+b2（a+b）22ab202230340解决问题：（1）若x满足（30x）（x20）10，求（30x）2+（x20）2的值；（2）若x满足（2017x）2+（2015x）24038，求（2017x）（2015x）的值；（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE10，CG20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一

52、个具体的数值）【解答】解：（1）设（30x）a，（x20）b，则（30x）（x20）ab10，a+b（30x）+（x20）10，所以（30x）2+（x20）2a2+b2（a+b）22ab102+210120；（2）设（2017x）a，（2015x）b，则ab（2017x）（2015x）2，因为（2017x）2+（2015x）24038，所以（2017x）2+（2015x）2a2+b2（ab）2+2ab4038，即22+2（2017x）（2015x）4038，（2017x）（2015x）2017；（3）设正方形ABCD的边长为x，由题意DEx10，DGx20，则（x10）（x20）500，设ax

53、10，bx20，则ab10，ab500，S阴（a+b）2（ab）2+4ab102+45002100【能力提升】15（2022秋荆门期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a6，b6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3 【解答】解：由题知，a+b1628，ab15.75（a+b）264，a2+2ab+b264，a2+b2642ab64215.7532.5，S1（6b）2，S3（6a）2，S2b（6a）2（a+b6）2，阴影部分面积S1+S2+S3（6b）2+（6a）2+（a+b6）23612b+b2+3612a+a2+（

54、86）2a2+b212b12a+76a2+b212（b+a）+7632.5128+7612.5故答案为：12.516（2022秋平桥区校级期末）有两种正方形A、正方形B，其边长分别为a，b现将正方形B放在正方形A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，且图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12（1）正方形A、正方形B的面积之和为 （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A和正方形B外，还需要个长度分别a，b的长方形（3）将3个正方形A和2个正方形B按图3所示的方式摆放，求阴影部分的面积【解答】解：（1）设正方形A，B的边长

55、分别为a，b（ab），由图1得（ab）21，由图2得（a+b）2a2b212，得ab6，a2+b213，故答案为：13；（2）（2a+b）（a+3b）2a2+6ab+ab+3b22a2+7ab+3b2，需要以a，b为边的长方形7个，故答案为：7；（3）ab6，a2+b213，（a+b）2（ab）2+4ab1+2425，a+b0，a+b5，（ab）21，ab1，图3的阴影部分面积S（2a+b）23a22b2a2b2+4ab（a+b）（ab）+4ab5+242917（2022秋晋江市期中）如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG

56、，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（ab）（1）分别写出图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a、b的代数式表示）；（2）如果a+b6，ab4，求S1的值；（3）当S1S2时，求的取值范围【解答】解：（1）S1a2+b2a2b（a+b）a2+b2ab，如图，延长AD、EF交于H，S2S梯形CEHAS正方形CEFGSAFHa（b+a+b）b2（a+b）（ab）abb2；（2）a+b6，ab4，S1a2+b2ab（a+b）2ab18612；（3）S1S2，a2+b2ababb2a2+b2ab0，a2+2b23ab0，（a2b）（ab）0，ab，a2b0，a2b，12