专题03 抛物线及其性质-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）.docx

1、专题03 抛物线及其性质一、抛物线的定义和标准方程1抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)_距离相等_的点的轨迹叫作抛物线，_定点F_叫作抛物线的焦点，_定直线l_叫作抛物线的准线对抛物线定义的理解(1)定义条件：直线l不经过定点F.(2)一动三定：“一动”，即动点P；“三定”，即定点F，定直线l和定值，也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1.2抛物线的标准方程的几种形式同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程图形焦点准线方程_F(，0)_x_y22px

2、(p0)_F(，0)_x_y22px(p0)_F(0，)_y_x22py(p0)_二、抛物线的几何性质1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围_x0_x0_y0_y0_对称性对称轴：_x轴_对称轴：_y轴_顶点_坐标原点_离心率_1_通径过焦点且与对称轴垂直的弦AB，|AB|_2p_2.焦半径抛物线上一点与焦点F连线的线段叫作焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|AF|AF|_x0_|AF|_x0_|

3、AF|_y0_|AF|_y0_3抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径对于抛物线，由，可得，故抛物线的通径长为2p4必记结论直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：（1）y1y2p2，x1x2.（2）|AB|x1x2p，x1x2p，即当x1x2时，弦长最短为2p.（3）为定值.（4）弦长A

4、B(为AB的倾斜角)（5）以AB为直径的圆与准线相切（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90.技巧1 求抛物线的标准方程例1、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上思路分析从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；因此只需一个条件即可解析(1)设所求的抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，过点(3,2)，42p(3)或92p2.p或p.故所求的抛物线方程为y2x或x2y，对应的准线方程分别为x，y.(2)令x0得y2，令y0得x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，4

5、，p8，此时抛物线方程y216x；当焦点为(0，2)时，|2|，p4，此时抛物线方程为x28y.故所求的抛物线方程为y216x或x28y，对应的准线方程分别是x4，y2.规律方法求抛物线标准方程的方法：直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p.待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2mx或x2my.已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图像及开口方向确定技巧2 抛物线的定义及其应用例2、若动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心

6、的轨迹方程是( )Ay28xBy28x Cy24x Dy24x解析设动圆的半径为r，圆心为O(x，y)且O到点(2,0)的距离为r1，O到直线x1的距离为r，所以O到(2,0)的距离与到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知y28x.技巧3 抛物线焦点弦性质例3、直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点求证：x1x2，y1y2p2.证明证法一：因为焦点坐标为F，当AB不垂直x轴时，可设直线AB的方程为yk(k0)由ky22pykp20所以y1y2p2，x1x2，当ABx轴时，直线AB方程为x，则y1p，y2py1y2p2，x1x2.证法二：设

7、直线l的方程为xky，由得y22pkyp20，则y1y2p2，x1x2 2.点睛：证法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；证法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会技巧4 抛物线定义的应用例4、O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2 C2 D4【分析】由条件及抛物线的定义求出点P的横、纵坐标，则POF的面积易得【解析】由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线的定义知|PF|PM|，又|PF|4，所以xP3，代入抛物线方程求得yP2，

8、所以SPOF|OF|yP2. 1y2x2的焦点坐标是()A(1,0) B(，0) C(0，) D(0，)解析由题意知，p，焦点坐标是(0，)故选D2(2019河南郑州市高二期末测试)已知抛物线y2mx的焦点坐标为(2,0)，则m的值为()A B2 C4 D8解析抛物线y2mx的焦点坐标为(2,0)，m0，且2pm.又2，p4，m8.3准线为y的抛物线标准方程是()Ax23y Byx2 Cx3y2 Dxy2解析准线为y的抛物线标准方程是x23y，选A4过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则的值是()A12B12 C3 D3解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1

9、x2y1y2p2p2，又p2，3.5直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k(C)A2或1 B1 C2 D3解析由得k2x2(4k8)x40.由(4k8)216k20，得k1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，解得k2或k1(舍去)6设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，2)与点F的距离为4，则k等于()A4 B4或4 C2 D2或2解析由题设条件可设抛物线方程为x22py(p0)，又点P在抛物线上，则k24p，|PF|424，即p4，k4.7过抛物线y28x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3

10、，则|AB|的值为_.解析由抛物线y28x知，p4.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，根据抛物线定义知：|AF|x2，|BF|x2，|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，x1x2|AB|p.由条件知3，则x1x26，|AB|p6，又p4，|AB|10.8抛物线x2y上到直线2xy40的距离最小时的点P的坐标解析设点P(x，y)，则x2y.P到直线2xy40的距离为d|2xx24|x22x4|(x1)23当x1时，d最小，此时y1，P(1,1)为所求1（2020年新课标全国I卷理数）已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）A2

11、B3C6D9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2（2018年新课标全国III卷）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】 ，因为 ，所以渐近线方程为.【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程

12、的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，时为椭圆，当时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理3（2018年北京卷）已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为_【答案】【解析】由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得，所以，由抛物线方程可得，所以焦点坐标为4（2020年新课标全国II卷）已知椭圆C1：(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|

13、.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；（2）由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，即，即，即，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为.【

14、点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.5（2019年新课标全国I卷）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设直线：，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线方程为：，由抛物线焦半径公式可知： 联立得：则 ，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则 ， ， 则【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.今天错在哪里啦？_