专题03 手拉手模型（从全等到相似）（解析版）.docx

1、专题03 手拉手模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（全等模型）【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。【常见模型及证法】 （等腰）（等边）（等腰直角）公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为

2、“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。1（2022青海中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图1 图2【答案】(1)见解析 (2)；【分析】（1）先判断出BAD=

3、CAE，进而利用SAS判断出BADCAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出BADCAE，得出AD=BE，ADC=BEC，最后用角的差，即可得出结论【解析】(1)证明：和是顶角相等的等腰三角形，在和中，(2)解：，理由如下：由（1）的方法得，是等腰直角三角形，【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出ACDBCE是解本题的关键2（2022黑龙江中考真题）和都是等边三角形(1)将绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明(2)将绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE相

4、交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明【答案】(1)证明见解析 (2)图结论：，证明见解析 (3)图结论：【分析】（1）由ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，然后证

5、明是等边三角形，得，即可得出结论：(1)证明：ABC是等边三角形，AB=AC，点P与点A重合，PB=AB，PC=AC，PA=0，或；(2)解：图结论：证明：在BP上截取，连接AF，和都是等边三角形，（SAS），AC=AB，CP=BF，（SAS），是等边三角形，；(3)解：图结论：，理由：在CP上截取，连接AF，和都是等边三角形，（SAS），AB=AC，BP=CF，（SAS），是等边三角形，即【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键3（2022吉林九年级期末）如图，在中，点，分别在边，上，且，此时，成立（1

6、）将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并直接写出的长度；（2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由；（3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当，三点在同一条直线上时，请直接写出的长度【答案】（1）补充图形见解析；（2），仍然成立，证明见解析；（3）或【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE的长即可；（2）根据SAS证明得AD=BE，1=2，再根据1+3+4=90得23+4=90，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可【详解】解：（1）如图所示， 根据题意得，点D在BC上，是直角三角形，且BC

7、=，CE= 由勾股定理得，；（2），仍然成立. 证明：延长交于点，又，在中，.（3）当点D在AC上方时，如图1所示，同（2）可得AD=BE同理可证 在RtCDE中，DE= 在RtACB中， 设AD=BE=x，在RtABE中， 解得, 当点D在AC下方时，如图2所示，同（2）可得AD=BE同理可证 在RtCDE中，DE= 在RtACB中， 设AD=BE=x，在RtABE中， 解得, .所以,AD的值为或【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键模型2.手拉手模型（旋转相似模型）【模型解读与图示】 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1（2022四川

8、达州中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，之间的数量关系：_；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由(4)【拓展延伸】如图5，在与中，若，（m为常数）保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接，如图6试探究，之间的

9、数量关系，并说明理由【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由见解析(4)【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，可得，即可得出；（4）过点作，交于点，证明，可得，在中，勾股定理可得，即可得出(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，故答案为： (2)在与中， 又 重合，故答案为：(3)同（2）可得，过点，作，交于点，则，在与中，是等腰直角三角形，在与中，即，(4)过点作，交于点，中，即【点睛】本题考查了等腰直角三角形的

10、性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键2（2022山东烟台中考真题）(1)【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE(2)【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出的值(3)【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE求的值；延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值【答案】(1)见解析(2)(3)；【分析】（1）证明BADCAE，从而得出结论；（2）证明BADCAE，

11、进而得出结果；（3）先证明ABCADE，再证得CAEBAD，进而得出结果；在的基础上得出ACEABD，进而BFCBAC，进一步得出结果(1)证明：ABC和ADE都是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC60，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE（SAS），BDCE；(2)解：ABC和ADE都是等腰直角三角形，DAEBAC45，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE，；(3)解：，ABCADE90，ABCADE，BACDAE，CAEBAD，CAEBAD， ；由得：CAEBAD，ACEABD，AGCBGF，BFCBAC，sinBFC【点睛】本题考查了等腰三角形的

12、性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形3（2022山东东营市一模）【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与A

13、CN的数量关系，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）ABC=CAN，理由见解析【分析】（1）利用SAS可证明BAMCAN，继而得出结论（2）也可以通过证明BAMCAN，得出结论，和（1）的思路完全一样（3）首先得出BAC=MAN，从而判定ABCAMN，得到，根据BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，得到BAM=CAN，从而判定BAMCAN，得出结论【详解】解：（1）证明：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（2）结论ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、

14、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（3）ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN，底角BAC=MAN，ABCAMN，又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN4（2022山西长治九年级期末）问题情境：如图1，在ABC中，AB6，AC5，点D，E分别在边AB，AC上，且数学思考：(1)在图1中，的值为 ；(2)图1中ABC保持不动，将ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是

15、否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究APE与ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出APE与ABC之间的数量关系【答案】(1)(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析(3)APE=ABC，理由见解析(4)结论不成立，APE+ABC=180，理由见解析【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；（2）根据旋转的性质得到BAD=CAE，由（

16、1）可证明BADCAE，从而可证APE+ABC得到；（3）由（2）可证ABD=ACE，证明AFBPFC和AFPBFC即可得到结论；（4）证明ABD=ACE，推出A、B、C、P四点共圆即可得到结论；（1）解：，；（2）解：中结论仍然成立，理由如下：旋转的性质，ADE=ABC，AED=ACB，ADEABC，在图2中，由旋转的性质可知，BAC=DAE，BAD=CAE，BADCAE，；（3）解：APE=ABC，理由如下：由（2）得BADCAE，ABD=ACE，又AFB=PFC，AFBPFC，又AFP=BFC，AFPBFC，CBF=PAF，APE=ACE+PAF，ABC=ABF+CBF，APE=ABC；

17、（4）解：（3）结论不成立，APE+ABC=180，理由如下：由（2）知，BADCAE，ABD=ACE，A、B、C、P四点共圆，APE+ABC=180【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟练掌握相关三角形的性质与判定是解题的关键课后专项训练：1（2022湖南中考真题）如图，点是等边三角形内一点，则与的面积之和为（）ABCD【答案】C【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，是等边三角形， ，与的面积之和为故选：C【点睛】本题主要考查了等边三角形

18、的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键2（2022四川宜宾中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE下列结论：；若，则；在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则其中含所有正确结论的选项是（）ABCD【答案】B【分析】证明，即可判断，根据可得，由可得四点共圆，进而可得，即可判断，过点作于,交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质可得，即可判断，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，根据当共线时，取得最小值，可得四边形是正方形，勾股定

19、理求得， 根据即可判断【详解】解：和都是等腰直角三角形，故正确；四点共圆，故正确；如图，过点作于,交的延长线于点， ,，,设，则，则AHCE，则；故正确如图，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，当共线时，取得最小值，此时，此时，平分，四点共圆，又,，则四边形是菱形，又，四边形是正方形，则，则，故不正确，故选B【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键3（2022湖北襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OAOM

20、=ON)，AOB=MON=90(1)如图，连接AM，BN，求证：AOMBON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，如图，当点N恰好在AB边上时，求证：；当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长【答案】(1)见解析；(2)见解析；或【分析】（1）利用SAS定理证明即可；（2）连接，证明，即可证；当点N在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段上时，同理即可求得（1）证明：，即和是等腰直角三角形，(SAS) （2）解：证明：如图，连接，即和是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，或AOB和MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON =3，当点N在线段上

21、时，如图，连接，设，由(1)可知，是直角三角形，又，解得：（舍去）；当点M在线段上时，如图，连接，设，由(2)可知，是直角三角形，又，解得： （舍去）综上所述：的长为或【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键4（2022山西朔州九年级期末）综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在中，求的长(1)探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把绕点A顺时针旋转得到，连接，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求的长；(2)探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把绕点A顺时针旋

22、转后得到，连接，交于点F，交于点G，请你判断四边形的形状并证明；(3)奇异小组的同学把图3中的绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接，发现的长度在不断变化，直接写出的最大值和最小值【答案】(1)的长是，见解析；(2)四边形是菱形，见解析；(3)的最大值是，的最小值是，见解析【分析】（1）过点B作交的延长线于点H由旋转性质进一步得是等边三角形， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，在中由勾股定理，在中，在中，求得，进而得解；（2）利用旋转的性质得到相关结论，进一步证明四边形是平行四边形又有，得证四边形是菱形；（3）作AHBD于点H，则，利用解直角三角形求得BF的长，分两种情况进行分析，即可得解（1

23、）解：如图4，延长CB、DE交于点H.绕点A顺时针旋转得到，H=90，=6，=6，ABC是等腰三角形， 是等边三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，在中，由勾股定理，得=36HE2=HB2=18在中，在中，在中，的长是（2）解：四边形是菱形理由如下：绕点A顺时针旋转得到，ACE是等腰三角形同理可得：，在中，四边形是平行四边形，四边形是菱形（3）如图5，作AHBD于点H，则绕点A顺时针旋转得到， ，=6ABD是等腰三角形BH=DH=BD 在RtABH中，AHB=90，ABH=30， AB=6BH=3BD=2 BH=6由（2）知四边形是菱形DF=AD=6BF=BD-DF=66当绕点B顺时针旋

24、转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6，此时AF有最小值，此时AF=AB-=AB-BF=6-（66）=126当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7，此时AF有最大值，此时AF=AB+=AB+BF=6+66=6故的最大值是，的最小值是【点睛】本题以图形的变换旋转为载体考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，线段长度的最值问题等知识点，综合性较强，准确作出辅助线是解题的关键5（2022湖北武汉八年级期末）已知ABC中，BAC=60，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：C

25、E=2AN(3)若ABBC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_（直接写出结果）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）先判断出DBC=ABE，进而判断出DBCABE，即可得出结论；（2）先判断出ADNFCN，得出CF=AD，NCF=AND，进而判断出BAC=ACF，即可判断出ABCCFA，即可得出结论；（3）先判断出ABCHEB(ASA)，得出，再判断出ADMHEM (AAS)，得出AM=HM，即可得出结论（1）解：ABD和BCE是等边三角形，BD=AB，BC=BE，ABD=CBE=60，ABD+ABC=CBE+ABC，DBC=ABE，ABEDBC（SAS），AE=CD

26、；（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，N为CD中点，DN=CN，AND=FNC，ADNFCN(SAS)，CF=AD，NCF=AND，DAB=BAC=60ACD +ADN=60ACF=ACD+NCF=60，BAC=ACF，ABD是等边三角形，AB=AD，AB=CF，AC=CA，ABCCFA (SAS)，BC=AF，BCE是等边三角形，CE=BC=AF=2AN；（3）解： ABD是等边三角形，BAD=60，在RtABC中，ACB=90BAC=30，如图，过点E作EH / AD交AM的延长线于H，H=BAD=60，BCE是等边三角形，BC=BE，CBE=60，ABC=90，EBH=90C

27、BE=30=ACB，BEH=180EBHH=90=ABC，ABCHEB (ASA)，AD=EH，AMD=HME，ADMHEM (AAS)，AM=HM，故答案为：【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键6（2022湖南长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图1，在RtABC中，B90，ABBC4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BDBE(1)如图2，将BDE绕点B逆时针旋转任意角度，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；(2)如图3，DEBC，连接AE，判断EAC的形状，并求出EC的长

28、；(3)继续旋转BDE，当AEC90时，请直接写出EC的长【答案】(1)ECAD，ECAD(2)等腰三角形，(3)【分析】（1）延长CE交AD于F，交AB于O，证明ABDCBE（SAS），得BCEBAD，CEAD，再由AOFBOC，可得AFCABC90，即可得到结论；（2）设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由（1）知CEAD，从而得出答案；（3）分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可(1)EC与AD垂直且相等，理由如下：延长CE交AD于F，交AB于O，BDE和ABC都是等腰直角三角形，BDBE，ABBC，DBEAB

29、C90，ABDCBE，ABDCBE（SAS），BCEBAD，CEAD，AOFBOC，AFEABC90，ADCE，故答案为：ECAD，ECAD；(2)设DE与AB的交点为H， DEBC，AHEABC90，BDBE，AB是DE的垂直平分线，ADAE，由（1）知ADCE，AECE，ACE是等腰三角形，BE，BHHE1，AHABBH413，在RtAHE中，由勾股定理得：AE，CEAE；(3)如图4，当点E在BC上方时，过点B作BGDE于G，AEC90，CEAD，A、E、D三点共线，AG，ADAG+DG，CEAD+1；如图，当点E在BC下方时，同理可得CECGGE1综上：CE+1或1【点睛】本题主要考查

30、了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键7（2022广东惠州一中八年级期中）为等边三角形，于点为线段上一点，以为边在直线右侧构造等边连结，为的中点（1）如图1，与交于点，连结，求线段的长；连结，求的大小（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为为线段的中点连结、当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论【答案】（1）；（2），证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，是斜边上的中线，勾股定理在中可求得的长，进而求得的长；根据的结论可得，根据，即可求得的度数；（2）连接，证明，进而可得，则，进而根据为的中

31、点，为的中点，为的中点，根据三角形中位线定理可得，进而可得【详解】（1）是等边三角形，是等边三角形，为的中点如图，连接， ；（2），理由如下，如图，连接，为等边三角形，,则为的中点，为的中点，为的中点【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，勾股定理，中位线定理，三角形全等的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键8（2022新乡中考模拟）在ABC中，CACBm，在AED中，DADEm，请探索解答下列问题【问题发现】（1）如图1，若ACBADE90，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是 ，直线CD与BE的夹角为 ；【类

32、比探究】（2）如图2，若ACBADE120，将AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m2，将AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线请直接写出CD的长【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到ABACm，AEADm，计算即可；（2）过点C作CHAB于H，延长CD、BE交于点F，根据直角三角形的性质得到ABAC，AEAD，证明CADBAE，根据相似三角形的性质解答即可；（3）分点E在线段BD上、点D在线段BE上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：（1）ACBADE90，CACB，DADE，A

33、BDEA45，ABACm，AEADm，CDACADm，BEABAEm，BECD，A45，直线CD与BE的夹角为45，故答案为：BECD，45；（2）不满足，BECD，直线CD与BE的夹角为30，理由如下：如图2，过点C作CHAB于H，延长CD、BE交于点F，CACB，AHHB，ACBADE120，CACB，DADE，CABCBA30，DAEDEA30，AC2CH，CADBAE，由勾股定理得：AHAC，ABAC，同理可得：AEAD，CADBAE，CADBAE，ACDABE，BECD，FCAB30，BECD，直线CD与BE的夹角为30；（3）如图3，点E在线段BD上，m2，ADDE1，AB2，由勾

34、股定理得：BD，BEBDDE1，CDBE，如图4，点D在线段BE上，BEBD+DE+1，CDBE，综上所述：当B，E，D三点共线CD的长为或【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键9（2022虹口区期中）如图，在ABC和ADE中，BADCAE，ABCADE（1）求证：ABCADE；（2）判断ABD与ACE是否相似？并证明【分析】（1）由BADCAE，可得BACDAE，又有ABCADE，即可得出相似；（2）有（1）中可得对应线段成比例，又有以对应角相等，即可判定其相似【解答】证明：（1）BADCAE，BACDA

35、E，ABCADE，ABCADE（2）ABDACE证明：由（1）知ABCADE，ABAEACAD，BADCAE，ABDACE【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握10（2022长垣市一模）在ABC中，ABAC，点D为AB边上一动点，CDEBAC，CDED，连接BE，EC（1）问题发现：如图，若60，则EBA ，AD与EB的数量关系是 ；（2）类比探究：如图，当90时，请写出EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA，请直接写出线段EF的

36、长度【分析】（1）证明ACDBCE（SAS），得ADEB，CBEA60，则EBAABC+CBE120；（2）证DECABC，BCEACD，得，再证BCEACD，得EBCDAC90，则EBAEBC+ABC135，进而得出结论；（3）连接BD，当AEAB时，证AODBED，得，求出AB3AD，则AE1，在RtAED中，由勾股定理求出ED即可；当BEAB时，同得：，求出AB6AD，则AE4，在RtAED中，由勾股定理得ED2即可【解答】解：（1）60，ABC60，CDE60，ABAC，CDED，ABC和CDE是等边三角形，ACBC，CDCE，ABCACBADCE60，ACDBCE，ACDBCE（SA

37、S），ADEB，CBEA60，EBAABC+CBE120，故答案为：120，ADEB；（2）EBA135，EBAD，理由如下：90，CDEBAC90，CDED，ABAC，DECDCEABCACB45，DECABC，BCEACD，BCEACD，EBCDAC90，EBAEBC+ABC90+45135，EBAD；（3）连接BD，分两种情况：当AEAB时，如图所示： 四边形DEFG是正方形，EFED，对角线FD与EG互相垂直平分，DEO是等腰直角三角形，sin45，在RtABD中，sin45，ODA+ADE45BDE+ADE，ODABDE，AODBED，OA，AB3AD，AEAB1，在RtAED中，由

38、勾股定理得：ED，EFED；当BEAB时，如图所示：同得：，OA，AB6AD，AEAB4，在RtAED中，由勾股定理得：ED2，EFED2；综上所述，线段EF的长度为或2【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键11（2022山西寿阳县教研室九年级期末）问题情境：如图1所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转

39、一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：在图2中，BD与CE的数量关系是_在图3中，猜想MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB=AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：MAN与BAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想【答案】(1)BD=CE；MAN=BAC，见解析(2)MAN=BAC，AM=AN【分析】（1）根据题意和旋转的性质可知AECADB，所以BD=CE；根据题意可知CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得

40、到BADCAE，在ABM和ACN中，DM=BD，EN=CE，可证ABMACN，所以AM=AN，即MAN=BAC（2）直接类比（1）中结果可知AM= AN，MAN=BAC(1)DEBCBACDAEAB=AC，AD=AE由旋转可得：BAC=DAE，CAE=BADBADCAEBD=CE， MAN=BAC理由：如图1，DEBCBACDAEAB=AC，AD=AE由旋转可得：BAC=DAE，CAE=BADBADCAEBD=CE，ACE=ABDDM=BD，EN=CEBM=CN ABMACNBAM=CANBAM-CAM=CAN-CAM即MAN=BAC；(2)结论：MAN=BAC，AM=ANABCADE，CAE

41、=DAE+CAD，BAD=BAC+CAD，CAE=BAD，ADBAEC，DM=BD，EN=CEADM=ABD+BAD，AEN=ACE+CAE，ADM=AEN，ADMAEN，AM：AN=AD：AE=，DAM=EAN，NAE+MAE=NAE+MAE，MAN=DAE，DAE=BAC，MAN=BACAM=kAN，MAN=BAC【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键12（2022辽宁东港市第七中学一模）如图，在、中，设连接，以、为邻边作，连接(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量

42、关系_；(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；(3)若为任意角度，绕点顺时针旋转一周（图4），当、三点共线时，请直接写出的长度【答案】(1)(2)，证明见解析(3)或【分析】（1）根据旋转全等模型可证，（SAS），结合已知平行四边形性质可证：，根据，可得是等边三角形即可解题；（2）同理第一问，根据，可得是等腰直角三角形即可解题；（3）根据第一问可证：，当、三点共线时，当、三点共线时，、三点共线，继而解三角形，求出BD长，由相似三角形性质求出EF，由分两种情况，分别画图求解即可（1）解：如图2，连接EC，BAC=BAD+DAC，DAE=DAC+CAE，BAD=CAE，又，（SAS）， ，四边形BDFC是平行四边形，BCDF，BD=CF ，又，当时，是等边三角形，EF=CF；（2）解：同理（1）可得：，当时，是等腰直角三角形，；（3）解：分两种情况进行讨论：如图3-1：AF=AE+EF，同理1可得：，又，由（1）得：（SAS），当、三点共线时，当、三点共线时，、三点共线，如图4-1，过A点作AHDE， AD=AE，如图4-2，AF=EF-AE，同理可得：，综上所述：AF长为或【点睛】本题属于几何压轴题，综合性比较强，体会其中蕴含的从特殊到一般的思想是解题的关键解题关键是关键旋转全等模型证明是等腰三角形，从而可得，再结合解三角形求线段长