专题03 整式及因式分解(精讲精练）（原卷版）.docx

1、第03讲 整式及因式分解（精讲）1. 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义2. 能分析具体问题中简单数量关系，并用代数式表示3. 会求代数式的值，根据特定问题找到所需要的公式，代入具体的值进行计算4. 理解整式的概念5. 掌握合并同类项的法则6. 掌握去括号的法则7. 会进行简单的整式加减运算8. 能进行简单的整式乘法运算9. 能进行简单的整式除法运算10. 能推导乘法公式，了解几何背景，并能进行简单的计算11. 会用提取公因式法、公式法进行因式分解简单； 易错； 中等； 难； 压轴考点1：代数式及其相关概念3考点2：整式的相关概念12考点3：整式的运算18考点4：幂的运算及整

2、式乘除27考点6：整式的化简求值44考点7：因式分解49课堂总结：思维导图58分层训练：课堂知识巩固59考点1：代数式及其相关概念（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值（3）书写要求：此题考查代数式的书写要求：1.在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；2.数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；3.在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写带分数要写成假分数的形式 【例题精析1】 代数式的书写下列代数式符合规范书写

3、要求的是ABCD【例题精析2】 代数式的意义代数式的正确解释是A与的倒数的差的立方B与的差的倒数的立方C的立方与的倒数的差D的立方与的差的倒数【例题精析3】 列代数式某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了，3月份比2月份增加了，则3月份的产值为A万元B万元C万元D万元【例题精析4】 代数式求值若当时，代数式的值为13；则当时，代数式的值为A0BC1D【例题精析5】 代数式-新定义大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大

4、数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是A9B10C11D12【对点精练1】 代数式的书写下列代数式书写规范的是ABCD【对点精练2】 代数式求值当时，代数式的值为4，则当时，的值是ABC4D6【对点精练3】 列代数式如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；当时，阴影和阴

5、影的面积和为定值A1个B2个C3个D4个【对点精练4】 列代数式做完了一天的功课，立新老师组织学生乘坐小船泛游包河公园，若租用10座的小船艘，则余下8人无座位；若租用16座的小船则可少租用1艘，且最后一艘小船还没坐满，则乘坐最后一艘16座小船的人数是ABCD【实战经典1】 （2021贺州）如，2，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）若集合，1，我们说已知集合，0，集合，若，则的值是AB0C1D2【实战经典2】 （2021自贡）已知，则代数式的值是A31BC41D【实战经典3】 （2019永州）某公司有如图所

6、示的甲、乙、丙、丁四个生产基地现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为A甲B乙C丙D丁【实战经典4】 （2020连云港）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是考点2：整式的相关概念（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做

7、多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 【例题精析1】 单项式的概念下列代数式，10，中，单项式有个A3B4C5D6【例题精析2】 单项式的概念下列说法中正确的是A不是单项式 B的系数是C的系数是，次数是4D的系数为0，次数为2【例题精析3】 单项式的概念的系数是 ，次数是 【例题精析4】 多项式的概念多项式是 次 项式，其中二次项是 【例题精析5】 整式的概念（2018荆州）下列代数式中，整式为ABCD【例题精析6】 同类项已知代数式与是同类项，那么，的值

8、分别为A，B，C，D，【对点精练1】 单项式的概念在代数式，0，中，单项式有A1个B2个C3个D4个【对点精练2】 单项式的概念（2021秋越秀区校级期中）下列说法正确的是A代数式是系数为的4次单项式B两个数的差一定小于被减数C一定是正数D两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数【对点精练3】 多项式的概念是 次 项式，常数项是 【对点精练4】 整式的概念在代数式：，中，整式有A4个B5个C6个D7个【对点精练5】 同类项下列各组是同类项的一组是A与B与C与D与【实战经典1】 （2019淄博）单项式的次数是 【实战经典2】 （2020绵阳）若多项式是关于，的三次多项式，则【实战经典3】

9、（2021青海）已知单项式与是同类项，则【实战经典4】 （2020黔西南州）若与的和为单项式，则 考点3：整式的运算（1）合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变（2）去括号法则: 若括号外是“”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“”，则括号里的各项都变号.（3）整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. 【例题精析1】 合并同类项多项式的值是A只与有关B只与有关C与，都有关D与，都无关【例题精析2】 合并同类项计算机的某种运算程序如图：已知输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7若输入的数是时输出的运算结果为，输入的数是时输出的运算结果为，

10、则ABCD【例题精析3】 整式加减-去括号下列计算正确的是A BCD【例题精析4】 整式的加减若，则整式的值为ABC9D0【例题精析5】 整式的加减已知代数式，（1）若的值与的取值无关，求的值；（2）若，求代数式的值【对点精练1】 合并同类项（2021秋天心区期中）下面运算一定正确的是ABCD【对点精练2】 合并同类项已知单项式与的和仍然是单项式，则式子的值为ABCD【对点精练3】 整式的加减如图，两个三角形的面积分别是9和7，对应阴影部分的面积分别是和，则等于A1B2C3D不能确定【对点精练4】 整式的加减将教材中“整式及整式加减”单元建立如图所示的知识结构图，图中和分别表示的是A单项式，因

11、式分解B单项式，合并同类项C多项式，因式分解D多项式，合并同类项【对点精练5】 整式的加减多项式的值与字母的取值无关，则的值是ABCD7【对点精练6】 整式的加减若多项式与多项式相加后，结果不含项，则常数的值是AB2C5D6【对点精练7】 整式的加减先化简，再求值：，其中，【对点精练8】 整式的加减已知，是关于的整式，其中，（1）若化简的结果是，求，的值（2）若的值与的取值无关，求的值【实战经典1】 （2021阿坝州）下列计算正确的是ABCD【实战经典2】 （2020牡丹江）若与的差仍是一个单项式，则【实战经典3】 （2021常州）计算：【实战经典4】 （2020长沙）某数学老师在课外活动中做

12、了一个有趣的游戏：首先发给、三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，同学拿出二张扑克牌给同学；第二步，同学拿出三张扑克牌给同学；第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学请你确定，最终同学手中剩余的扑克牌的张数为【实战经典5】 （2021嘉峪关）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为若是“相随数对”，则ABC2D3考点4：幂的运算及整式乘除幂的运算：(1)同底数幂的乘法：amanamn；(2)幂的乘方：(am)namn；(3)积的乘方：(ab)nanbn；(4)同底数幂的除法：am

13、anamn (a0)整式乘除：(1)单项式单项式：系数和同底数幂分别相乘；只有一个字母的照抄(2)单项式多项式： m(a+b)=ma+mb.(3)多项式多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式单项式：多项式的每一项除以单项式；商相加 【例题精析1】 幂的运算已知，则，的大小关系是ABCD【例题精析2】 幂的运算已知，为正整数，则的值为 【例题精析3】 幂的运算已知，则的值等于A108B36C31D27【例题精析4】 幂的运算如果，则等于A108B36CD【例题精析5】 幂的运算计算：【例题精析6】 幂的运算定义一种新运算

14、：，其中，例如，若，则的值为【例题精析7】 单项式乘多项式（2021奉化区）若中不含的一次项，则的值为【例题精析8】 多项式除法老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，所捂多项式是 【对点精练1】 幂的运算（2021德阳）下列运算正确的是A BC D【对点精练2】 幂的运算（2019潍坊）若，则【对点精练3】 （2021秋仓山区校级期末）计算【对点精练4】 （2021秋鼓楼区校级期末）已知，则的值为 【对点精练5】 （2021秋台儿庄区期中）已知，则【对点精练6】 （2021秋鼓楼区校级期末）已知，则【对点精练7】 （2021秋南安市期中）计算：【对点精练

15、8】 多项式乘多项式若展开后不含和项，则的值为 【对点精练9】 多项式乘多项式已知，则【实战经典1】 （2021攀枝花）计算的结果是ABCD【实战经典2】 （2021陕西）计算：ABCD【实战经典3】 （2021台湾）是的多少倍？A2B3C25D125【实战经典4】 （2021陕西）计算：ABCD【实战经典5】 （2019台湾）计算的结果，与下列哪一个式子相同？ABCD考点5：乘法公式及其几何意义平方差公式：(ab)(ab)a2b2.完全平方公式：(ab)2a22abb2. 完全平方公式的变式：a2+b2=(ab)22ab ab=(a+b)2（a2+b2）2 【例题精析1】 乘法公式-完全平方

16、已知，则的值为 【例题精析2】 乘法公式-完全平方已知，则【例题精析3】 乘法公式-完全平方已知，则【例题精析4】 乘法公式-完全平方已知满足，则的值是 【例题精析5】 乘法公式-完全平方小明将展开后得到；小红将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值是 【例题精析6】 乘法公式-完全平方若是一个完全平方式，则实数【例题精析7】 乘法公式-平方差计算：【例题精析8】 乘法公式-完全平方已知：，则的值为A7B8C9D12【例题精析9】 乘法公式-完全平方若，则的值为A9B7C11D6【例题精析10】 乘法公式-几何意义（2021春丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩

17、余部分沿虚线剪开，拼成新的图形现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 （请填上正确的序号）【对点精练1】 乘法公式-完全平方已知：、为常数），则常数的值为 【对点精练2】 乘法公式-完全平方已知，则【对点精练3】 乘法公式-完全平方如果是完全平方式，则的值是 【对点精练4】 乘法公式-完全平方已知满足，则的值是 【对点精练5】 乘法公式-完全平方若是完全平方式，则的值为 【对点精练6】 乘法公式若，比较，大小（用“”连接）【对点精练7】 乘法公式计算：【对点精练8】 乘法公式-完全平方（2021秋连江县期末）若，则【对点精练9】 乘法公式-几何意义如图，已知正方形与正方

18、形的边长分别为、，如果，则阴影部分的面积为 【对点精练10】 乘法公式-几何意义（2021春海陵区期末）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为【实战经典1】 （2021福建）下列运算正确的是ABCD【实战经典2】 （2021台州）已知，则A24B48C12D【实战经典3】 （2021奉化区）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为A3B3.5C4D4.5【实战经典4

19、】 （2021奉化区）若是完全平方式，则【实战经典5】 （2021扬州）计算：考点6：整式的化简求值注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算 【例题精析1】 整式乘除计算的结果是ABCD【例题精析2】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，【例题精析3】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，【对点精练1】 整式乘除下列计算正确的是ABCD【对点精练2】 整式的化简求值已知，则代数式的值为 【对点精练3】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中、满足【对点精练4】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，【对点精练5】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中

20、，【对点精练6】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，【实战经典1】 （2019玉林）下列运算正确的是ABCD【实战经典2】 （2021赤峰）下列计算正确的是A BCD【实战经典3】 （2020牡丹江）先化简，再选取一个你喜欢的数代替求值考点7：因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式(2)常用方法：提公因式法：mambmcm(abc).公式法：a2b2(ab)(ab)；a22abb2(ab)2.(3)一般步骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式法分解；检查各因式能否继续分解. 【例题精析1】 因式分解的定义下列各式中，正确的因式分解是ABC D【例题精析2】

21、 因式分解的运用（2021奉化区）已知为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为【例题精析3】 因式分解-公因式单项式与的公因式是 【例题精析4】 因式分解分解因式：【例题精析5】 因式分解分解因式：【例题精析6】 因式分解因式分解：【例题精析7】 因式分解-十字相乘法*分解因式：【对点精练1】 因式分解的定义下列各式从左到右的变形是因式分解的是ABCD【对点精练2】 因式分解的定义下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是ABCD【对点精练3】 因式分解-公因式多项式的公因式是ABCD【对点精练4】 因式分解-公因式多项式，的公因式是【对点精练5】 因式分解的运用若，则的值为 【对点精练6】

22、 因式分解分解因式：【对点精练7】 因式分解分解因式：【对点精练8】 因式分解-十字相乘法*因式分解：【实战经典1】 （2020河北）对于，从左到右的变形，表述正确的是A都是因式分解B都是乘法运算C是因式分解，是乘法运算D是乘法运算，是因式分解【实战经典2】 （2021奉化区）下列各式：； ； ；，可以用公式法分解因式的有A2个B3个C4个D5个【实战经典3】 （2021朝阳）因式分解： 【实战经典4】 （2021乐山）因式分解：【实战经典5】 （2021连云港）分解因式：【实战经典6】 （2021绥化）在实数范围内分解因式：【实战经典7】 （2021奉化区）已知，则课堂总结：思维导图分层训练

23、：课堂知识巩固1如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是ABCD2单项式的系数、次数分别是A2，5B，5C2，6D，63已知，则的值为A13B8CD54下列计算正确的是ABCD5下列计算正确的是ABCD6下列运算正确的是ABCD7下列运算正确的是ABCD8下列运算正确的是ABCD9若二次三项式是一个完全平方式，则的可能值是AB12C6D10对于任意实数和，如果满足那么我们称这一对数，为“友好数对”，记为若是“友好数对”，则ABCD11某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，

24、如图所示若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形的面积为A1BC2D12下列运算正确的是ABCD13计算的结果是ABCD14有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形和两个正方形，如图丙摆放，则阴影部分的面积为A28B29C30D3115墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是ABCD16下列说法正确的是A的系数是3B的次数是3C的系数是D的次数是217在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置（图，图中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影

25、表示，若图中阴影部分面积为，图中阴影部分的面积和为，则的值表示正确的是ABCD18如图（1），边长为的正方形剪去边长为的正方形得到、两部分，再把、两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论ABCD19已知三个实数，满足，则A，B，C，D20下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是ABCD21下列因式分解正确的是ABCD22已知，则的值为A16B12C10D无法确定23把分解因式，正确的是ABCD24如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为ABCD25计算：A100B150C10000D

26、2250026因式分解：27因式分解：1下列各组整式中，不是同类项的是A与B与C与D5和02下列运算正确的是ABCD3计算的结果是ABCD4下列运算正确的是ABCD5若整式是完全平方式，下列不满足要求的是ABCD6若，则的值为ABC3D7已知，则ABC2D38下列等式成立的是ABCD9下列正确的个数是；A1个B2个C3个D4个10已知，则的值为A1B9C3D11已知，则的值为A40B80C160D24012把分解因式正确的是ABCD13对于任意实数，恒成立，则下列关系式正确的是ABCD14若把多项式分解因式后含有因式，则的值为A2BC4D15因式分解：，其中，是常数，则ABC3D416下列因式

27、分解正确的是ABCD17若一个整数能表示成，是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”例如，因为，所以2是“和平数”已知是任意整数，是常数），若为“和平数”，则下列值中不符合要求的是A5B10C15D1718若，则的值为 19已知，同时满足与，则的值是 20计算的结果是 21若，则1若代数式的值是5，则代数式的值是A4B7C5D不能确定2当时，代数式的值是，则当时，该代数式的值为AB10C4D3如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，即8，16均为“和谐数”在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于A255054B255064C250554D25502

28、44今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是计算：；A0个B1个C2个D3个5计算：ABCD6下列正确的个数是；A1个B2个C3个D4个7从前，一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，相邻的另一边减少5米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会A没有变化B变大了C变小了D无法确定8若，则的值为ABC0D19下列四种说法中正确的有关于、的方程存在整数解若两个不等实数、满足，则、互为相反

29、数若，则若，则ABCD10已知，则的值为A1B9C3D11对于任意实数和，如果满足那么我们称这一对数，为“友好数对”，记为若是“友好数对”，则ABCD12已知实数，同时满足，则的值是A2或B2C或6D13在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数“好数”定义：对于三位自然数，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除；643不是“好数”，因为，10不能被3整除则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是A8B7C6D514若一个整数能表示成，是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”例如，因为，所以2是“和平数”已知是任意整数，是常数），若为“和平数”，则下列值中不符合要求的是A5B10C15D1715已知、均为实数，且满足，则的值为A5BC5或D3或 716若，则A12B11C10D917已知能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数的个数有A0B2C4D618计算：19分解因式：