专题04 二次函数与角度有关问题（专项训练）（解析版）.docx

1、 专题04 二次函数与角度有关问题（专项训练）1.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得（O为坐标原点）。若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式.（2）求满足的点M的坐标.【解答】(1)易得点P坐标为（3，4），抛物线解析式为.(2) 当点M在线段OP上方时，CPx轴，当点C、M重合时，MPO=POA，点M的坐标为（0，4）；当点M在线段OP下方时，在x轴正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时DPO=POA.设点D坐标为（

2、n，0），则DO=n，解得：n=，点D坐标为.设直线PD解析式为，代入得：.联立抛物线解析式得综上所述：点M的坐标为（0，4）或2（2022雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上且满足PCBCBD，求点P的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），顶点D的坐标为（1，4），解得：，抛物线的解析式为yx22x3；（2）令y0，则x22x30，解得：x1或3B（3，0）OB3令x0，则y3，C（0，3），OC3OBOC，AC

3、BABC45过点C作CPBD，交抛物线与点P，如图，CPBD，PCBCBD，此时点P符合题意，设直线BD的解析式为ykx+n，解得：，直线BD的解析式为y2x6CPBD，则设直线CP的解析式为y2x3，解得：或，P（4，5）；过点B作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，它们交于点G，在BC的下方作P1CBCBD，交抛物线于点P1，交BG于点F，如图，设直线CP与x轴交于点E，令y0，则2x30，解得：x，E（，0）OECOOB，GCOC，GBOB，四边形COBG为矩形，OBOC，四边形COBG为正方形，GCGB3，GCBGBC45ACBGCB45，OCEFCG在EOC和FGC中，EOCFGC（

4、ASA），OEGF，BFGBGF，F（3，）设直线CF的解析式为ydx+e，解得：，直线CF的解析式为yx3，解得：或，P1（，），综上，若点P在抛物线上且满足PCBCBD，则点P的坐标为（4，5）或（，）3.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当时，求点F的坐标；【解答】（1）因为OB=OC=6，所以B（6，0），C，将B、C点坐标代入解析式，得，所以点D的坐标为（2，8）（2）如图1，过F作FGx轴于点G，设，则FG=，AG=x+2，当时，且，所以

5、，所以，即，当点F在x轴上方时，则有，解得x=2（舍去）或x=7，此时F点的坐标为；当点F在x轴下方时，则有，解得x=2（舍去）或x=5，此时F点的坐标为，,综上可知点F的坐标为或.4（2022秋开福区月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx3（a0）与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，（1）求抛物线的解析式；（2）在对称轴上是否存在一点M，使MCAMAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）将A（3，0）、B（1，0）代入yax2+bx3，解得，yx22x3；（2）存在点M，使MCAMAC，理由如下：yx22x3（

6、x1）24，对称轴为直线x1，令x0，则y3，C（0，3），设M（1，t），MCAMAC，MCMA，解得t1，M（1，1）；5（2022雁塔区校级二模）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OBOC3OA（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当PBACBD时，求P点坐标【解答】解：（1）令x0，则yc，C（0，c），OCc，OBOC3OA，B（c，0），A（，0），将B（c，0），A（，0）代入yx2+bx+c，解得，yx22x3；（2）yx22

7、x3（x1）24，D（1，4），B（3，0），C（0，3），BC218，CD22，BD220，BD2CD2+BC2，BCD是直角三角形，且BCD90，tanCBD，过点P作PGx于点G，PBACBD，tanPBA，设P（t，t22t3），解得t3（舍）或t，P（，）6.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，的面积为S1，的面积为S2，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得中的某个角恰好

8、等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由【解答】（1）过D作DMAC于M，过B作BNx轴交AC于N，,设，最大值为.在OA上取一点P使得PA=PC，设OP=m，则PC=PA=4-m，在RtPCO中，由勾股定理得：（4-m）2=m2+22，解得m=，tanCPO=，过D做x轴的平行线交y轴于R，交AC延长线于G，情况一：DCF =2BAC=DGC+CDG，CDG=BAC，tanCDG=tanBAC=，即，设，DR=a，RC=，代入得，a1=0，a2=2，xD=2情况二：FDC =2BAC，tanFDC=，设FC=4k，DF=3k，DC=5k，tanDGC=，FG=6k，CG

9、=2k，DG=，RC=，RG=，DR=，a1=0(舍去)，a2=，综上所述：点D的横坐标为2或.7（2022大冶市模拟）已知抛物线yax2+bx+2经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段OP交BC于点D，若SCPD：SCODm，求m的最大值；（3）当BC平分PCO时，求点P的横坐标【解答】解：（1）将点A（1，0）和点B（3，0）代入函数解析式，可得，解得：，yx2x+2；（2）过点P作PEy轴，交BC于E，PDEODC，由yx2x+2，当x0时，y2，C点坐标为（0，2），设直线BC的解析式为ykx+p，将B（3

10、，0），C（0，2）代入，可得：，解得：，直线BC的解析式为yx+2，设P（t，t2t+2），则E（t，t+2），PEt2t+2t2t22t，SCPD：SCODm，mt2t（t+）2+，t时，m的最大值为；（3）过点P作PEy轴，交BC于E，交x轴于H，PECECO，BC平分PCO，PCEECO，PECPCE，PCPE，设P（t，t2t+2），则E（t，t+2），PEt2t+2t2t22t，C点坐标为（0，2），PC2t2+（t2t+22）2t2+t4+t3+t2t4+t3+t2，PE2（t22t）2t4+t3+4t2，t4+t3+t2t4+t3+4t2，t，点P的横坐标为8（2022泰安模拟

11、）如图，抛物线ymx2+3mx2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2x15，连接BC，D是AC上方的抛物线一点（1）求抛物线的解析式；（2）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得DCF中有一个锐角等于BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线ymx2+3mx2m+1的图象交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），x1，x2是方程mx2+3mx2m+10的两根，x1+x23，x1x2x2x15，25即：4x1x225，9425解得：m抛物线的解析式为yx+2（2）第二象限内抛物线上存在

12、一点D，DF垂直AC于点F，使得DCF中有一个锐角等于BAC的两倍，点D的横坐标为2或，理由：A（4，0），B（1，0），C（0，2），OA4，OB1，OC2，AC2，BC，ABOA+OB5AC2+BC225AB2，ABC为直角三角形，ACB90取AB的中点P，连接CP，则P（，0），OPPAPBPC，BACPCACPBBAC+PCA，CPB2BAC过点D作DRy轴于点R，延长交AC于点G，如图，当DCF2BAC时，设D（m，m+2），则DRm，ORm+2，CROROCmDRy轴，OAy轴，DRAB，GBACDCFG+CDG，DCF2BAC，CDGGBACtanBAC，tanCDR，解得：m2

13、或0（舍去），m2点D的横坐标为2；当FDC2BAC时，CPB2BAC，FDCCPBtanCPB，tanFDC，tanFDC，设FC4n，则DF3n，CD5ntanGtanBAC，tanG，FG6nCGFGFC2ntanG，RCn，DRn，解得：a或0（舍去），a，即点D的横坐标为，综上，第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得DCF中有一个锐角等于BAC的两倍，点D的横坐标为2或9（2022赣榆区二模）如图，抛物线yx2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N（1）求

14、直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当ABP2BAC时，求点P的坐标【解答】解：（1）设直线AB的解析式为ypx+q，把A（4，0），B（0，2）代入得，解得，直线AB的解析式为yx+2；把A（4，0），B（0，2）代入yx2+bx+c得，解得；抛物线解析式为yx2+x+2；（2）MNx轴，M（m，0），点D在直线AB上，点N在抛物线上，N（m，m2+m+2），D（m，m+2），DNm2+2m，DMm+2，DN3DM，m2+2m3（m+2），解得m3或m4（舍），N（3，2）（3）如图，作点B关于x轴的对称点B，

15、OBOB，B（0，2），AOBAOB90，OAOA，AOBAOB，OABOAB，BAB2BAC，A（4，0），B（0，2），直线AB的解析式为：yx2，过点B作BPAB交抛物线于点P，则ABPBAB2BAC，即点P即为所求，直线BP的解析式为：yx+2，令x+2x2+x+2，解得x2或x0（舍），P（2，3）10（2022秋黄浦区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y（xm）2+k与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，b）在抛物线上（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）点D在抛物线上，如果BOD+B90，求点D的坐标【解答】解：（1）把O（0，0），B（4，0）代

16、入y（xm）2+k得：，解得，抛物线的表达式为y（x2）2+4，它的对称轴是直线x2；（2）过O作OGAB于G，交抛物线于D，过G作GMx轴于M，作G关于x轴的对称点G，作射线OG交抛物线于D，如图：RtBOG中，BOG+B90，即BOD+B90，D是满足条件的点，B+BGMOGM+BGM，BOGM，由（2）知tanABO3，tanOGMtanABO3，3，设BMt，则GM3t，OM9t，OBOM+BM10t，OB4，10t4，解得t，GM3t，OM9t，G（，），设直线OG解析式为ynx，n，解得n，直线OG解析式为yx，解得或，D（，），G，G关于x轴对称，G（，），GOBGOB，即BOD

17、BOD，D是满足条件的点，由G（，）可得直线OG解析式为yx，解得或，D（，），综上所述，点D的坐标为（，）或（，）11（2021秋广陵区期末）如图，抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是抛物线上的点，且ADQ45，请直接写出点Q的坐标【解答】解：（1）将A（2，0）、B（6，0）代入yax2+bx+3得：，解得，抛物线的解析式为yx

18、2+x+3，在yx2+x+3中，令x4得y3，D（4，3），设直线l解析式为ykx+t，将A（2，0）、D（4，3）代入得：，解得，直线l解析式为yx+1；（2）过P作PKy轴交AD于K，如图：设P（m，m2+m+3）（2m4），则K（m，m+1），PK（m2+m+3）（m+1）m2+m+2，PAD面积SPK|xDxA|（m2+m+2）6（m1）2+，0，当m1时，S取最大值，最大值为，此时P（1，）；（3）当Q在直线AD上方时，过A作AMAD交射线DQ于M，过M作MNx轴于N，过D作DHx轴于N，如图：ADQ45，ADM是等腰直角三角形，ADAM，又MAN90DAHADH，ANMAHD90，

19、ANMDHA（AAS），AHMN，DHAN，A（2，0）、D（4，3），MNAH6，ANDH3，M（5，6），由D（4，3），M（5，6）得直线DM为：yx+，解得（与D重合，舍去）或，Q（，）；当Q在直线AD下方时，过点A作ATAD交DQ于T，过A作RSy轴，过D作DRRS于R，过T作TSRS于S，如图：同理可证ADRTAS（AAS），ASDR6，TSAR3，T（1，6），直线DT解析式为y3x9，由得（舍去）或，Q（12，45），综上所述，Q的坐标为（，）或（12，45）12（2022秋丹江口市校级月考）已知，如图，抛物线yax22ax+c（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A

20、在点B左侧点A的坐标为（1，0），OC3OA（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；（3）若抛物线上有一点M，使ACM45，求M点坐标【解答】解：（1）OC3OA，A（1，0），C（0，3）把点A，C的坐标代入yax22ax+c，得，解得，抛物线线的解析式为：yx22x3；（2）如图，过点D作DMy轴分别交线段BC和x轴于点M，N抛物线线的解析式为yx22x3，B（3，0），AB4，S四边形ABDCSABC+SBCDABOC+DM（BN+ON）6+DMOB6+DM，设直线BC的解析式为ykx+b（k0），B（3，0），C（0，3），解得，

21、故直线BC的解析式为：yx3设D（x，x22x3），M（x，x3），则DMx3（x22x3）（x）2+，当x时，DM有最大值，此时四边形ABDC面积有最大值为；（3）如图，过A作AKAC交CD于点K，作KHx轴于点H，ACM45，ACAK，AOCKHA90，ACO90OACKAH，OACHKA（AAS），AHCO3，KHOA1，K（2，1），设直线CM的解析式为ykx32k31，k2，直线CM的解析式为y2x3，联立，解得x0（舍去），或x4，M（4，5）13（2022上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c过点A（2，1），B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，

22、平移后的顶点为P（m，n）（m0）如果SOBP3，设直线xk，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且BPQ120，求点P的坐标【解答】解：（1）将A（2，1），B（0，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的解析式为yx23（2）iyx23，抛物线的顶点坐标为（0，3），即点B是原抛物线的顶点，平移后的抛物线顶点为P（m，n），抛物线平移了|m|个单位，SOPB3|m|3，m0，m2，即平移后的抛物线的对称轴为直线x2，在xk的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，k2；ii把P（m，n）代入yx23，n3，P（m，3），由题意得，新抛物线的解析式为y+n3，Q（0，m23），B（0，3），BQm2，+，PQ2，BPPQ，如图，过点P作PCy轴于C，则PC|m|，PBPQ，PCBQ，BCBQm2，BPCBPQ12060，tanBPCtan60，m2或m2（舍），n33，P点的坐标为（2，3）