专题03 整式及因式分解(精讲精练）（解析版）.docx

1、第03讲 整式及因式分解（精讲）1. 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义2. 能分析具体问题中简单数量关系，并用代数式表示3. 会求代数式的值，根据特定问题找到所需要的公式，代入具体的值进行计算4. 理解整式的概念5. 掌握合并同类项的法则6. 掌握去括号的法则7. 会进行简单的整式加减运算8. 能进行简单的整式乘法运算9. 能进行简单的整式除法运算10. 能推导乘法公式，了解几何背景，并能进行简单的计算11. 会用提取公因式法、公式法进行因式分解简单； 易错； 中等； 难； 压轴考点1：代数式及其相关概念3考点2：整式的相关概念12考点3：整式的运算18考点4：幂的运算及整

2、式乘除27考点6：整式的化简求值44考点7：因式分解49课堂总结：思维导图58分层训练：课堂知识巩固59考点1：代数式及其相关概念（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值（3）书写要求：此题考查代数式的书写要求：1.在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；2.数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；3.在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写带分数要写成假分数的形式 【例题精析1】 代数式的书写下列代数式符合规范书写

3、要求的是ABCD【分析】根据代数式的书写要求对各选项依次进行判断即可解答【解答】解：、中的带分数要写成假分数，故此选项不符合题意；、中的乘号应该省略不写，故此选项不符合题意；、中的3应写在字母的前面，故此选项不符合题意；、符合书写要求，故此选项符合题意故选：【点评】本题主要考查代数式的书写要求解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写带分数要写成假分数的形式【例题精析2】 代数式的意义代数式的正确解释是A与的倒数的差的立方B与的差的倒数的立方C的立

4、方与的倒数的差D的立方与的差的倒数【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果【解答】解：代数式的正确解释是：的立方与的倒数的差故选：【点评】本题主要考查了代数式，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序【例题精析3】 列代数式某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了，3月份比2月份增加了，则3月份的产值为A万元B万元C万元D万元【分析】根据3月份、2月份与1月份的产值的百分比的关系列式计算即可求解【解答】解：今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了，月份的产值为万元，月份比2月份增加了，月份

5、的产值为万元故选：【点评】本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键【例题精析4】 代数式求值若当时，代数式的值为13；则当时，代数式的值为A0BC1D【分析】把代入代数式得到，把代入代数式，把整体代入求值即可【解答】解：当时，当时，故选：【点评】本题考查了代数式求值，考查了整体思想，把整体代入求值是解题的关键【例题精析5】 代数式-新定义大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方

6、法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是A9B10C11D12【分析】依据题干给定的方法计算即可得出结论【解答】解：验算的步数如下：，由此可知验算的步数为：9故选：【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数学常识本题是阅读型题目，理解并熟练题干中的方法是解题的关键【对点精练1】 代数式的书写下列代数式书写规范的是ABCD【分析】本题根据代数式的书写规则，数字应在字母前面，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案【解答】解：、正确的书写形式为，故本选项不符

7、合题意；、正确书写形式为，故本选项不符合题意，、正确的书写形式为，故本选项不符合题意；、数字应写在前面，书写正确，故本选项符合题意故选：【点评】本题考查了代数式的书写解题的关键是掌握代数式：用运算符号（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式数的一切运算规律也适用于代数式单独的一个数或者一个字母也是代数式，注意代数式的书写格式【对点精练2】 代数式求值当时，代数式的值为4，则当时，的值是ABC4D6【分析】将代入代数式中，得到关于，的式子，再将代入代数式并整理，利用整体代入的方法解答即可得出结论【解答】解：当时，代数式的值为4，当时，故选：【点评】本题主要考查了

8、求代数式的值，将所求式子适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键【对点精练3】 列代数式如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；当时，阴影和阴影的面积和为定值A1个B2个C3个D4个【分析】利用图形求得阴影，的长与宽，利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论【解答】解：小长方形的较短的边长为，阴影的较长边为，较短边为；阴影的较长边为阴影的较长边与小长方形的较长边相等，小长方形的较长边为：小长方形的较短边为：

9、正确；阴影的较短边和阴影的较短边之和为：错误；阴影和阴影的周长和为：，若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值正确；阴影和阴影的面积和为：，当时，当时，阴影和阴影的面积和为定值正确综上，正确的结论有：，故选：【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，充分利用图形的特点求得阴影，的长与宽是解题的关键【对点精练4】 列代数式做完了一天的功课，立新老师组织学生乘坐小船泛游包河公园，若租用10座的小船艘，则余下8人无座位；若租用16座的小船则可少租用1艘，且最后一艘小船还没坐满，则乘坐最后一艘16座小船的人数是ABCD【分析】根据租用10座的小船艘，则余下8人无座位可得总人数，再利用租用16座的小船则

10、可少租用1艘，且最后一艘小船还没坐满可列所求代数式【解答】解：，即乘坐最后一艘16座小船的人数是故选：【点评】本题考查了列代数式理解题意，根据所给信息找到等量关系，列出正确的代数式是解题的关键【实战经典1】 （2021贺州）如，2，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）若集合，1，我们说已知集合，0，集合，若，则的值是AB0C1D2【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断【解答】解：，或，（舍去）或，故选：【点评】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出，的值【实战经典2】 （2

11、021自贡）已知，则代数式的值是A31BC41D【分析】由已知可得：，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论【解答】解：，原式故选：【点评】本题主要考查了求代数式的值利用整体代入的方法可使运算简便【实战经典3】 （2019永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为A甲B乙C丙D丁【分析】设甲基地的产量为吨，

12、则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，设千米，则、分别为千米、千米、千米、千米，设运输的运费每吨为元千米，设在甲处建总仓库，则运费最少为：；设在乙处建总仓库，则运费最少为：；设在丙处建总仓库，则运费最少为：；设在丁处建总仓库，则运费最少为：；进行比较运费最少的即可【解答】解：甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，各基地之间的距离之比，设千米，则、分别为千米、千米、千米、千米，设运输的运费每吨为元千米，设在甲处建总仓库，则运费最少为：；设在乙处建总仓库，则运费最少为：；设在丙处建总仓库，则运费最少为：；设在丁处建总仓库，则运费最少为：；

13、由以上可得建在甲处最合适，故选：【点评】本题考查了列代数式并比较大小；设出未知数，求出各个运费是解题的关键【实战经典4】 （2020连云港）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是【分析】把代入程序中计算，当其值小于0时将所得结果输出即可【解答】解：把代入程序中得：，把代入程序中得：，最后输出的结果是故答案为：【点评】本题借助程序框图考查了有理数的混合运算，读懂程序框图是解题的关键考点2：整式的相关概念（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多

14、项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 【例题精析1】 单项式的概念下列代数式，10，中，单项式有个A3B4C5D6【分析】根据单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式，可得答案【解答】解：下列代数式，10，中，单项式有，10，共有5个，故选：【点评】本题考查了单项式解题的关键是掌握单项式的定义，单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式【例题精析2】 单项式的概念下列说法中正确的是A不是单项式 B的系数是C的系数是，次数是4D的系数

15、为0，次数为2【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得到答案【解答】解：选项，是单项式，故该选项不符合题意；选项，的系数是，故该选项不符合题意；选项，的系数是，次数是4，故该选项符合题意；选项，的系数是1，次数是3，故该选项不符合题意；故选：【点评】本题考查了单项式的系数和次数的定义，解题的关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数【例题精析3】 单项式的概念的系数是 ，次数是 【分析】根据单项式的系数和次数的定义得出即可【解答】解：的系数是，次数是3，故答案为：，3【点评】本题考查了单项式的系数和次数的定义，能熟记单项式的系数和次数的定义是

16、解此题的关键，注意：单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数【例题精析4】 多项式的概念多项式是 三次 项式，其中二次项是 【分析】直接利用几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案【解答】解：多项式是三次四项式，其中二次项是：故答案为：三，四，【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的相关次数确定方法是解题关键【例题精析5】 整式的概念（2018荆州）下列代数式中，整式为ABCD【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案【解答】解：、是整式，故此选

17、项正确；、，是分式，故此选项错误；、是二次根式，故此选项错误；、，是分式，故此选项错误；故选：【点评】此题主要考查了整式、分式、二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键【例题精析6】 同类项已知代数式与是同类项，那么，的值分别为A，B，C，D，【分析】根据同类项的定义，可得，的值【解答】解：由题意，得，解得，故选：【点评】本题考查了同类项，能够正确利用同类项的定义得出、的值是解题的关键【对点精练1】 单项式的概念在代数式，0，中，单项式有A1个B2个C3个D4个【分析】根据单项式的定义即可得出答案【解答】解：单项式有：，0，共3个，不是整式，和是多项式，故选：【点评】本题考查了单项式的定义，

18、解题的关键是掌握数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，注意分母中不能有未知数【对点精练2】 单项式的概念（2021秋越秀区校级期中）下列说法正确的是A代数式是系数为的4次单项式B两个数的差一定小于被减数C一定是正数D两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数【分析】根据单项式的定义判断，根据有理数的减法运算法则通过举反例判断，利用绝对值的意义判断，利用有理数的加法运算法则判断【解答】解：、代数式是系数为的4次单项式，原说法错误，故此选项不符合题意；、比如，与的差为1，大于被减数，原说法错误，故此选项不符合题意；、，原说法错误，故此选项不符合题意；、两个数的和为正数

19、，那么这两个数中至少有一个正数，原说法正确，故此选项符合题意；故选：【点评】本题考查有理数加减法运算法则，绝对值的意义及单项式的定义，掌握有理数的加减法运算法则是解题的关键【对点精练3】 多项式的概念是 五次 项式，常数项是 【分析】直接利用几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案【解答】解：多项式的次数是：的次数，故是五次四项式，常数项是：故答案为：五，四，【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的相关次数确定方法是解题关键【对点精练4】 整式的概念在代数式：，中，整式有A4个B5个C6个D7个

20、【分析】根据整式的定义，可得答案【解答】解：，是整式，故选：【点评】本题考查了整式，单项式和多项式统称作整式【对点精练5】 同类项下列各组是同类项的一组是A与B与C与D与【分析】根据同类项是字母相同，且相同的字母的指数也相同解答即可【解答】解：字母相同，但相同的字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；所含字母不尽相同，不是同类项，故此选项不符合题；字母相同，且相同的字母的指数也相同，故此选项符合题意；字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意；故选：【点评】本题考查了同类项，关键是根据同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同解答【实战经典1】 （2019淄博）单项式的次数是 5【

21、分析】根据单项式的次数的定义解答【解答】解：单项式的次数是故答案为5【点评】本题考查了单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数【实战经典2】 （2020绵阳）若多项式是关于，的三次多项式，则0或8【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案【解答】解：多项式是关于，的三次多项式，或，或，或8故答案为：0或8【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键【实战经典3】 （2021青海）已知单项式与是同类项，则3【分析】根据同类项的定义，列出关于，的方程组，解出，再求和即可【解答】解：根据同类项的定义得：，故答案为：3【点评】本题考查了同类项的定义，

22、掌握同类项的定义是解题的关键，即：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项【实战经典4】 （2020黔西南州）若与的和为单项式，则8【分析】直接利用合并同类项法则进而得出，的值，即可得出答案【解答】解：与的和为单项式，与是同类项，故答案为：8【点评】此题主要考查了同类项，正确得出，的值是解题关键考点3：整式的运算（1）合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变（2）去括号法则: 若括号外是“”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“”，则括号里的各项都变号.（3）整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. 【例题精析1】 合并同类项多项式的值是

23、A只与有关B只与有关C与，都有关D与，都无关【分析】先合并同类项，结果为0，因此多项式的值与，都无关【解答】解：，多项式的值与，都无关；故选：【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则，会辨别同类项是解题关键【例题精析2】 合并同类项计算机的某种运算程序如图：已知输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7若输入的数是时输出的运算结果为，输入的数是时输出的运算结果为，则ABCD【分析】由运算程序可得，求出、的值，再表示出、，从而得出关系【解答】解：输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7，故选：【点评】本题考查合并同类项，代数式求值，根据运算程序写成代数式是解决

24、问题的关键【例题精析3】 整式加减-去括号下列计算正确的是A BCD【分析】本题主要考查去括号，去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反【解答】解：、，符合题意；、，不符合题意；、，不符合题意；、，不符合题意故选：【点评】本题考查去括号，掌握去括号法则是做题的关键【例题精析4】 整式的加减若，则整式的值为ABC9D0【分析】根据题意可求出的值，然后代入原式即可求出答案【解答】解：，原式，故选：【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是正确求出的值，本题属于基础题型【例题精析5】 整式的加减已

25、知代数式，（1）若的值与的取值无关，求的值；（2）若，求代数式的值【分析】（1）将进行化简，然后令含有的项的系数之和为零，即可求出的值（2）将原式进行化简，然后根据题意可求出与的值，最好代入化简后的式子即可求出答案【解答】解：（1），由题意可知：，（2），由题意可知：，原式【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型【对点精练1】 合并同类项（2021秋天心区期中）下面运算一定正确的是ABCD【分析】根据同类项定义和合并同类项法则逐个判断即可【解答】解：，故本选项符合题意；和不能合并，故本选项不符合题意；和不能合并，故本选项不符合题意；，故本选项不符

26、合题意；故选：【点评】本题考查了同类项定义和合并同类项法则，能熟记合并同类项法则是解此题的关键【对点精练2】 合并同类项已知单项式与的和仍然是单项式，则式子的值为ABCD【分析】根据合并同类项法则得出，求出、的值，再代入求出答案即可【解答】解：根据题意，得，解得，所以故选：【点评】本题考查了合并同类项法则和求代数式的值，能根据合并同类项法则得出，是解此题的关键【对点精练3】 整式的加减如图，两个三角形的面积分别是9和7，对应阴影部分的面积分别是和，则等于A1B2C3D不能确定【分析】根据图形，可以写出两个三角形的面积，然后作差即可得到的值【解答】解：设两个三角形重叠部分的面积为，则，故选：【点

27、评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是可以表示出两个三角形的面积【对点精练4】 整式的加减将教材中“整式及整式加减”单元建立如图所示的知识结构图，图中和分别表示的是A单项式，因式分解B单项式，合并同类项C多项式，因式分解D多项式，合并同类项【分析】根据整式的定义和整式加减运算的实质求解即可【解答】解：由知识结构图纸，数量关系分为单项式和多项式，整式的加减运算包括去括号与合并同类项，故选：【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项一般步骤是：先去括号，然后合并同类项【对点精练5】 整式的加减多项式的值与字母的取值无关，则的值是ABCD7【分析】去括号、合并同类项，令

28、含的项的系数为0，即可解出、的值，再代入所求式子运算即可【解答】解：，多项式的值与字母的取值无关，解得：，故选：【点评】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是掌握去括号、合并同类项的法则【对点精练6】 整式的加减若多项式与多项式相加后，结果不含项，则常数的值是AB2C5D6【分析】先将两式相加，合并同类项，再令项的系数为0，即可解除【解答】解：，而与多项式相加后，结果不含项，故选：【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握不含项，则的系数为0【对点精练7】 整式的加减先化简，再求值：，其中，【分析】利用去括号、合并同类项法则将原式化简后再代入计算即可【解答】解：原式，当，时，原式【点评

29、】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确解答的前提【对点精练8】 整式的加减已知，是关于的整式，其中，（1）若化简的结果是，求，的值（2）若的值与的取值无关，求的值【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求出、的值（2）令中含的项的系数之和为零即可求出、的值【解答】解：（1），由题意可知：，（2），令，【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型【实战经典1】 （2021阿坝州）下列计算正确的是ABCD【分析】选项根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项根据幂的乘方运算法

30、则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减【解答】解：与不是同类项，不能合并，故选项不合题意；，故选项不合题意；，故选项符合题意；，故选项不合题意故选：【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键【实战经典2】 （2020牡丹江）若与的差仍是一个单项式，则3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组，即可求得，的值，相加即可【解答】解：根据题意得：，解得

31、：，故答案为：3【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键【实战经典3】 （2021常州）计算：【分析】整式的加减混合运算，先去括号，然后合并同类项进行化简【解答】解：原式，故答案为：【点评】本题考查整式的加减运算，掌握去括号法则是解题基础【实战经典4】 （2020长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给、三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，同学拿出二张扑克牌给同学；第二步，同学拿出三张扑克牌给同学；第三步，同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学请你确定，最终同学手中剩余的扑

32、克牌的张数为7【分析】本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌张，解答时依题意列出算式，求出答案【解答】解：设每人有牌张，同学从同学处拿来二张扑克牌，又从同学处拿来三张扑克牌后，则同学有张牌，同学有张牌，那么给同学后同学手中剩余的扑克牌的张数为：故答案为：7【点评】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型根据运算提示，找出相应的等量关系【实战经典5】 （2021嘉峪关）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为若是“相随数对”，则ABC2D3【分析】根据是“相随数对”得出，再将原式化成，最后整体代入求值即可【解答】解：是“相

33、随数对”，即，故选：【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键考点4：幂的运算及整式乘除幂的运算：(1)同底数幂的乘法：amanamn；(2)幂的乘方：(am)namn；(3)积的乘方：(ab)nanbn；(4)同底数幂的除法：amanamn (a0)整式乘除：(1)单项式单项式：系数和同底数幂分别相乘；只有一个字母的照抄(2)单项式多项式： m(a+b)=ma+mb.(3)多项式多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式单项式：多项式的每一项除以单项式；商相加 【例题精析1】 幂的运算已知，则，的

34、大小关系是ABCD【分析】根据幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系解决此题【解答】解：，又，故选：【点评】本题主要考查幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系是解决本题的关键【例题精析2】 幂的运算已知，为正整数，则的值为 15【分析】将转化为的形式，然后代入求值即可【解答】解：，为正整数，故答案为：15【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键【例题精析3】 幂的运算已知，则的值等于A108B36C31D27【分析】利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的计算法则进行计算即可【解答】解：，故选：【点评】此题主要考查了幂的

35、乘方和同底数幂的乘法，关键是熟练掌握计算法则【例题精析4】 幂的运算如果，则等于A108B36CD【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则解答即可【解答】解：，故选：【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键【例题精析5】 幂的运算计算：【分析】根据单项式乘单项式乘法法则、积的乘方与幂的乘方解决此题【解答】解：故答案为：【点评】本题主要考查单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握单项式乘单项式乘法法则、积的乘方与幂的乘方是解决本题的关键【例题精析6】 幂的运算定义一种新运算：，其中，例如，若，则的值为4【分析】依据新定义的运算规则得到，求

36、解即可，但要注意及要大于0【解答】解：依题意，解得：，又解得【点评】本题考查定义新运算，涵盖一元二次方程及不等式组，本质是对计算能力的考查【例题精析7】 单项式乘多项式（2021奉化区）若中不含的一次项，则的值为【分析】首先利用多项式乘法法则计算出，再根据积不含的一次项，可得含的一次项的系数等于零，即可求出的值【解答】解：，不含的一次项，解得：故答案为【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0【例题精析8】 多项式除法老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，所捂多项式是 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算，得

37、到答案【解答】解：，所捂多项式是，故答案为：【点评】本题考查的是单项式乘多项式以及多项式除以单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键【对点精练1】 幂的运算（2021德阳）下列运算正确的是A BC D【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可【解答】解：、与不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；、，故错误，不符合题意；、，故错误，不符合题意；、，故正确，符合题意；故选：【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键【对点精练2】 幂的运算（2019潍坊）若，则15【分析】由，根据同底数幂的乘法可得，继而可求得答案【解答

38、】解：，故答案为：15【点评】此题考查了同底数幂的乘法此题比较简单，注意掌握公式的逆运算【对点精练3】 （2021秋仓山区校级期末）计算0.125【分析】利用积的乘方的运算法则对式子进行运算即可【解答】解：故答案为：0.125【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用【对点精练4】 （2021秋鼓楼区校级期末）已知，则的值为 45【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可【解答】解：，故答案为：45【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握【对点精练5】 （2021秋台儿庄区期中

39、）已知，则【分析】由，易得，利用积的乘方的法则对所求的式子进行整理即可【解答】解：，故答案为：【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用【对点精练6】 （2021秋鼓楼区校级期末）已知，则【分析】逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则计算即可【解答】解：故答案为：【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法、幂的乘方，逆用公式是解题的关键【对点精练7】 （2021秋南安市期中）计算：【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加【解答】解：故答案为：【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题

40、：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号【对点精练8】 多项式乘多项式若展开后不含和项，则的值为 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于、的方程，求出、即可【解答】解：，的展开式中不含项和项，解得：，故答案为：7【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，能够正确得出关于、的方程是解题的关键【对点精练9】 多项式乘多项式已知，则【分析】首先把等式化为形式，再根据等式的对等性，求出、，带入式子计算即可【解答】解：，；故答案为：【点评】本题考查了多项式与多项式相乘，掌握多项式与多项式相乘的运算法则，等式

41、的对等性的运用是解题关键【实战经典1】 （2021攀枝花）计算的结果是ABCD【分析】根据幂的乘方解决此题【解答】解：根据幂的乘方，故选：【点评】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解决本题的关键【实战经典2】 （2021陕西）计算：ABCD【分析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：故选：【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键【实战经典3】 （2021台湾）是的多少倍？A2B3C25D125【分析】根据同底数幂的除法计算即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查同底数幂的除法法则，掌握除法法则是解题的关键【实战经典4】 （

42、2021陕西）计算：ABCD【分析】先算乘方，再利用乘法的交换律，把底数相同的相乘【解答】解：原式故选：【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握同底数幂的乘法法则、负整数指数幂的意义是解决本题的关键【实战经典5】 （2019台湾）计算的结果，与下列哪一个式子相同？ABCD【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积【解答】解：由多项式乘法运算法则得故选：【点评】本题考查多项式乘法运算法则，牢记法则，不要漏项是解答本题的关键考点5：乘法公式及其几何意义平方差公式：(ab)(ab)a2b2.完全平方公式

43、：(ab)2a22abb2. 完全平方公式的变式：a2+b2=(ab)22ab ab=(a+b)2（a2+b2）2 【例题精析1】 乘法公式-完全平方已知，则的值为 【分析】首先根据完全平方公式将用与的代数式表示，然后把，的值整体代入求值【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是要熟练掌握完全平方公式的变形，做到灵活运用【例题精析2】 乘法公式-完全平方已知，则或12【分析】根据完全平方公式解答即可【解答】解：因为，所以，所以，所以或12故答案为：或12【点评】本题考查了完全平方公式的运用，能熟练地运用公式进行计算是解此题的关键完全平方公式：【例题精析3】 乘法公式-

44、完全平方已知，则13【分析】根据完全平方公式进行计算即可【解答】解：，故答案为：13【点评】此题主要考查了完全平方公式，关键是掌握：【例题精析4】 乘法公式-完全平方已知满足，则的值是 3【分析】设，然后根据完全平方公式即可求出答案【解答】解：设，即，故答案为：3【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于中等题型【例题精析5】 乘法公式-完全平方小明将展开后得到；小红将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值是 4041【分析】根据得到，同理可得，所以，进而得出结论【解答】解：，故答案为：4041【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉公式的结构特点是解题的

45、关键【例题精析6】 乘法公式-完全平方若是一个完全平方式，则实数3或【分析】根据完全平方式得出，再求出即可【解答】解：是一个完全平方式，解得：，解得：或，故答案为：3或【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有两个和【例题精析7】 乘法公式-平方差计算：【分析】根据平方差公式解决此题【解答】解：故答案为：【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键【例题精析8】 乘法公式-完全平方已知：，则的值为A7B8C9D12【分析】根据完全平方公式，即可求出答案【解答】解：设，原式，故选：【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平

46、方公式，本题属于基础题型【例题精析9】 乘法公式-完全平方若，则的值为A9B7C11D6【分析】本题需先对要求的式子进行整理，再把代入，即可求出答案【解答】解：，把代入上式得：原式；故选：【点评】本题主要考查了完全平方式，在解题时要注意知识的综合应用是本题的关键【例题精析10】 乘法公式-几何意义（2021春丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 （请填上正确的序号）【分析】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案【解答】解：在图中，左边的图形

47、阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式；在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得：，可以验证平方差公式；在图中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得：，不可以验证平方差公式故答案为：【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提【对点精练1】 乘法公式-完全平方已知：、为常数），则常数的值为 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值【解答】解：、为常数），故答案为：【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键【对点精练2】 乘法公式-完全平方

48、已知，则7【分析】由，得由，得，那么，从而解决此题【解答】解：，故答案为：7【点评】本题主要考查完全平方公式以及整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式以及整式的加减运算法则是解决本题的关键【对点精练3】 乘法公式-完全平方如果是完全平方式，则的值是 【分析】根据完全平方式的结构特征解决此题【解答】解：是完全平方式，故答案为：【点评】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键【对点精练4】 乘法公式-完全平方已知满足，则的值是 4【分析】设，利用换元法求值即可【解答】解：，设，则，故答案为：4【点评】本题考查了完全平方公式，考查了整体思想，设，利用换元法求值是解题的关键【

49、对点精练5】 乘法公式-完全平方若是完全平方式，则的值为 7或【分析】根据完全平方公式即可求出答案【解答】解：，或故答案为：7或【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型【对点精练6】 乘法公式若，比较，大小（用“”连接）【分析】分别计算、的值，再比较即可【解答】解：，；，故答案为：【点评】本题考查有理数的运算，能熟练的进行有理数运算是解题关键【对点精练7】 乘法公式计算：1【分析】先根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可解得答案【解答】解：【点评】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解的简便计算，解答此类问题的关键是熟知公式和分析题目的形式，有

50、效地进行整式变形【对点精练8】 乘法公式-完全平方（2021秋连江县期末）若，则7【分析】根据完全平方公式，即可解答【解答】解：，故答案为：7【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式【对点精练9】 乘法公式-几何意义如图，已知正方形与正方形的边长分别为、，如果，则阴影部分的面积为 38【分析】用两个正方形的面积之和减去两个空白部分三角形的面积即可【解答】解：由题意得，当，时，该阴影部分的面积为：，故答案为：38【点评】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式，并能借助完全平方公式进行计算【对点精练10】 乘法公式-几何意义（2021春海陵区

51、期末）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为【分析】根据平方差公式进行计算即可【解答】解：拼成的长方形的面积为，故答案为：【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提【实战经典1】 （2021福建）下列运算正确的是ABCD【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可【解答】解：，故本选项不合题意；，故本选项不合题意；，故本选项不合题意；，故本选项符合题意；故选：【点评】本题考查了

52、合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键【实战经典2】 （2021台州）已知，则A24B48C12D【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出的值，然后再除以2即可求出答案【解答】解：，将，代入，可得，则，所以，故选：【点评】本题考查完全平方公式的应用，根据题中条件，变换形式即可【实战经典3】 （2021奉化区）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为A3B3.5C4D4.5【分析】设正方形、的边长，分别表示甲、乙图中的阴影面积，再变形可得答案；【

53、解答】解：设的边长为，的边长为，由甲、乙阴影面积分别是、可列方程组，将化简得，由得，将代入可知故选：【点评】本题考查完全平方公式，表达出阴影面积再变形即可得到答案【实战经典4】 （2021奉化区）若是完全平方式，则【分析】根据完全平方式得出，求出即可【解答】解：是完全平方式，解得：，故答案为：【点评】本题考查了完全平方式，能理解完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和【实战经典5】 （2021扬州）计算：4041【分析】利用平方差公式进行简便运算即可【解答】解：故答案为：4041【点评】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序考点6：整式的化简求值注意计算顺序，应先算乘

54、除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算 【例题精析1】 整式乘除计算的结果是ABCD【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案【解答】解：原式故选：【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键【例题精析2】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可【解答】解：原式，当，时，原式【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序【例题精析3】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，【分

55、析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可【解答】解：，当，时，原式【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序【对点精练1】 整式乘除下列计算正确的是ABCD【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘多项式、多项式乘多项式分别计算，进而得出答案【解答】解：，故此选项不合题意；，故此选项不合题意；，故此选项不合题意；，故此选项符合题意故选：【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的乘法运算以及运用完全平方公式是解题关键【对点精练2】 整式的化简求值已知，则代数式的值为 5【分析】利用整式的乘法法

56、则对式子进行化简，然后把已知条件整理得，整体代入所化简的式子运算即可【解答】解：，原式故答案为：5【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是由已知条件得出，把看作一个整体【对点精练3】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中、满足【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，算除法，根据二次根式有意义的条件求出的值，再求出的值，最后代入求出答案即可【解答】解：，、满足，解得：，当，时，原式【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序【对点精练4】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，

57、【分析】先利用乘法公式计算括号里面的乘方，乘法，然后将括号内的式子进行去括号，合并同类项化简，再用多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值【解答】解：原式，当，时，原式【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式的结构是解题关键【对点精练5】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可【解答】解：，当，时，原式【点评】本题考查了整式的化简求值和分母有理化，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键【对点精练6】 整式的化简求值先化简，再求值：，其中，【分析】直接利用乘法公式

58、化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案【解答】解：原式，当，时，原式【点评】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键【实战经典1】 （2019玉林）下列运算正确的是ABCD【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的乘除运算法则分别化简得出答案【解答】解：、，故此选项错误；、，无法计算，故此选项错误；、，故此选项错误；、，正确故选：【点评】此题主要考查了合并同类项以及整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键【实战经典2】 （2021赤峰）下列计算正确的是A BCD【分析】直接利用去括号法则化简判断即可；直接利用合并同类项法则计算得出答案；直接利用完全平方公式计

59、算得出答案；直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式计算得出答案【解答】解：，故此选项不合题意；，故此选项符合题意；，故此选项不合题意；，故此选项不合题意；故选：【点评】此题主要考查了去括号、合并同类项、单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键【实战经典3】 （2020牡丹江）先化简，再选取一个你喜欢的数代替求值【分析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则化简，再代入数据计算求解【解答】解：，任选一数，代入求值即可比如，原式【点评】本题考查了整式的混合运算特别注意运算顺序以及符号的处理考点7：因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积

60、的形式(2)常用方法：提公因式法：mambmcm(abc).公式法：a2b2(ab)(ab)；a22abb2(ab)2.(3)一般步骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式法分解；检查各因式能否继续分解. 【例题精析1】 因式分解的定义下列各式中，正确的因式分解是ABC D【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案【解答】解：，故此选项不合题意；，故此选项符合题意；，故此选项不合题意；，故此选项不合题意；故选：【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键【例题精析2】 因式分解的运用（2021奉化区）已知为自然数，且与都

61、是一个自然数的平方，则的值为1753【分析】设，由平方差公式分解因式，结合为自然数，可得与的值，解方程组可得与的值，从而由可解得的值【解答】解：为自然数，且与都是一个自然数的平方，设，解得：，故答案为：1753【点评】本题考查了因式分解在实数求值中的应用，熟练掌握平方差公式及解二元一次方程组等知识点是解题的关键【例题精析3】 因式分解-公因式单项式与的公因式是 【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可【解答】解：单项式与的公因式是故答案为：【点评】本题主要考查对因式分解提公因式的理解和掌握，能正确地找出多项式的公因式是解此题的关键【例题精析4】 因式分解分解因

62、式：【分析】将变形为，提取公因式即可【解答】解：原式，故答案为：【点评】本题考查了提取公因式，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，这是解题的关键【例题精析5】 因式分解分解因式：【分析】先提公因式，再应用完全平方公式【解答】解：原式故答案为：【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键【例题精析6】 因式分解因式分解：【分析】先给后三项加上一个负括号，利用完全平方公式，再利用平方差公式分解【解答】解：故答案为：【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法并合理分

63、组是解决本题的关键【例题精析7】 因式分解-十字相乘法*分解因式：【分析】由十字相乘法进行分解因式即可【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键【对点精练1】 因式分解的定义下列各式从左到右的变形是因式分解的是ABCD【分析】根据因式分解的意义，可得答案【解答】解：、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；、是整式的乘法，故此选项不符合题意；、是整式的乘法，故此选项不符合题意；、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；故选：【点评】本题考查了因式分解的意义，能够正确利用因式分解的定义是解题关键分解因式的定义：把一个多

64、项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式【对点精练2】 因式分解的定义下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是ABCD【分析】根据因式分解的定义即可求出答案，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式【解答】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；故选：【点评】本题考查因式分解的定义，解

65、题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型【对点精练3】 因式分解-公因式多项式的公因式是ABCD【分析】根据公因式的概念即可得出答案【解答】解：多项式的公因式是，故选：【点评】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂【对点精练4】 因式分解-公因式多项式，的公因式是【分析】利用平方差公式和完全平方公式分解因式，然后再确定公因式即可【解答】解：，所以多项式，的公因式是【点评】本题主要考查公因式的确定，利用公式法分解因

66、式是解本题的关键【对点精练5】 因式分解的运用若，则的值为 2【分析】对所求式子进行因式分解，再整体代入计算可得答案【解答】解：，故答案为：2【点评】此题考查的是完全平方公式，正确进行因式分解是解决此题关键【对点精练6】 因式分解分解因式：【分析】先提公因式，再利用完全平方公式即可进行因式分解【解答】解：原式，故答案为：【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提【对点精练7】 因式分解分解因式：【分析】先分组，然后直接利用平方差公式和提取公因式法分解因式得出答案；【解答】解：故答案为【点评】此题主要考查了提取公因式法以及分组法分解因式，正确运用分组是

67、解题关键【对点精练8】 因式分解-十字相乘法*因式分解：【分析】利用十字相乘法分解因式【解答】解：原式故答案为【点评】本题考查了因式分解十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法【实战经典1】 （2020河北）对于，从左到右的变形，表述正确的是A都是因式分解B都是乘法运算C是因式分解，是乘法运算D是乘法运算，是因式分解【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可【解答】解：，从左到右的变形是因式分解；，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以是因式分解，是乘法运算故选：【点评】此题考

68、查了因式分解解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解【实战经典2】 （2021奉化区）下列各式：； ； ；，可以用公式法分解因式的有A2个B3个C4个D5个【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可【解答】解：，因此不能用公式法分解因式；，因此能用公式法分解因式；不符合完全平方公式的结果特征，因此不能用公式法分解因式；，因此能用公式法分解因式；，因此能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有，故选：【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提【实战经典3

69、】 （2021朝阳）因式分解：【分析】直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案【解答】解：原式故答案为：【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键【实战经典4】 （2021乐山）因式分解：【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可【解答】解：故答案为：【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键【实战经典5】 （2021连云港）分解因式：【分析】原式利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式，故答案为：【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键【实战经典6】 （2021绥化）在实数范围内

70、分解因式：【分析】解决此题，要先找到公因式，提取公因式之后变为，运用平方差公式将2看成是【解答】解：，（提取公因式）（平方差公式）【点评】本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解【实战经典7】 （2021奉化区）已知，则【分析】根据题意得，然后利用完全平方公式将所求式子变形，即可求解【解答】解：，【点评】本题考查完全平方公式综合应用以及技巧运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是ABCD【分析】左边大正方形的边长为，面积为，由

71、边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案【解答】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，所以故选：【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键2单项式的系数、次数分别是A2，5B，5C2，6D，6【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案【解答】解：单项式的系数是，次数是，故选：【点评】本题考查了单项式，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键3已知，则的值为A13

72、B8CD5【分析】先根据平方差公式进行计算，求出，再变形，最后代入求出答案即可【解答】解：，所以，故选：【点评】本题考查了平方差公式和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键4下列计算正确的是ABCD【分析】各式计算得到结果，即可作出判断【解答】解：、原式，符合题意；、原式，不符合题意；、原式，不符合题意；、原式不能合并，不符合题意故选：【点评】此题考查了整式的加减，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键5下列计算正确的是ABCD【分析】按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别【解答】解：和不是同类项，不能合并同类项，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项符合题意；，选项不符合题意，故选

73、：【点评】此题考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则6下列运算正确的是ABCD【分析】、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；、根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可；、根据同底数幂的乘法运算法则计算判断即可；、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可【解答】解：、原式，符合题意；、原式，不合题意；、原式，不合题意；、原式，不合题意；故选：【点评】此题考查的是同底数幂的乘除法运算，幂的乘方的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键7下列运算正确的是ABCD【分析】利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案【解答】解：，选项符合

74、题意；，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项不符合题意；故选：【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则是解决问题的关键8下列运算正确的是ABCD【分析】根据合并同类项运算法则判断，根据完全平方公式判断，根据平方差公式判断，根据幂的乘方运算法则判断【解答】解：、原式，故此选项不符合题意；、原式，故此选项不符合题意；、原式，故此选项符合题意；、原式，故此选项不符合题意；故选：【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方运算法则，完全平方公式和平方差公式是解题关键9若二次三项式是一个完全平方式，则的可能值是A

75、B12C6D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值【解答】解：关于的二次三项式是一个完全平方式，故选：【点评】此题考查了完全平方式，满足完全平方式的情况只有和两种10对于任意实数和，如果满足那么我们称这一对数，为“友好数对”，记为若是“友好数对”，则ABCD【分析】根据是“友好数对”得出，再将原式化成，最后整体代入求值即可【解答】解：是“友好数对”，原式，故选：【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键11某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示若四

76、个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形的面积为A1BC2D【分析】设，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可【解答】解：设，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12可得，即，由得，得，所以，即长方形的面积为，故选：【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提12下列运算正确的是ABCD【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式，去括号法则解答即可【解答】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；、，原计算错误，故此选项不符合题意；、，原计算错误，故此选项不符合题意；、，原计算错误，故此选项

77、不符合题意故选：【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，去括号法则解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式，去括号法则，注意完全平方公式的结构特点13计算的结果是ABCD【分析】根据积的乘方法则计算即可【解答】解：原式，故选：【点评】本题考查积的乘方、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键14有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形和两个正方形，如图丙摆放，则阴影部分的面积为A28B29C30D31【分析】设正方形，的边长各为、，得图甲中阴影部分

78、的面积为，可解得，图乙中阴影部分的面积为，可得，可得，所以图丙中阴影部分的面积为，代入就可计算出结果【解答】解：设正方形，的边长各为、，得图甲中阴影部分的面积为，解得或（舍去），图乙中阴影部分的面积为，可得，解得或（舍去），图丙中阴影部分的面积为，故选：【点评】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式15墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是ABCD【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案【解答】解：，覆盖的是：故选：【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题关键16下列说法

79、正确的是A的系数是3B的次数是3C的系数是D的次数是2【分析】根据单项式的系数和指数的定义解答即可【解答】解：系数应该是，不符合题意；是数字，次数应该是2，不符合题意；正确，符合题意；次数应该是3，不符合题意故选：【点评】本题考查了单项式的系数和指数的定义，注意是数字17在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置（图，图中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图中阴影部分面积为，图中阴影部分的面积和为，则的值表示正确的是ABCD【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差【解答】解：，故选：【点评】本题考查了

80、整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来也考查了正方形的性质18如图（1），边长为的正方形剪去边长为的正方形得到、两部分，再把、两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论ABCD【分析】分别表示图（1）和图（2）的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论【解答】解：图（1）中，、两部分的面积和为：，图（2）中，、两部分拼成长为，宽为的矩形面积为：，因此有，故选：【点评】考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积是得出答案的关键19已知三个

81、实数，满足，则A，B，C，D【分析】根据题中等式与不等式，相减相乘确定出所求即可【解答】解：，得，得，整理，得，又，故选：【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键20下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是ABCD【分析】根据因式分解的定义判断即可【解答】解：选项不是因式分解，故不符合题意；选项计算错误，故不符合题意；选项是因式分解，故符合题意；选项不是因式分解，故不符合题意；故选：【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键21下列因式分解正确的是ABCD【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可【解答】解：选

82、项，故该选项不符合题意；选项，故该选项符合题意；选项，故该选项不符合题意；选项，与没有公因式，故该选项不符合题意；故选：【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握是解题的关键22已知，则的值为A16B12C10D无法确定【分析】将与相减可得，根据，可得，即，再将变形为，整体代入即可求解【解答】解：将与相减得，即，故选：【点评】考查了因式分解的应用，关键是得到，以及整体思想的应用23把分解因式，正确的是ABCD【分析】直接提取公因式，进而分解因式即可【解答】解：故选：【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键24如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可

83、剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为ABCD【分析】首先求出大正方形面积，进而利用图形总面积不变得出等式求出答案【解答】解：，拼成的长方形一边长为，故另一边长为：故选：【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确利用图形面积关系是解题关键25计算：A100B150C10000D22500【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而计算得出即可【解答】解：故选：【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键26因式分解：【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式故答案为：【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题

84、的关键27因式分解：【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解【解答】解：故答案为：【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解1下列各组整式中，不是同类项的是A与B与C与D5和0【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，判断即可【解答】解：、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不符合题意；、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不符合题意；、与所含字母相同，但相同字

85、母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合题意；、5和0都是常数项，所有常数项都是同类项，故本选项不符合题意；故选：【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键2下列运算正确的是ABCD【分析】根据幂的乘方与积的乘方，整式的加减，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故选：【点评】本题考查了整式的加减，幂的乘方与积的乘方，整式的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键3计算的结果是ABCD【分析】先进行积和幂的乘方运算，再进行幂的乘法运算即可【解答】解：故选：【点评】本题考查了幂的乘方运算、

86、幂的乘法运算、合并同类项，关键要掌握幂的乘方运算、幂的乘法运算、合并同类项运算法则4下列运算正确的是ABCD【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的除法法则、积的乘方的运算法则即可求出答案【解答】解：、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；、原式，原计算正确，故此选项符合题意；、原式，原计算错误，故此选项不符合题意故选：【点评】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练运用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的除法法则、积的乘方的运算法则5若整式是完全平方式，下列不满足要求的是ABCD【分析】是平方项时，可判断、，是乘积二倍项时可判断，用排除法

87、，即可得到答案【解答】解：当是平方项时，则可添加的项是或或，当是乘积二倍项时，则可添加的项是故选：【点评】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意6若，则的值为ABC3D【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入进行计算即可解答【解答】解：，故选：【点评】本题考查了整式的加减化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键7已知，则ABC2D3【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答【解答】解：，故选：【

88、点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则是解题的关键8下列等式成立的是ABCD【分析】根据完全平方公式解答即可【解答】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；、，原计算错误，故此选项不符合题意；、，原计算错误，故此选项不符合题意；、，原计算错误，故此选项不符合题意故选：【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解题的关键9下列正确的个数是；A1个B2个C3个D4个【分析】根据去括号法则、积的乘方的运算法则、合并同类项法则、负整数指数幂的运算法则、完全平方公式、二次根式的性质分别计算得出答案【解答】解：，原计算正确；，原计算错误；

89、与不是同类项不能合并，原计算错误；，原计算错误；，原计算错误；，原计算正确正确的个数是2个，故选：【点评】此题主要考查了实数的运算、整式的运算，正确掌握运算法则和相关公式是解题的关键10已知，则的值为A1B9C3D【分析】利用完全平方公式将展开，再将已知代数式的值代入计算即可求出答案【解答】解：，故选：【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键11已知，则的值为A40B80C160D240【分析】所求式子根据积的乘方与幂的乘方的逆运算进行化简，再整体代入计算即可【解答】解：，原式故选：【点评】此题考查的是幂的乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解决此题关键12把分解因式正确

90、的是ABCD【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答【解答】解：，故选：【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式13对于任意实数，恒成立，则下列关系式正确的是ABCD【分析】把所给公式中的换成，进行计算即可解答【解答】解：，故选：【点评】本题考查了因式分解运用公式法，把所给公式中的换成是解题的关键14若把多项式分解因式后含有因式，则的值为A2BC4D【分析】设，右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可【解答】解：设，可得，解得：，故选：【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法因式分

91、解是解本题的关键15因式分解：，其中，是常数，则ABC3D4【分析】根据完全平方公式展开，得到，然后分两种情况分别求解即可【解答】解：根据题意得：，当时，；当时，；故选：【点评】本题考查了因式分解运用公式法，考查分类讨论的思想，掌握是解题的关键16下列因式分解正确的是ABCD【分析】利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断即可解答【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故选：【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式17若一个整数能表示成，是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”例如，因为，所以

92、2是“和平数”已知是任意整数，是常数），若为“和平数”，则下列值中不符合要求的是A5B10C15D17【分析】根据“和平数”的定义判断即可【解答】解：当时，是“和平数”不合题意当时，是“和平数”不合题意当时，因为14不是平方数，合题意当时，是“和平数”不合题意故选：【点评】本题考查用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键18若，则的值为 21【分析】利用完全平方公式，可得，然后进行计算即可解答【解答】解：，故答案为：21【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键19已知，同时满足与，则的值是 3【分析】观察已知和所求可知，将代数式的值代入即可得出结论【解答】解：，故答案为

93、：3【点评】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键20计算的结果是 400【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答【解答】解：故答案为：400【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键21若，则9【分析】根据平方差公式求解即可【解答】解：，故答案为：9【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：1若代数式的值是5，则代数式的值是A4B7C5D不能确定【分析】首先根据，求出的值；然后把化成，再把的值代入计算即可【解答】解：，故选：【点评】此题主要考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入计算如果给出的代数式可以化简，

94、要先化简再求值题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简2当时，代数式的值是，则当时，该代数式的值为AB10C4D【分析】把代入，得，当时，得【解答】解：把代入，得，当时，得，故选：【点评】本题考查了代数式的求值，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，正确计算结果是解题关键3如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，即8，16均为“和谐数”在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于A255054B255064C250554D255024【分析】设相邻的两奇数分别为，且为正整数），求

95、出和谐数的表达式，根据和谐数不超过2022，列出不等式，求得的范围，进而可以知道最大的，求出此时的相邻两个奇数，然后把这些和谐数加起来计算即可【解答】解：设相邻的两奇数分别为，且为正整数），根据题意得：，最大为252，此时，故选：【点评】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键4今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是计算：；A0个B1个C2个D3个【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案【

96、解答】解：，原计算错误；，原计算错误；，原计算错误；，原计算错误所以小刚做对的题数是0个，故选：【点评】此题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，正确掌握积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键5计算：ABCD【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值【解答】解：原式故选：【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键6下列正确的个数是；A1个B2个C3个D4个【分析】根据去括号法则、积的乘方的运算法则、合并同类项法则、负整数指数幂的运算法则、完全平方公式、二次根式的性质分别计算得出答案【解答】解：，原计算正确；

97、，原计算错误；与不是同类项不能合并，原计算错误；，原计算错误；，原计算错误；，原计算正确正确的个数是2个，故选：【点评】此题主要考查了实数的运算、整式的运算，正确掌握运算法则和相关公式是解题的关键7从前，一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，相邻的另一边减少5米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会A没有变化B变大了C变小了D无法确定【分析】矩形的长为米，矩形的宽为米，矩形的面积为，根据平方差公式即可得出答案【解答】解：矩形的面积为，矩形的面积比正方形的面积小了25平方米，

98、故选：【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键8若，则的值为ABC0D1【分析】根据幂的乘方与积的乘方，运算法则进行计算即可解答【解答】解：，故选：【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键9下列四种说法中正确的有关于、的方程存在整数解若两个不等实数、满足，则、互为相反数若，则若，则ABCD【分析】对数的讨论，利用小学知识可解决；利用完全平方公式，整理得到两个数的平方相等，则两数相等或者互为相反数；重新整理，得到完全平方公式，即得结论；两两组合，相等两数差为0，然后因式分解，即得结论【解答】因为、为

99、整数时，是偶数，而199是奇数，它们不可能相等；故错误由得：，即、互为相反数；故正确若，则，；故正确，或，或，故错误综上所述，四种说法中正确的有，故选：【点评】本题考查的是完全平方公式、因式分解的相关知识关键是要找完全平方公式中的，即可代表单项式，也可代表多项式例如中就是代表的多项式10已知，则的值为A1B9C3D【分析】利用完全平方公式将展开，再将已知代数式的值代入计算即可求出答案【解答】解：，故选：【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键11对于任意实数和，如果满足那么我们称这一对数，为“友好数对”，记为若是“友好数对”，则ABCD【分析】根据是“友好数对”得出，

100、再将原式化成，最后整体代入求值即可【解答】解：是“友好数对”，原式，故选：【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键12已知实数，同时满足，则的值是A2或B2C或6D【分析】根据，可得：，再把它代入，因式分解，求出的值即可【解答】解：，或，故选：【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是判断出的取值范围13在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数“好数”定义：对于三位自然数，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”例如：426是“好数”，因为4，2，

101、6都不为0，且，6能被6整除；643不是“好数”，因为，10不能被3整除则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是A8B7C6D5【分析】设这个三位数为，根据题意可以得出与的关系，以及它们的取值范围，然后把所有可能的情况都列举出来，从而确定“好数”【解答】解：设这个“好数”为，由题意得，且，解得，取整数1，2，3，4，则对应取整数6，7，8，9的对应值为：7，9，11，13能分别被这四个数整除的数有：1，7，1，3，9，1，11，1，13，共计9个数又只能取个位数，只能取1，7，1，3，9，1，1这7个数符合条件的“好数”共有7个故选：【点评】本题考查了新定义，解题的关键是正确理解好数的概

102、念，并注意每个数位上的数字只能是个位数14若一个整数能表示成，是正整数）的形式，则称这个数为“和平数”例如，因为，所以2是“和平数”已知是任意整数，是常数），若为“和平数”，则下列值中不符合要求的是A5B10C15D17【分析】根据“和平数”的定义判断即可【解答】解：当时，是“和平数”不合题意当时，是“和平数”不合题意当时，因为14不是平方数，合题意当时，是“和平数”不合题意故选：【点评】本题考查用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键15已知、均为实数，且满足，则的值为A5BC5或D3或 7【分析】先将变形，得，再将因式分解为，得，解出的值，即可求出的值【解答】解：，解得或，当时，当时，故选

103、：【点评】本题考查了因式分解的应用，求出的值是解决本题的关键16若，则A12B11C10D9【分析】先将等式左边的分子分解因式，再根据等式的性质可得答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查了平方差公式的应用，关键是根据分解因式17已知能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数的个数有A0B2C4D6【分析】根据十字相乘法分解因式，可以分解成，等于分成的两个数的和，然后计算即可得解【解答】解：，即，共6个故选：【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解是解题的关键18计算：【分析】两次运用平方差公式计算即可【解答】解：故答案为：【点评】本题考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键19分解因式：【分析】先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解