专题04 二次函数的恒成立问题压轴题专题（解析版）—2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类.docx

1、专题04 二次函数的恒成立问题压轴题（解析版）通用的解题思路：第一步：先分析是求函数的最大值还是求函数的最小值：如果恒成立，则求函数的最小值Min；如果恒成立，则求函数的最大值Max。第二步：再将所求的最大值或最小值代入不等式，得或者，再解不等式求出参数m的范围。1.（2017长沙中考）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、，延长交轴于点（1）若为等腰直角三角形，求的值；（2）若对任意，、两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）；（3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点，总有成立，求

2、实数的最小值【解答】解：（1）令，则，即，又，当为等腰直角三角形时，即，；（2）由（1）可知点，对任意，、两点总关于原点对称，必有，设直线的解析式为，将，代入，可得，解得，直线的解析式为，点为直线与抛物线的交点，解方程组，可得或（点舍去），即点的坐标为；（3）当，时，又点为线段的中点，又，把代入抛物线，可得，解得，抛物线的解析式为，即，点，为抛物线上任意一点，令，则当时，若要使成立，则，实数的最小值为2（开福区一模）如图，抛物线ymx24mx+3m（m0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D（1）求点A、点B的坐标；（2）若OACOCB，求m的值；（

3、3）若ABD为正三角形，对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+4成立，求实数n的最小值【解答】解：（1）把y0代入ymx24mx+3m得：mx24mx+3m0，m0，x24x+30，解得：x11，x23，点A在点B的左侧，A（1，0），B（3，0）；（2）把x0代入ymx24mx+3m得：y3m，点C（0，3m），OC3m，OACOCB，即，解得：m或m（舍去），m；（3）过点D作DEx轴于点E，如图所示：ABD是等边三角形，AB312，EAEBAB1，EAD60，ymx24mx+3mm（x2）2m，D点坐标为（2，m），tanEADtan60，即m，y，对于该抛物线上任意一点P（x0

4、，y0）总有n+4成立，n+y34（y0），令wy34（y0），对称轴为y0，当y0时，w随y0的增大而减小，当y0时，w取最大值，最大值为（）23（）42，n+4在y0时恒成立，n+2，解得：n，实数n的最小值为3（中雅）点为反比例函数（k为常数，且）的图象上一点，若点P的横、纵坐标满足关系：，则称点P所在的反比例函数（k为常数，且）为“Q函数”，点P为该“Q函数”图象上的“Q点”（1）“Q函数”图象上的“Q点”坐标为_；（2）反比例函数是否为“Q函数”？若是，请求出该函数图象上的“Q点”；若不是，请说明理由（3）已知反比例函数（k为常数，且）为“Q函数”，令，若对于整数m，恒成立，求整数m

5、的最小值【解答】解：(1)；(2)已知，变形得：，将该式代入，得，得方程；计算得，不是Q函数；(3)已知，变形得：，将该式代入，得，得方程；计算得，当时，即，又m为整数，m最小值是.4（雅礼）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2），满足纵坐标相等，即y1y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数

6、”（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的值；（2）关于x的函数ykx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”yax2+bx+c（a、b、c为常数，且a0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足mnc，若存在常数w，使得式子：w+x02x0+2恒成立，求w的取值范围【解答】解：（1）由题意可知，yPyq，即p2023，将点Q（q，2023）代入函数y|x+1|，2023|

7、q+1|（q2022），解得q2024，p+q2023+（2024）1；（2）当k0时，函数ykx+b是“高水平函数”，有无数组“高水平点“；当k0时，不是“高水平函数”，若存在“高水平点“，设一组高水平点为A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b），kx 1+bkx2+b（k0），kx1kx2（k0），x1x2，这与A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b）是两个不同的点矛盾，当k0时，ykx+b不是“高水平函数”；（3）ma+b+c，n9a+3b+c，mnc，a+b+c9a+3b+cc（a0），解得，即，点M、P为该函数的一组“高水平点”，纵坐标相等，由抛物线对称性，得：2x03，

8、恒成立，设（x+2）2+3，h1，w+1，w5（青竹湖）若y是x的函数，h为常数（h 0），若对于该函数图象上的任意两点、，当，（其中a、b为常数，a b时，总有，就称此函数在时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在axb时的界高。（1）函数：，在时为有界函数的是 ：（填序号）（2）若一次函数（），当axb时为有界函数，且在此范围内的界高为，请求出此一次函效解析式；（3）已知函数（），当时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实效a的取值范围.【解答】解：（1）当x1时，y2，当x1时，y2，|y1y2|2（2）|4，故y2x在1x1时是有界函数；的x不等于0，函数在1x

9、1时没有最大值和最小值，函数在1x1时不是有界函数；当x1或x1时，y1，当x0时，y0，|y1y2|10|1，故yx2在1x1时是有界函数；故答案为：；（2）由函数ykx+2在axb时为有界函数，且此时的界高为ba，y最大值y最小值ba，当k0时，y随x的增大而增大，xa时，y最小值ka+2，xb时，y最大值kb+2，kb+2（ka+2）ba，k1，yx+2；当k0时，y随x的增大而减小，xa时，y最大值ka+2，xb时，y最小值kb+2，ka+2（kb+2）ba，k1，yx+2，综上所述，一次函数的解析式为yx+2或yx+2（3）yx22ax+5（xa）2+5a2，a1，当1xa时，y随x

10、的增大而减小，当axa+1时，y随x的增大而增大，当1xa+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，y最大值y最小值4，当a，即1a2时，a+1离a的距离比1离a的距离远或一样远，xa时，y最小值5a2，xa+1时，y最大值（a+1）22a（a+1）+5a2+6，a2+6（5a2）4，化简得：14，1a2，当a，即a2时，a+1离a的距离比1离a的距离近，xa时，y最小值5a2，x1时，y最大值12a+52a+6，2a+6（5a2）4，解得：1a3，2a3，综上所述，a的取值范围为1a3声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/11 12:18:32；用户：唐

11、老师；邮箱：15874805147；学号：3718166（青竹湖）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：ykx+b（k、b为常数且k0），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”（1）求直线l：yx+4与双曲线y的切点坐标；（2）已知抛物线yax2+bx+c（a、b、c为常数且a0）经过两点（3，0）和（1，0），若直线l：y6x7与抛物线相切，求a的值；（3）已知直线l：y1kx+m（k、m为常数）与抛物线y2x2+相切于点（1，），设二次函数M：y3ax2+bx+c（a、b、c为常数且a0，c为整数），对一切实数x恒有y1y3y2，求

12、二次函数M的解析式【解答】解：（1）联立，得：x24x+40，解得x2，切点的坐标为（2，2）；（2）由题意知，抛物线解析式可表示为ya（x1）（x+3）ax2+2ax3a，联立，得：ax2+（2a6）x3a+70，由抛物线和直线相切知a0且0，（2a6）24a（73a）16a252a+360，解得：a1、a21，a的值为或1；（3）由题意知直线y1kx+m和抛物线M：y3ax2+bx+c都经过（1，），k+m，a+b+c，mk，联立得x2kx1+k0，k241（k1）0，解得k2，m，直线l1的解析式为y12x，对于一切实数x恒有y1y3y2，对于一切实数x恒有2xax2+bx+cx2+，当

13、x0时，有c，而c为整数，c0 ，联立，得：ax2+（b2）x+c+0，（b2）24a（c+）0，b24b+44ac2a0 ，联立得a，b1、c0，故二次函数M的解析式为y3x2+x7.已知抛物线C：y1=a(x-h)-1，直线l：y2=kx-kh-1（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=-1，mx2时，y1x-3恒成立，求m的最小值；（3）当00时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围【解答】解：(1)抛物线C的顶点坐标为(h,-1)，当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l恒过抛物线C的顶点；(2)当a=-1时，抛物线C解析式为y1=

14、-(x-h)2-1，不妨令y3=x-3如图1所示：抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，当mx2时，y1x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为(2,-1)，设抛物线C与直线y3=x-3除顶点外的另一交点为M，此时点M的横坐标即为m的最小值，由y=-x-22-1y=x-3，解得：x=1，x=2，所以m的最小值为1(3)如图2所示：由(1)可知：抛物线C与直线l都过点A(h,-1)当00，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x=h+2时，y2y1恒成立所以k(h+2)-kh-1a(h+2-h)2-1，整理得：k2a又因为0a2，所以048.已知抛物线C：y1=-x2+bx+4(1)

15、如图，抛物线与x轴相交于两点(1-m,0)、(1+m,0)求b的值；当nxn+1时，二次函数有最大值为3，求n的值(2)已知直线l：y2=2x-b+9，当x0时，y1y2恒成立，求b的取值范围【解答】解：(1)-x2+bx+4=0，x1+x2=b-1=1-m+1+m=2，b=2；(2)抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小i：n+11即n0，当x=n+1时，y有最大值，-(n+1)2+2(n+1)+4=3n=2，又n0，n=-2，ii：n1n+1即0n1，当x=1时y有最大值，-12+20则b4或b0，不成立，ii：-2-b205-b0，b2，又b4或b-

16、4，b-4，综上所述b49（雨花区）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展如菱形，正方形等都是“和睦四边形”（1）如图1，BD平分ABC，ADBC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线yx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点

17、C，抛物线的顶点为点D当四边形COBD为“和睦四边形”，且CDOC抛物线还满足：a0，ab0，c2；顶点D在以AB为直径的圆上点P（x0，y0）是抛物线yax2+bx+c上任意一点，且ty0若tm+恒成立，求m的最小值【解答】（1）证明：BD平分ABC，ABDCBD，ADBC，ADBCBD，ABDADB，ABAD，四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）解：在直线yx+6中，当x0时，y6；当y0时，x8，B（0，6），A（8，0），OB6，OA8，AB10，由题意得：AQ5t，AP4t，BQ105t，OP84t，连接PQ，又BAOQAP，AQPABO，APQAOB90，QP3t，四边形BOPQ

18、为“和睦四边形”，当OBOP时，684t，t；当OBBQ时，6105t，t；当OPPQ时，84t3t，t；当BQPQ时，105t3t，t，综上所述，t的值为或或或；（3）解：在抛物线yax2+bx+2中，顶点D的坐标为（，），C（0，2），CDOC，CD2OC2，D在以AB为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，ADB为等腰直角三角形，联立，且ab0，得a，b，点P（x0，y0）是抛物线yax2+bx+c上任意一点，y0x02+x0+2，ty0x0x02x0+2，当x0时，t有最大值，tm+恒成立，t最大值m+，m+，m，m的最小值为10.（长郡）设函数.(1)若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；(2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；【解析】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，所以实数的取值范围是；(2)不等式对于实数时恒成立，即，显然，函数在上递增，从而得，即，解得。