专题03 整式的运算与因式分解篇（解析版）.docx

1、专题03 整式的运算与因式分解知识回顾1. 合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。2. 整式的加减的实质：合并同类项。3. 整式的乘除运算：单项式单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。单项式多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。多项式多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。单项式单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。多项式单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。4. 乘法公式：平方差公式：

2、。完全平方公式：。5. 因式分解的方法：提公因式法：；公式法：平方差公式： 完全平方公式：。十字相乘法：在中，若，则： 。专题练习31（2022湖北）先化简，再求值：4xy2xy（3xy），其中x2，y1【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答【解答】解：4xy2xy（3xy）4xy2xy+3xy5xy，当x2，y1时，原式52（1）1032（2022盐城）先化简，再求值：（x+4）（x4）+（x3）2，其中x23x+10【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可【解答】解：原式x216+x26x+92x26x7，x23

3、x+10，x23x1，2x26x2，原式27933（2022长春）先化简，再求值：（2+a）（2a）+a（a+1），其中a4【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答【解答】解：（2+a）（2a）+a（a+1）4a2+a2+a4+a，当a4时，原式4+434（2022北京）已知x2+2x20，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x2代入化简后的式子进行计算即可解答【解答】解：x（x+2）+（x+1）2x2+2x+x2+2x+12x2+4x+1，x2+2x20，x2+2x2，当x2+2x2时，原式2（x2+2x）+

4、122+14+1535（2022广西）先化简，再求值：（x+y）（xy）+（xy22xy）x，其中x1，y【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可【解答】解：（x+y）（xy）+（xy22xy）xx2y2+y22yx22y，当x1，y时，原式122036（2022衡阳）先化简，再求值（a+b）（ab）+b（2a+b），其中a1，b2【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a1，b2代入计算即可【解答】解：（a+b）（ab）+b（2a+b）a2b2+2ab+b2a2+2ab，将a1，b2代入上式得：原式12+

5、21（2）14337（2022丽水）先化简，再求值：（1+x）（1x）+x（x+2），其中x【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x代入计算即可【解答】解：（1+x）（1x）+x（x+2）1x2+x2+2x1+2x，当x时，原式1+1+1238（2022南充）先化简，再求值：（x+2）（3x2）2x（x+2），其中x1【分析】提取公因式x+2，再利用平方差公式计算，再代入计算【解答】解：原式（x+2）（3x22x）（x+2）（x2）x24，当x1时，原式（1）24239（2022安顺）（1）计算：（1）2+（3.14）0+2sin60+|1|（2）先化简，再求值：（x+3

6、）2+（x+3）（x3）2x（x+1），其中x【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答【解答】解：（1）（1）2+（3.14）0+2sin60+|1|1+1+2+122+121；（2）（x+3）2+（x+3）（x3）2x（x+1）x2+6x+9+x292x22x4x，当x时，原式4240（2022岳阳）已知a22a+10，求代数式a（a4）+（a+1）（a1）+1的值【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可【解答】解：a（a4）+（a+1）（a1）+1a24a+a21+12a24a2（a22a），a22a

7、+10，a22a1，原式2（1）241（2022苏州）已知3x22x30，求（x1）2+x（x+）的值【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案【解答】解：原式x22x+1+x2+x2x2x+1，3x22x30，x2x1，原式2（x2x）+121+1342（2022荆门）已知x+3，求下列各式的值：（1）（x）2； （2）x4+【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（ab）2（a+b）24ab，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可【解答】解：（1），4x3245；（2），+25+27，24924743（

8、2022无锡）计算：（1）|（）2cos60；（2）a（a+2）（a+b）（ab）b（b3）【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可【解答】解：（1）原式31；（2）原式a2+2a（a2b2）b2+3ba2+2aa2+b2b2+3b2a+3b44（2022安徽）观察以下等式：第1个等式：（21+1）2（22+1）2（22）2，第2个等式：（22+1）2（34+1）2（34）2，第3个等式：（23+1）2（46+1）2（46）2，第4个等式：（24+1）2（58+1）2（58）2，按照以上规律，解决下列

9、问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想【解答】解：（1）因为第1个等式：（21+1）2（22+1）2（22）2，第2个等式：（22+1）2（34+1）2（34）2，第3个等式：（23+1）2（46+1）2（46）2，第4个等式：（24+1）2（58+1）2（58）2，第5个等式：（25+1）2（610+1）2（610）2，故答案为：（25+1）2（610+1）2（610）2；（2）第n个等式：（2n

10、+1）2（n+1）2n+12（n+1）2n2，证明：左边4n2+4n+1，右边（n+1）2n2+2（n+1）2n+12（n+1）2n24n2+4n+1，左边右边等式成立45（2022西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a3ab4+6b因式分解【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式（2a3ab）（46b）a（23b）2（23b）（23b）（a2）解法二：原式（2a4）（3ab6b）2（a2）3b（a2）（a2）（23b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式

11、分解的分组分解法分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a22abbx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（ab），斜边长是3，小正方形的面积是1根据以上信息，先将a42a3b+2a2b22ab3+b4因式分解，再求值【分析】（1）用分组分解法将x2a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a22abbx+b2因式分解即可；（3）先将a42a3b+2a2b22ab3+b4因式分解，再求值即可【解答】解：（1）原式（x2a2）+（x+a）（x+a）（xa）+（x+a）（x+a）（xa+1）；（2）原式（axbx）+（a22ab+b2）x（ab）+（ab）2（ab）（x+ab）；（3）原式（a4+2a2b2+b4）（2ab3+2a3b）（a2+b2）22ab（a2+b2）（a2+b2）（a2+b22ab）（a2+b2）（ab）2，直角三角形的两条直角边长分别是a和b（ab），斜边长是3，小正方形的面积是1，a2+b2329，（ab）21，原式9